第2章 6.2 函数的极值(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“函数的极值”核心知识点，从苏轼诗句类比引入极值概念，系统阐述极大值、极小值的定义及几何意义，明确极值点的必要条件（导数为零）和充分条件（导数符号变化），通过求导、解方程、判断符号的步骤构建求极值的学习支架。 资料以情境引入培养数学抽象，通过“想一想”辨析导数为零与极值点关系发展逻辑推理，分层设计不含参数、含参数及由极值求参数题型提升数学运算能力。课中助力教师系统教学，课后练习题和跟踪训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6.2　函数的极值 课标要求 1.了解极大值、极小值的概念（数学抽象）. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（逻辑推理）. 3.会用导数求函数的极大值、极小值（数学运算）. 苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点. 【问题】　在数学上，你知道怎样刻画这种现象吗？ 知识点一　函数极值的概念 1.极大值点与极大值 （1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都　小于　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值； （2）几何意义：极大值点x0和极大值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最高点，如图； （3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于： 若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的　左侧　f'（x）＞0，　右侧　f'（x）＜0，则x0是函数y＝f（x）的极大值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极大值. 2.极小值点与极小值 （1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都　大于　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值； （2）几何意义：极小值点x0和极小值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最低点，如图； （3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于： 若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的　左侧　f'（x）＜0，　右侧　f'（x）＞0，则x0是函数y＝f（x）的极小值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极小值. 3.极值点与极值 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 提醒：理解极值概念的注意点：①函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况.这个“附近”可以是很小很小的区间；②函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，不是点；③函数的极值点一定在函数的定义域内，定义域的端点不能成为极值点；④一个函数未必存在极值点，若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点，如图，x1，x3都是函数y＝f（x）的极大值点，x2，x4都是函数y＝f（x）的极小值点.一个函数可以有无穷多个极值点，如函数y＝sin x既有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点；⑤极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值，如图，函数y＝f（x）在点x1处的极大值小于在点x4处的极小值；⑥常数函数、一次函数、指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）和对数函数y＝log ax（a＞0且a≠1）都不存在极值点. 【想一想】 1.函数y＝｜x－1｜在x＝1处是否有极值？是否可导？ 提示：有极值.x＝1为极小值点，y极小值＝0，但y＝｜x－1｜在x＝1处无导数.即y＝｜x－1｜在R上不是可导函数. 2.导数为零的点一定是函数的极值点吗？ 提示：不一定.例如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是它的极值点.一般地，当f'（x0）＝0时，若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值异号，则f（x）在x＝x0处取得极值；若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值同号，则f（x）在x＝x0处不能取得极值. 知识点二　函数极值的求法 一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f（x）的导数f'（x0）＝0.因此，可以通过如下步骤求出函数y＝f（x）的极值点： 1.求出导数f'（x）. 2.解方程f'（x）＝0. 3.对于方程f'（x）＝0的每一个实数根x0，分析f'（x）在x0附近的符号（即f（x）的单调性），确定极值点： （1）若f'（x）在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； （2）若f'（x）在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； （3）若f'（x）在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. 　　提醒：设x0是f（x）的一个极值点，并求出了f（x）的导数f'（x0），则f'（x0）＝0.反之不一定成立. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数的极大值一定大于极小值.（　×　） （2）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（　×　） （3）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（　√　） 2.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有（　　） A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 解析：C　由图可知导函数f'（x）有三个零点，依次设为x1＜0，x2＝0，x3＞0，当x＜x1时，f'（x）＜0，当x1＜x＜0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，当x2＜x＜x3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x2处无极值；当x＞x3时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在x＝x3处取得极大值，故选C. 3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6的极大值为　　，极小值为　－3　. 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3. 题型一｜求函数的极值 角度1　由图象判断函数的极值 【例1】　〔多选〕已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）（　BCD　） A.在（－∞，0）上单调递减　B.在x＝0处取极大值 C.在（4，＋∞）上单调递减 D.在x＝2处取极小值 解析：　由导函数的图象可知，x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞0；x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0.因此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以y＝f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选B、C、D. 通性通法 由图象判断函数的极值 （1）对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的； （2）对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 角度2　求不含参数的函数极值问题 【例2】　求函数f（x）＝x2e－x的极值. 解：函数的定义域为R， f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）' ＝2xe－x－x2·e－x ＝x（2－x）e－x. 令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0， 解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ 极小 值0 ↗ 极大 值4e－2 ↘ 因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0； 当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝. 通性通法 　　求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题： （1）函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去； （2）检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点. 角度3　求含参数的函数极值问题 【例3】　若函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），可知f'（x）＝1－＝. （1）当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值. （2）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝a. 当0＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 当x＞a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）在x＝a处取得极小值.即f（a）＝a－aln a，无极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值； 当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 通性通法 　　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种： （1）看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论； （2）看f'（x）在其零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 【跟踪训练】 1.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）上极小值点的个数为（　　） A.1　　　　　　　　　B.2 C.3 D.4 解析：A　f'（x）＞0时，f（x）单调递增，f'（x）＜0时，f（x）单调递减.可知f（x）在（a，b）上的极小值点只有一个. 2.求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值. 解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0）， 当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此时函数没有极值； 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－或x＝. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－） － （－， ） （，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值f（－） ↘ 极小值 f（） ↗ ∴f（x）的极大值为f（－）＝2a＋b，极小值为f（）＝－2a＋b. 题型二｜由极值求参数值（或范围） 【例4】　（1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝（　C　） A.4或－3 B.4或－11 C.4 D.－3 解析：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由题意得即解得或当时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.∴a＝4，故选C. （2）若函数f（x）＝x2＋（a－1）x－aln x没有极值，则（　A　） A.a＝－1 B.a≥0 C.a＜－1 D.－1＜a＜0 解析：（2）f'（x）＝（x－1），x＞0，当a≥0时，＋1＞0，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1，f（x）在x＝1处取极小值，与题意矛盾.当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f'（x）＝≥0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值.②若a≠－1，此正数解为x＝－a≠1，f'（x）＝0必有2个不同的正数解，f（x）存在2个极值.综上，a＝－1.故选A. 通性通法 已知函数极值求参数的方法 　　对于已知可导函数的极值求参数问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. （1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f'（x）； ②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数.求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）·（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1）　　　　　 B.（0，＋∞） C.（0，1） D.（－1，0） 解析：D　若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与题意矛盾，故选D. 2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　） A.a＜－ B.a＞－1 C.a＜－1 D.a＞－ 解析：C　y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0为其极值点，∴＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C. 1.函数f（x）＝x＋（x＞0）在x＝1时（　　） A.只有极小值 B.只有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.极值不存在 解析：A　当0＜x＜1时，f'（x）＝1－＜0；当x＞1时，f'（x）＝1－＞0.故函数f（x）＝x＋（x＞0）在x＝1处取得极小值，无极大值.故选A. 2.函数f（x）＝x＋2cos x在上的极大值点为（　　） A.0 B. C. D. 解析：B　由题意得，f'（x）＝1－2sin x，令f'（x）＝0，得x＝，当0＜x＜时，f'（x）＞0；当＜x＜时，f'（x）＜0.∴当x＝时，f（x）取得极大值. 3.已知函数f（x）＝ln x－x2，则f（x）（　　） A.有极小值，无极大值 B.无极小值，有极大值 C.既有极小值，又有极大值 D.既无极小值，又无极大值 解析：B　由题可得，f'（x）＝－x＝（x＞0），当x＞1时，f'（x）＜0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，所以f（x）在x＝1处取得极大值，无极小值.故选B. 4.〔多选〕定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） A.－3是f（x）的一个极小值点 B.－2和－1都是f（x）的极大值点 C.f（x）的单调递增区间是（－3，＋∞） D.f（x）的单调递减区间是（－∞，－3） 解析：ACD　当x＜－3时，f'（x）＜0，x＞－3时，f'（x）≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是（－3，＋∞），单调递减区间是（－∞，－3）.故选A、C、D. 5.已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是　（－∞，－3）∪（6，＋∞）　. 解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f（x）有极大值与极小值，∴f'（x）＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－12（a＋6）＞0，∴a＜－3或a＞6. 1.已知下列各选项是函数y＝f（x）的导函数的图象，则x＝a是函数y＝f（x）的极小值点的是（　　） 解析：C　在点a的左侧附近，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；在点a的右侧附近，f'（x）＞0时，f（x）单调递增，此时x＝a是函数的极小值点.所以，对于A、B选项，x＝a不是函数y＝f（x）的极值点；对于C选项，x＝a是函数 y＝f（x）的极小值点；对于D选项，x＝a是函数 y＝f（x）的极大值点.故选C. 2.函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e）上的极大值为（　　） A.－e　　　B.1－e　　　C.－1　　　D.0 解析：C　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－1.令f'（x）＝0，得x＝1.当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在x＝1处取得极大值f（1）＝ln 1－1＝0－1＝－1. 3.若函数f（x）＝x3－3bx＋3在（－1，2）内有极值，则实数b的取值范围是（　　） A.（0，4） B.[0，4） C.[1，4） D.（1，4） 解析：A　f'（x）＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f（x）在（－1，2）内有极值，∴f'（x）在（－1，2）内有变号零点，∴0≤b＜4.当b＝0时，f（x）＝x3＋3在R上是增函数，没有极值，故选A. 4.若函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.（ 0，） B.（ 0，） C.（ －∞，） D.（ －∞，］ 解析：A　函数的定义域为（0，＋∞），因为函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，所以f'（x）＝x－1＋＝＝0有两个不同的正根，即x2－x＋a＝0有两个不同的正根，所以解得0＜a＜.故选A. 5.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x）的图象，则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的单调递增区间是（－2，0），（2，＋∞） B.函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（2，＋∞） C.x＝－2是函数的极小值点 D.x＝2是函数的极小值点 解析：BD　由题意，当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜－2时，f'（x）＞0；即函数f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，因此函数f（x）在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值.故选B、D. 6.〔多选〕对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的是（　　） A.x＝3是函数f（x）的一个极值点 B.f（x）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞） C.f（x）在区间（1，2）内单调递减 D.直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有2个交点 解析：AC　f'（x）＝＋2x－10＝（x＞－1），∴当－1＜x＜1时，f'（x）＞0，当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当x＞3时，f'（x）＞0，∴f（x）在（－1，1）内单调递增，在（1，3）内单调递减，在（3，＋∞）内单调递增，故x＝3是f（x）的极小值点，故A正确，B错误，C正确；由单调性可知f（3）＜f（2）＜f（1），而f（2）＝16ln 3－16，又当x→－1时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，故直线y＝16ln 3－16与y＝f（x）的图象有3个交点，故D错误. 7.能说明“若f'（0）＝0，则x＝0是函数y＝f（x）的极值点”为假命题的一个函数是　f（x）＝x5（答案不唯一）　. 解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.如函数f（x）＝x5，当x＝0时，f'（0）＝5×04＝0，但是f（x）＝x5在R上是增函数，所以x＝0不是函数f（x）＝x5的极值点. 8.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为　0　. 解析：因为x＞0，f'（x）＝a－＝，所以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点. 9.若函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，则a的取值范围是　[0，3]　. 解析：由f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R），得f'（x）＝3x2＋2ax＋a.∵函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，且f'（x）的图象开口向上，∴f'（x）≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3，∴a的取值范围是[0，3] . 10.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； （2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解：（1）因为f（x）＝aln x＋bx2＋x， 所以f'（x）＝＋2bx＋1（x＞0）. 依题意得f'（1）＝f'（2）＝0， 即 解方程组得a＝－，b＝－. （2）由（1）知，f（x）＝－ln x－x2＋x（x＞0）， 故f'（x）＝－－x＋1＝. 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＜0. 故x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点. 11.〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf'（x）的图象不可能是（　　） 解析：ACD　因为f（x）在x＝1处取得极大值，所以可知x＞1时，f'（x）＜0，x＜1时，f'（x）＞0，所以当x＞1时，y＝－xf'（x）＞0，A、C不可能，当0＜x＜1时，y＝－xf'（x）＜0，D不可能，故选A、C、D. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝xln x＋x2，x0是函数f（x）的极值点，则下列结论正确的是（　　） A.0＜x0＜ B.x0＞ C.f（x0）＋2x0＜0 D.f（x0）＋2x0＞0 解析：AD　∵函数f（x）＝xln x＋x2（x＞0），∴f'（x）＝ln x＋1＋2x，易得f'（x）＝ln x＋1＋2x在（0，＋∞）上是增函数，f'＝＞0，∵当x→0时，f'（x）→－∞，∴0＜x0＜，∴A正确，B错误.∵f'（x0）＝ln x0＋1＋2x0＝0，∴f（x0）＋2x0＝x0ln x0＋＋2x0＝x0（ln x0＋x0＋2）＝x0（1－x0）＞0，∴C错误，D正确.故选A、D. 13.已知函数f（x）＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＝　2　，n＝　9　. 解析：由题可得，f'（x）＝3x2＋6mx＋n， ∴解得或当时，f'（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0恒成立，不满足题意.故m＝2，n＝9. 14.已知函数f（x）＝aln x－bx2，a，b∈R，若f（x）在x＝1处与直线y＝－相切. （1）求a，b的值； （2）求f（x）在上的极值. 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－2bx，∵函数f（x）在x＝1处与直线y＝－相切， ∴即解得 （2）由（1）得f（x）＝ln x－x2，f'（x）＝－x＝，令f'（x）＞0，得0＜x＜1， 令f'（x）＜0，得x＞1，∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减， ∴f（x）在上的极大值为f（1）＝－，无极小值. 15.〔多选〕已知函数f（x）＝，则（　　） A.f（x）在x＝e处取得极大值 B.f（x）有两个不同的零点 C.f（x）的极小值点为x＝e D.f（）＜f（）＜f（2） 解析：AD　由题意可得函数的定义域为（0，＋∞），由f（x）＝可得f'（x）＝＝，令f'（x）＝0，解得x＝e.当0＜x＜e时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，e）上单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递减.所以当x＝e时，函数f（x）取得极大值为f（e）＝，无极小值，故选项A正确，选项C不正确；因为f（1）＝＝0，且f（x）在区间（0，e）上单调递增，所以函数f（x）在（0，e）上有一个零点.当x≥e时，ln x＞0，x＞0，所以f（x）＞0，此时无零点.综上所述，f（x）有一个零点，故选项B不正确；因为0＜＜＜＜e，f（x）在区间（0，e）上单调递增，所以f（）＜f（）＜f（2），故选项D正确.故选A、D. 16.设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a. （1）求f（x）的极值； （2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？ 解：（1）f'（x）＝3x2－2x－1. 令f'（x）＝0，得x＝－或x＝1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x － 1 （1， ＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）的极大值是f＝＋a， 极小值是f（1）＝a－1. （2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0， x取足够小的负数时，有f（x）＜0， ∴曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点. 由（1）知f（x）极大值＝f＝＋a， f（x）极小值＝f（1）＝a－1. ∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点， ∴f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0， 即＋a＜0或a－1＞0， ∴a＜－或a＞1， ∴当a∈∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $