2.6.2 函数的极值 教学设计-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

函数的极值 【教学目标】 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.理解函数的极值点和极值，掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 4.熟练掌握求极值的步骤，会求函数的极值. 【教学重点】 函数的极值点与极值的理解，求函数的极值. 【教学难点】 极值点和极值的求解过程 【教学过程】 1、 情境导入 1、视频：庐山风景 2、朗诵：古诗《题西林壁》 题西林壁 苏轼[宋] 横看成岭侧成峰，远近高低各不同。 不识庐山真面目，只缘身在此山中。 2、 问题探究 如图是庐山的部分截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 思考： 点,左右两侧函数的单调性怎样？ 点,附近的导数值的符号怎样？ 点,处的导数值为多少？ 函数在点,处的函数值与其附近点处的函数值有怎样的大小关系？ 三、概念形成 1.函数的极值点和极值 　(1)极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 四、问题探究 观察函数y=f(x)的图像思考下列问题： 1. C 1. a 1. b 讨论： 函数有哪些极值点？有哪些极大值点？哪些极小值点？ 极大值点和极小值点的出现有什么规律？极大值是否大于极小值? 极值点能否是区间的端点？ 导数值为0的点是否为极值点？ 五、概念深化 1、.函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质,因此一个函数在其整个定义域上可能有多个极值,也有可能没有极值。 2.对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 3.极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． 4.对于可导函数而言，极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点. 六、例题精讲 例题：求函数的极值． 解：∵，令，即，解得，． 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x 3 ＋ 0 0 ＋ 极大值 极小值 ∴由上表可知，函数的极大值为；函数的极小值为． 七、总结步骤 函数极值的求法与步骤 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 八、课堂练习 求下列函数的极值： 1、 2、 9、 课后思考 “不识庐山真面目，只缘身在此山中”讲的是为什么不能辨别庐山的真面目呢？只因为我们身在庐山之中，我们的视野被庐山的峰峦所局限，我们只能看到庐山的一峰一谷，一丘一壑，要想从整体把握庐山，我们必须走出庐山，全面考虑，那么，这其中又蕴含了怎样的数学知识呢？它其实就是我们下节课要讲的《函数的最值》。 【课堂小结】 1.知识总结： 极值的定义； 判定极值的方法； 求极值的步骤. 2.数学核心素养： 数学抽象、数学建模、数学计算. 【课后作业】 必做题 习题4-1 A组第四题 选做题 习题4-1 B组第三题 学科网（北京）股份有限公司 $