第2章 6.1 第2课时 函数单调性的应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数单调性的应用，系统涵盖含参数函数单调性讨论、已知单调性求参数范围、单调性的应用（比较大小、解不等式）及构造函数（与x、e^x、sinx/cosx等）的方法，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过分类讨论培养逻辑推理（数学思维），构造函数发展数学抽象（数学眼光），例题与跟踪训练结合提升应用意识（数学语言）。如含参数单调性分析、构造F(x)=xf(x)解不等式，课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏。

第二课时　函数单调性的应用 题型一｜含参数的函数的单调性 【例1】　讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f'（x）＝， 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. ②当a＞0时，f'（x）＝， ∵a＞0，∴＞0. 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 通性通法 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 【跟踪训练】 求函数f（x）＝＋aln x（a∈R）的单调递减区间. 解：易得函数f（x）的定义域是（0，＋∞）， f'（x）＝－＋＝. ①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递减. ②当a＞0时，若0＜x＜，则f'（x）＜0； 若x＞，则f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），当a＞0时，f（x）的单调递减区间为. 题型二｜已知函数的单调性求参数的范围 【例2】　若函数f（x）＝x3－ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上单调递减，在区间[6，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　B　） A.（－∞，5]　　　　　 B.[5，7] C.[7，＋∞） D.（－∞，5]∪[7，＋∞） 解析：　法一　f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7]. 法二　f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7]. 通性通法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'（x）≥0（或f'（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f'（x）不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意. 2.若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值. 解：由f'（x）＝3x2－a. ①当a≤0时，f'（x）≥0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不符合题意. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'（x）＜0. 所以f（x）在（ －，）上单调递减， 所以f（x）的单调递减区间为（ －，）， 所以＝1，解得a＝3. 2.若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围. 解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立， 所以 即 所以a≥3. 即a的取值范围是[3，＋∞）. 题型三｜函数单调性的应用 【例3】　（1）已知函数f（x）＝＋ln x，则（　D　） A.f（e）＜f（π）＜f（2.7） B.f（π）＜f（e）＜f（2.7） C.f（e）＜f（2.7）＜f（π） D.f（2.7）＜f（e）＜f（π） 解析：（1）函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D. （2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（　B　） A.（0，1） B.（1，） C.（－2，－） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞） 解析：（2）∵f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜. 通性通法 1.在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小. 2.对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域. 【跟踪训练】 若f（x）＝，e＜a＜b，则（　　） A.f（a）＜f（b）　　　　　　B.f（a）＝f（b） C.f（a）＞f（b） D.f（a）f（b）＞1 解析：C　易知f（x）的定义域为（0，＋∞），令f'（x）＝＜0，解得x＞e.∴f（x）在（e，＋∞）上单调递减，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）. 1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（　　） A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2） C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确 解析：B　f'（x）＝2＋cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）. 2.函数f（x）＝ax3－x在R上为减函数，则（　　） A.a≤0 B.a＜1 C.a＜2 D.a≤ 解析：A　f'（x）＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A. 3.若函数y＝x2－2bx＋6在[2，8]上单调递增，则实数b的取值范围是　（－∞，2]　. 解析：由题意得y'＝2x－2b≥0在[2，8]上恒成立， 即b≤x在[2，8]上恒成立，所以b≤2. 4.若f（x）＝－x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上单调递减，则b的取值范围是　（－∞，－1]　. 解析：∵f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，∴f'（x）≤0在（－1，＋∞）上恒成立.∵f'（x）＝－x＋，∴－x＋≤0在（－1，＋∞）上恒成立，即b≤x（x＋2）在（－1，＋∞）上恒成立.设g（x）＝x（x＋2）＝（x＋1）2－1，则当x＞－1时，g（x）＞－1，∴b≤－1. 5.设函数f（x）＝x－－aln x（a∈R），讨论f（x）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）. f'（x）＝1＋－＝. 令g（x）＝x2－ax＋1，则对于方程x2－ax＋1＝0，有Δ＝a2－4. 当－2≤a≤2时，Δ≤0，g（x）≥0，f'（x）≥0，只有当a＝2，x＝1或a＝－2，x＝－1（舍去）时，等号成立，故函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 当a＜－2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根都小于0，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上g（x）＞1，f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 当a＞2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根为x1＝，x2＝，且x2＞x1＞0. 当0＜x＜x1时，f'（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0.故函数f（x）在（0，x1），（x2＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减. 综上，当a≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＞2时，函数f（x）在（ 0，），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ，）上单调递减. 类型一｜利用f（x）与x构造 【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为　（－∞，－4）∪（0，4）　. 解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减，根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）. 【例2】　已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　（－1，0）∪（0，1）　. 解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增，根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）. 方法总结 利用f（x）与x构造函数的形式 （1）常见的构造形式为xf（x），； （2）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （3）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝. 【跟踪训练】 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为　（－∞，－1）∪（1，＋∞）　. 解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增，∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上单调递增，根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 类型二｜利用f（x）与ex构造 【例3】　已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且对于任意的x∈R，均有f（x）＋f'（x）＞0，则（　A　） A.e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＞f（0） B.e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＜f（0） C.e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＞f（0） D.e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＜f（0） 解析：　构造函数h（x）＝exf（x），则h'（x）＝exf（x）＋exf'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数h（x）在R上是增函数，故h（－2 024）＜h（0），即e－2 024f（－2 024）＜e0f（0），即e－2 024f（－2 024）＜f（0）.同理h（2 024）＞h（0），即e2 024f（2 024）＞f（0），故选A. 方法总结 利用f（x）与ex构造函数的形式 （1）常见的构造形式为exf（x），； （2）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）； （3）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝. 【跟踪训练】 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，则下列等式一定成立的是（　　） A.f（1）＜e3f（0）　　　 B.f（1）＞e2f（0） C.f（1）＞e3f（0） D.f（1）＜e2f（0） 解析：A　构造g（x）＝，则g'（x）＝＝，因为3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，所以g'（x）＜0在R上恒成立，故g（x）在R上是减函数，所以g（1）＜g（0），即＜，即f（1）＜e3f（0）. 类型三｜利用f（x）与sin x，cos x构造 【例4】　已知函数y＝f（x）对于任意的x∈（ －，）满足f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（　　） A.f（ ）＜f（ ） B.f（ －）＜f（ －） C.f（0）＜f（ ） D.f（0）＜2f（ ） 解析：A　构造F（x）＝，则F'（x）＝，导函数f'（x）满足f'（x）·cos x＋f（x）·sin x＞0，则F'（x）＞0，F（x）在（ －，）上单调递增.把选项转化后可知选A. 方法总结 利用f（x）与sin x，cos x构造函数常见的形式 （1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x； （2）F（x）＝，F'（x）＝； （3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x； （4）F（x）＝，F'（x）＝. 【跟踪训练】 已知函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f'（x）sin x＞f（x）cos x（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　） A.f（ －）＞－f（ ） B.f（ ）＜－f（ －） C.f（ ）＞2f（ ） D.f（ ）＜f（ ） 解析：C　由已知，得f（x）为奇函数，由函数y＝f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f'（x）sin x＞f（x）cos x，得f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，即［］'＞0，所以y＝在（0，π）上单调递增，又因为y＝为偶函数，所以y＝在（－π，0）上单调递减，所以＜，即f（ ）＞2f（ ）. 类型四｜构造具体函数关系式 【例5】　已知α，β∈［－，］，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是（　　） A.α＞β B.α2＞β2 C.α＜β D.α＋β＞0 解析：B　构造f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x，x∈［0，］时导函数f'（x）≥0，f（x）单调递增；x∈［－，0）时导函数f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（x）为偶函数，根据单调性和图象可知选B. 方法总结 　　这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题. 【跟踪训练】 已知实数a，b，c满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，那么（a－c）2＋（b－d）2的最小值为（　　） A.8 B.10 C.12 D.18 解析：A　由＝1⇒b＝a－2ea，构造函数f（x）＝x－2ex，则动点M（a，b）在函数f（x）图象上，又由＝1⇒d＝2－c，构造函数g（x）＝2－x，则动点N（c，d）在函数g（x）图象上即在直线x＋y－2＝0上，问题转化为求曲线y＝f（x）上的动点M（a，b）与直线x＋y－2＝0上的动点N（c，d）的距离的平方的最小值，即点M到直线x＋y－2＝0的距离平方的最小值.由f'（x）＝1－2ex＝－1，得x＝0，所以切点坐标为（0，－2），所以（a－c）2＋（b－d）2的最小值为（ ）2＝8. 1.三次函数f（x）＝ax3－1在R上是减函数，则（　　） A.a＝1　　　　　　　　　B.a＝2 C.a≤0 D.a＜0 解析：D　f'（x）＝3ax2，要使f（x）在R上为减函数，则f'（x）≤0在R上恒成立，即a≤0，又a＝0时，f'（x）＝0恒成立，所以a≠0.综上a＜0. 2.已知函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0时，有（　　） A.f'（x）＞0，g'（x）＞0 B.f'（x）＞0，g'（x）＜0 C.f'（x）＜0，g'（x）＞0 D.f'（x）＜0，g'（x）＜0 解析：B　由已知，得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数.∵当x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，g（x）在（－∞，0）上单调递减，∴当x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0. 3.已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上单调递减，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上单调递增，则a＝（　　） A.1 B.2 C.0 D. 解析：B　∵函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上单调递减，∴≥1，得a≥2.g'（x）＝2x－，依题意g'（x）≥0在（1，2）上恒成立，即2x2≥a在x∈（1，2）时恒成立，有a≤2，∴a＝2. 4.若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（　　） A.（ －∞，） B.[2，＋∞） C.（0，＋∞） D.（－∞，2） 解析：D　函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋.当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数，不满足题意，舍去，当a＜2时，令f'（x）＝3＋＝0，解得x＝，故此时f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调.故实数a的取值范围是（－∞，2）. 5.〔多选〕已知函数f（x），g（x）在区间[a，b]上均有f'（x）＜g'（x），则在[a，b]上，下列关系式中正确的是（　　） A.f（x）＋f（b）≥g（x）＋g（b） B.f（x）－f（b）≥g（x）－g（b） C.f（x）＋g（a）≤g（x）＋f（a） D.f（x）＋g（a）≥g（x）＋f（a） 解析：BC　据题意，由f'（x）＜g'（x）得f'（x）－g'（x）＜0，故F（x）＝f（x）－g（x）在[a，b]上单调递减，由单调性知识知，在[a，b]上必有F（x）≥F（b），即f（x）－g（x）≥f（b）－g（b），移项整理得f（x）－f（b）≥g（x）－g（b）.同理F（x）≤F（a），f（x）－g（x）≤f（a）－g（a），移项整理得f（x）＋g（a）≤g（x）＋f（a）. 6.〔多选〕已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f'（x），对于任意的x∈R，f'（x）＜－f（x）恒成立，则以下选项一定正确的是（　　） A.5f（ln 5）＜2f（ln 2） B.6f（ln 6）＜3f（ln 3） C.2f（ln 5）＞5f（ln 2） D.3f（ln 6）＜6f（ln 3） 解析：AB　令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）].因为对于任意的x∈R，f'（x）＜－f（x）恒成立，所以g'（x）＜0，所以g（x）在R上是减函数.因为ln 5＞ln 2，所以g（ln 5）＜g（ln 2），所以eln 5f（ln 5）＜eln 2f（ln 2），即5f（ln 5）＜2f（ln 2），所以A正确，C错误，因为ln 6＞ln 3，所以g（ln 6）＜g（ln 3），所以eln 6f（ln 6）＜eln 3f（ln 3），即6f（ln 6）＜3f（ln 3），所以B正确，D错误. 7.（2025·承德质检）若函数f（x）＝x3－2ax2－（a－2）x＋5有三个单调区间，则实数a的取值范围为　（－∞，－2）∪（1，＋∞）　. 解析：若函数f（x）有三个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2）有两个不同的零点，即关于x的方程4x2－4ax－（a－2）＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2，故实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. 8.若函数f（x）＝（x2＋mx）ex的单调递减区间是，则实数m的值为　－　. 解析：f'（x）＝[x2＋（m＋2）x＋m]ex.因为f（x）的单调递减区间是，所以f'（x）＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，即 解得m＝－. 9.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，若当x＞0时，xf'（x）＋f（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是　（－∞，－2）∪（2，＋∞）　. 解析：由题意设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.∵当x＞0时，xf'（x）＋f（x）＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上单调递增.∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数.又f（2）＝0，则g（2）＝2f（2）＝0，∴不等式xf（x）＞0等价于g（x）＞0＝g（2），∴｜x｜＞2，解得x＜－2或x＞2，∴不等式xf（x）＞0的解集是（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 10.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2. （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间. 解：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x3＋x2－x＋2， ∴f'（x）＝3x2＋2x－1，∴f'（1）＝4.又f（1）＝3， ∴切点坐标为（1，3），∴所求切线方程为y－3＝4（x－1），即4x－y－1＝0. （2）f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a）， 由f'（x）＝0得x＝－a或x＝. 又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜， 由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞， 故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为和. 11.（2025·武汉期中）已知a＝，b＝，c＝，则（　　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.a＞b＞c 解析：B　b＝＝，根据a，b，c的结构，构造函数f（x）＝，则a＝f（3），b＝f（e），e＝f（9）.f'（x）＝，令f'（x）＞0，则0＜x＜e，令f'（x）＜0，则x＞e，因此f（x）＝在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，又e＜3＜9，所以f（e）＞f（3）＞f（9），即b＞a＞c. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝ex－e－x＋sin 2x，则满足f（2x2－1）＋f（x）＞0的x的取值范围可能为（　　） A. B.（－∞，－1） C. D. 解析：BD　函数f（x）＝ex－e－x＋sin 2x，定义域为R，且满足f（－x）＝e－x－ex＋sin（－2x）＝－（ex－e－x＋sin 2x）＝－f（x），∴f（x）为R上的奇函数.又f'（x）＝ex＋e－x＋2cos 2x≥2＋2cos 2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的增函数.又f（2x2－1）＋f（x）＞0，得f（2x2－1）＞－f（x）＝f（－x），∴2x2－1＞－x，即2x2＋x－1＞0，解得x＜－1或x＞，∴x的取值范围是（－∞，－1）∪.故选B、D. 13.定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”. （1）设f（x）＝cos x，则f（x）在（0，π）上的“新驻点”为　　； （2）如果函数g（x）＝x与h（x）＝ln（x＋1）的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是　α＞β　. 解析：（1）∵f（x）＝cos x，∴f'（x）＝－sin x，根据“新驻点”的定义得f（x）＝f'（x），即cos x＝－sin x，可得tan x＝－1，∵x∈（0，π），解得x＝，∴函数f（x）＝cos x在（0，π）上的“新驻点”为. （2）∵g（x）＝x，则g'（x）＝1，根据“新驻点”的定义得g（α）＝g'（α），即α＝1.∵h（x）＝ln（x＋1），则h'（x）＝，由“新驻点”的定义得h（x）＝h'（x），即ln（x＋1）＝，构造函数F（x）＝ln（x＋1）－，则函数y＝F（x）在定义域上为增函数.∵F（0）＝－1＜0，F（1）＝ln 2－＞0，∴F（β）＝0，由函数零点存在定理可知β∈（0，1）.∴α＞β. 14.试讨论函数f（x）＝kx－ln x的单调区间. 解：函数f（x）＝kx－ln x的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝k－＝. 当k≤0时，kx－1＜0，∴f'（x）＜0， 则f（x）在（0，＋∞）上是减函数. 当k＞0时，由f'（x）＜0，即＜0， 解得0＜x＜； 由f'（x）＞0，即＞0，解得x＞. ∴当k＞0时，f（x）的单调递减区间为， 单调递增区间为. 综上所述，当k≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；当k＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为. 15.〔多选〕已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则（　　） A.f（ln 2）＜2f（0） B.f（2）＜e2f（0） C.f（ln 2）＞2f（0） D.f（2）＞e2f（0） 解析：AB　令g（x）＝，则g'（x）＝＜0，故g（x）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故g（ln 2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，所以f（ln 2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）. 16.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）. （1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围. 解：（1）当a＝－时，f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1）， 则f'（x）＝－x＋＝－（x＞－1）. 令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1. 故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）. （2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立. 令g（x）＝－，x∈[1，＋∞）， 易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立， 所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增， 因此g（x）min＝g（1）＝－，故a≤－. 即实数a的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $