第2章 4.1 导数的加法与减法法则(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦导数的加法与减法法则这一核心知识点，前承导数定义的复杂运算，后启复杂函数求导学习。通过高铁路程问题引入，构建“问题-法则-应用”学习支架，系统梳理法则表达式、常数倍推广及有限个函数和差求导方法。 该资料以高铁瞬时速度情境培养数学眼光，通过正向求导、逆向待定系数法、切线几何意义应用发展数学思维，规范符号表达与解题步骤强化数学语言。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

4.1　导数的加法与减法法则 课标要求 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则，求简单函数的导数（数学运算）. 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.这类运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x＋x很难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 知识点　导数的加法与减法法则 知识点要素 梳理知识 导数的加法 与减法法则 两个函数和（或差）的导数等于这两个函数导数的和（或差） 表达式 [f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x） 　　提醒：（1）特别地，若f（x）＝2g（x）＝g（x）＋g（x），则f'（x）＝（2g（x））'＝（g（x）＋g（x））'＝g'（x）＋g'（x）＝2g'（x），即f（x）＝kg（x）（k为常数），f'（x）＝kg'（x）；（2）导数和（差）的求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即[u（x）±v（x）±…±w（x）]'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）'＝ex.（　√　） （2）函数f（x）＝x2＋x的导数是f'（x）＝x＋1.（　√　） （3）函数f（x）＝sin x－cos x的导数是f'（x）＝cos x＋sin x.（　√　） （4）函数f（x）＝2ln x，则f'（x）＝.（　×　） 2.函数f（x）＝x＋的导数f'（x）＝（　　） A.1－　　B.1－　　C.1＋　　D.1＋ 解析：A　f'（x）＝'＝x'＋'＝1－. 3.设f（x）＝x3＋ax2－2x＋b，若f'（1）＝4，则a＝　　. 解析：f'（x）＝3x2＋2ax－2，故f'（1）＝3＋2a－2＝4，解得a＝. 题型一｜利用导数加法、减法法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝－x4＋3x3； 解：（1）y'＝（－x4＋3x3）'＝（－x4）'＋（3x3）' ＝－4x3＋9x2. （2）y＝（2x2－1）（3x＋1）； 解：（2）先将乘积形式转化为和差形式， y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝18x2＋4x－3. （3）y＝x（x＋1）（x2－x＋1）； 解：（3）利用立方和公式转化， y＝x（x＋1）（x2－x＋1）＝x（x3＋1）＝x4＋x， ∴y'＝4x3＋1. （4）y＝＋ln x－sin x. 解：（4）先将根式化幂的形式， y＝＋ln x－sin x＝＋ln x－sin x， ∴y'＝－＋－cos x. 通性通法 　　对于能转化为和、差运算的求导问题，应先将函数结构化简为和、差结构再利用加法、减法法则求导. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝（x－a）（x－b）在x＝a处的导数为（　　） A.ab B.－a（a－b） C.0 D.a－b 解析：D　∵f（x）＝（x－a）（x－b）＝x2－（a＋b）x＋ab，∴f'（x）＝2x－（a＋b），∴f'（a）＝2a－（a＋b）＝a－b，故选D. 2.已知f（x）＝x2＋2xf'（1），求f'（0）的值. 解：∵f'（x）＝2x＋2f'（1），∴f'（1）＝2＋2f'（1），即f'（1）＝－2，∴f'（0）＝2f'（1）＝－4. 题型二｜求导法则的逆向应用 【例2】　已知f'（x）是一次函数，x2·f'（x）－（2x－1）·f（x）＝1对一切x∈R恒成立，求f（x）的解析式. 解：由f'（x）为一次函数可知，f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x）＝2ax＋b，把f（x），f'（x）代入关于x的方程得x2（2ax＋b）－（2x－1）·（ax2＋bx＋c）＝1，即（a－b）x2＋（b－2c）x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立， 所以解得所以f（x）＝2x2＋2x＋1. 通性通法 　　求导法则的逆向应用，其实质就是待定系数法.先设出含字母系数的函数模型，然后利用已知条件解出所设未知的字母系数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　f（x）＝2x3－9x2＋12x　. 解析：因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5， 所以解得故函数f（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x. 题型三｜求导法则在导数几何意义中的应用 【例3】　已知函数f（x）＝ax3－x2－x＋b（a，b∈R，a≠0），g（x）＝ex，f（x）的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋. （1）求a，b的值； 解：（1）f'（x）＝3ax2－2x－1. ∵f（x）的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋， ∴f'＝，即3a·＋1－1＝，解得a＝1， 又f（x）的图象过点， ∴－－＋b＝，解得b＝. 综上，a＝1，b＝. （2）直线y＝x＋是否与函数g（x）的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由. 解：（2）设直线y＝x＋与函数g（x）的图象相切于点A（x0，y0）. ∵g'（x）＝ex，∴g'（x0）＝＝， 解得x0＝－， 将x0＝－代入g（x）＝ex，得点A的坐标是，∴切线方程为y－＝，化简得y＝x＋，故直线y＝x＋与函数g（x）的图象相切，切点坐标是. 通性通法 　　对于由某些基本初等函数的和（差）所构成的初等函数f（x），求解与曲线的切线有关的问题时，正确求出f'（x）是解题的关键，利用导数的加（减）法法则时应注意先化简再求导. 【跟踪训练】 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式l（t）＝3t2－t.当运动员的滑雪路程为46 m时，此时的滑雪速度为　　 m/s. 解析：由题意得3t2－t＝46，解得t＝4或t＝－（舍去），因为l'（t）＝6t－，所以l'（4）＝6×4－＝，当运动员的滑雪路程为46 m时，此时的滑雪速度为 m/s. 1.函数y＝（＋1）（－1）的导数等于（　　） A.1 B.－ C. D.－ 解析：A　因为y＝（＋1）（－1）＝x－1，所以y'＝x'－1'＝1. 2.已知函数f（x）＝ex＋ax，若f'（0）＝2，则实数a的值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：C　f'（x）＝ex＋a，故f'（0）＝1＋a＝2，所以a＝1. 3.〔多选〕下列导数运算正确的是（　　） A.（x2－2x＋3）'＝2x－2 B.（sin x＋cos x）'＝sin x－cos x C.（x－1＋ln x）'＝（x－1）x－2 D.'＝ 解析：ACD　 （x2－2x＋3）'＝2x－2，A正确.（sin x＋cos x）'＝cos x－sin x，B错误.（x－1＋ln x）'＝－x－2＋＝（x－1）x－2，C正确.'＝'＝，D正确. 4.已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝　1　. 解析：由题知y'1＝，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1. 5.求下列函数的导数： （1）y＝x3－x2－x＋3；（2）y＝＋. 解：（1）y'＝（x3－x2－x＋3）'＝（x3）'－（x2）'－x'＋3'＝3x2－2x－1. （2）因为y＝2x－2＋3x－3，所以y'＝（2x－2＋3x－3）'＝（2x－2）'＋（3x－3）'＝－4x－3－9x－4＝－－. 1.曲线f（x）＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为（　　） A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　因为f'（x）＝x2－2x，k＝f'（1）＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为. 2.若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）＝（　　） A.－1 B.－2 C.2 D.0 解析：B　f'（x）＝4ax3＋2bx，f'（x）是奇函数，故f'（－1）＝－f'（1）＝－2. 3.若f（x）＝x2－2x－4ln x，则f'（x）＞0的解集为（　　） A.（0，＋∞） B.（－1，0）∪（2，＋∞） C.（2，＋∞） D.（－1，0） 解析：C　∵f（x）＝x2－2x－4ln x，∴f'（x）＝2x－2－.令f'（x）＞0，整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2.又x＞0，∴x＞2. 4.已知函数f（x）＝x＋sin x＋1，其导函数记为f'（x），则f（2 024）＋f'（2 024）＋f（－2 024）－f'（－2 024）＝（　　） A.2 024 B.2 C.1 D.0 解析：B　因为f'（x）＝1＋cos x，所以f'（x）为偶函数，所以f'（2 024）－f'（－2 024）＝f'（2 024）－f'（2 024）＝0，所以原式＝f（2 024）＋f（－2 024）＝2 024＋sin 2 024＋1＋（－2 024－sin 2 024＋1）＝2.故选B. 5.〔多选〕曲线f（x）＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为（　　） A.（1，0） B.（2，8） C.（－1，－4） D.（－1，8） 解析：AC　因为f（x）＝x3＋x－2，所以f'（x）＝3x2＋1，设P0（x0，y0），则f'（x0）＝3＋1＝4，所以x0＝±1，故点P0的坐标为（1，0）或（－1，－4）.故选A、C. 6.〔多选〕若存在过点（1，0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则实数a的值为（　　） A.－ B.－1 C.－ D.7 解析：BC　设过点（1，0）的直线与曲线y＝x3相切于点（x0，y0），则切线方程为y－＝3（x－x0），即y＝3x－2，又点（1，0）在切线上，故3－2＝0，即x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切得a＝－.当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1.故选B、C. 7.曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的所有切线中，斜率最小的切线方程为　3x－y－11＝0　. 解析：∵y'＝3x2＋6x＋6＝3（x2＋2x＋2）＝3（x＋1）2＋3≥3，∴当x＝－1时，y'最小，即此时切线的斜率最小，此时切点为（－1，－14），∴切线方程为y＋14＝3（x＋1），即3x－y－11＝0. 8.已知某物体的运动方程为s（t）＝＋2t2（位移单位：m，时间单位：s），则t＝1 s时物体的瞬时速度为　5　m/s. 解析：因为s（t）＝＋2t2＝－＋2t2，所以s'（t）＝－＋2·＋4t，所以s'（1）＝－1＋2＋4＝5，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为5 m/s. 9.已知曲线f（x）＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，则a＝　8　. 解析：法一 因为f（x）＝x＋ln x，所以f'（x）＝1＋，当x＝1时，f'（1）＝2，所以曲线f（x）＝x＋ln x在点（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，所以a≠0（当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行）.由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 法二 同法一步骤得切线方程为y＝2x－1. 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切于点（x0，a＋（a＋2）x0＋1）.因为y'＝2ax＋a＋2，所以当x＝x0时，y'＝2ax0＋a＋2. 由解得 10.已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是13x－y－32＝0. （1）求a，b的值； （2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程. 解：（1）∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a，由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. （2）∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为（x0，y0），则f'（x0）＝3＋1＝4，∴x0＝±1. 由f（x）＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 11.已知f（x）＝x2＋sin，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（　　） 解析：A　∵f（x）＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'＝－＜0，排除C，故选A. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的导函数为f'（x），则（　　） A.若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数 B.若f'（0）＝0，则f（x）为奇函数 C.若f'（x）的最小值为0，则a2＝3b D.若f'（x）为偶函数，则f（x）为奇函数 解析：ACD　由题意得，对于选项A，若f（x）为奇函数，f（－x）＝－f（x），则－x3＋ax2－bx＝－x3－ax2－bx，故a＝0，又因为f'（x）＝3x2＋b，f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，故A正确；对于选项B，若f'（0）＝0，又因为f'（x）＝3x2＋2ax＋b，则b＝0，故f（x）＝x3＋ax2，f（－x）＝－x3＋ax2，当a＝0时，f（－x）＝－f（x），f（x）是奇函数，当a≠0时，f（－x）≠－f（x），f（x）不是奇函数，所以f（x）不一定是奇函数，故B错误；对于选项C，若f'（x）的最小值为0，f'（x）＝3x2＋2ax＋b＝3（ x＋）2－＋b，所以f'（x）min＝－＋b＝0，则a2＝3b，故C正确；对于选项D，若f'（x）为偶函数，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，f'（－x）＝3x2－2ax＋b，由f'（－x）＝f'（x），解得a＝0，故f（x）＝x3＋bx，f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故D正确. 13.如图中有一个图象是函数f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝　－　. 解析：f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）][x＋（a－1）]，图①与图②中的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f（x）＝x3－x2＋1，所以f（－1）＝－. 14.已知函数f（x）＝x3－2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C. （1）求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围； （2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 解：（1）由题意得f'（x）＝x2－4x＋3， 则f'（x）＝（x－2）2－1≥－1， 即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞）. （2）设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和（1）中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈（－∞，2－ ]∪（1，3）∪[2＋，＋∞）. 15.对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为（　　） A. B. C. D. 解析：A　依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″（x）＝0，即2x－1＝0，得x＝，又f＝1，∴函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为.故选A. 16.已知函数f（x）＝x－，g（x）＝a（2－ln x）. （1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； （2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围. 解：（1）f'（x）＝1＋，g'（x）＝－， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3. （2）由题意，得1＋＝－（x＞0）， 则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立， 故实数a的取值范围为（－∞，－2 ]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $