第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一课时　等比数列的概念及其通项公式 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.体会等比数列与指数函数的关系（数学抽象）. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ （2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？ 知识点一　等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是　同一个常数　，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母　q　表示（q≠0）. 　　提醒：理解等比数列概念应注意3点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝（n≥2）或q＝.特别注意q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列都是公比为1的等比数列，当q＝－1时，等比数列正负相间且相邻两项的和为零，等比数列的任何一项都不能为零. 知识点二　等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝　a1qn－1　（a1≠0，q≠0）. 知识点三　等比数列的函数特征 1.等比数列通项公式的函数解释 类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数有以下关系：由an＝a1qn－1知它是指数型函数y＝a1qx中x≥2，x∈N＋的情形.其具有指数型函数的某些特征. 2.等比数列的增减性 根据指数函数的单调性，分析等比数列an＝a1qn－1（q＞0）的增减性： a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜ q＜1 q＝1 q＞1 0＜q ＜1 q＝1 q＞1 数列{an} 的增减性 递减 数列 常数 列 递增 数列 递增 数列 常数 列 递减 数列 【想一想】 如果一个数列{an}的通项公式为an＝aqn，其中a，q都是不为0的常数，那么这个数列是等比数列吗？ 提示：这个数列是等比数列，证明如下： 取数列{an}中的任意相邻两项an与an＋1，作商得＝＝q，由于a，q都是不为0的常数，所以数列{an}是等比数列，其公比为q，首项为aq. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（　√　） （2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.（　×　） （3）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.（　×　） 2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　） A.32　　　　　　　　 B.－48 C.48 D.96 解析：C　a5＝a1q4＝3×24＝48. 3.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝　3×2n－3　. 解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3. 题型一｜等比数列的通项公式 【例1】　在等比数列{an}中： （1）若a4＝27，q＝－3，求a7； 解：（1）由a4＝a1·q3，得27＝a1·（－3）3，得a1＝－1， 故a7＝a1·q6＝（－1）×（－3）6＝－729. （2）若a2＝18，a4＝8，求a1和q； 解：（2）由已知得 解得或 （3）若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3. 解：（3）由已知得 由得＝，故q＝或q＝2， 当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. 通性通法 　　等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，一般已知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形用问题.当然对于等比数列来说，可能有时计算起来方法不当，会非常烦琐，所以方法的选取非常重要，一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 【跟踪训练】 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（　　） A.－　　　　　　　　 B.－2 C.2 D. 解析：D　∵a2＝a1q＝2①，a5＝a1q4＝②，∴②÷①得，q3＝，∴q＝.故选D. 题型二｜等比数列项的设法 【例2】　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解：设这四个数依次为－a，，a，aq（a≠0，q≠0），由条件得 解得或 当q＝2，a＝8时，所求四个数分别为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数分别为15，9，3，1. 通性通法 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为，a，aq（a≠0，q≠0）. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…（a≠0，q≠0）； （2）四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3（a≠0，q≠0）. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，…（a≠0，q≠0）. 【跟踪训练】 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：设前三个数依次为，a，aq（q≠0），则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.故所求的四个数为9，6，4，2. 题型三｜等比数列的函数特征 【例3】　在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列. 通性通法 等比数列的单调性 （1）根据指数函数的单调性，可分析当q＞0且q≠1时的单调性； （2）等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}不具有单调性，是摆动数列. 【跟踪训练】 在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列{（ ）n}的公比为，是递减数列；等比数列{－（ ）n}的公比为，是递增数列. 题型四｜等比数列的判定与证明 【例4】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，bn＝an＋1（n∈N＋）. （1）求证：{bn}是等比数列； 解：（1）证明：∵an＋1＝3an＋2，bn＝an＋1， ∴bn＋1＝an＋1＋1＝3an＋3＝3（an＋1）＝3bn， 又∵b1＝a1＋1＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列. （2）求{an}的通项公式. 解：（2）由（1）知，an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 【母题探究】 （变条件）本例中把bn＝an＋1变为bn＝an＋1－an，其他不变，如何求解. 解：（1）证明：∵an＋1＝3an＋2， ∴an＝3an－1＋2（n≥2）， ∴bn＝an＋1－an＝3an＋2－（3an－1＋2）＝3（an－an－1）＝3bn－1（n≥2），∴＝3（n≥2）， ∴{bn}是首项b1＝a2－a1＝3a1＋2－a1＝4，公比为3的等比数列. （2）由（1）知bn＝4·3n－1，即an＋1－an＝3an＋2－an＝2an＋2＝4·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 通性通法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列{an}满足＝q（n∈N＋，q为常数且不为零）或＝q（n≥2，n∈N＋，q为常数且不为零），则数列{an}是等比数列； （2）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1（a1≠0，q≠0），则数列{an}是等比数列. 提醒　（1）判定一个数列不是等比数列，只需说明其有连续三项不是等比数列即可；（2）证明一个数列是等比数列，必须证明满足等比数列的定义. 【跟踪训练】 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝（an－1）（n∈N＋）. （1）求a1，a2； 解：（1）由S1＝（a1－1），得a1＝（a1－1）， 所以a1＝－. 又S2＝（a2－1）， 即a1＋a2＝（a2－1）， 得a2＝. （2）求证：数列{an}是等比数列. 解：（2）证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝（an－1）－（an－1－1）， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－， 公比为－的等比数列. 1.在数列{an}中，如果an＝32－n（n＝1，2，3，…），那么这个数列是（　　） A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列 C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列 解析：C　因为an＝32－n（n＝1，2，3，…），所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n（n≥2），则有＝＝（n≥2），所以{an}为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3.故选C. 2.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝（　　） A.64 B.81 C.128 D.243 解析：A　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64. 3.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列 解析：AC　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错. 4.已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求证：{an－5}是等比数列. 证明：由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2（an－5）. 又a1－5＝－1≠0， 故数列{an－5}是首项为－1， 公比为2的等比数列. 1.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4＝（　　） A.108　　　　　　　　　　B.54 C.36 D.18 解析：B　因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54. 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为（　　） A.4 B.8 C.6 D.32 解析：C　设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6. 3.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝（　　） A.4× B.4× C.4× D.4× 解析：C　由题意，知＝，即（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×. 4.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（　　） A. B.4 C.2 D. 解析：C　因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以＝，即＝a1a7，设数列{an}的公差为d，则d≠0，所以（a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），所以a1＝2d，所以公比q＝＝＝2. 5.〔多选〕下列关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是（　　） A.q＞1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q＞1 C.0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D.q＞1 {an}为递增数列且{an}为递增数列 q＞1 解析：ABC　若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈（0，1），则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确. 6.〔多选〕（2025·保定期末）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则下列能判断{an}为递减数列的有（　　） A.a1＝3，q＝ B.a1＝2，q＝3 C.a1＝，q＝ D.a1＝－，q＝ 解析：AC　对于A，an＝3×（ ）n－1，所以由函数特性知{an}为递减数列，A正确；对于B，an＝2×3n－1，所以{an}为递增数列，B错误；对于C，an＝×（ ）n－1，所以{an}为递减数列，C正确；对于D，an＝－×（ ）n－1，所以{an}为递增数列，D错误. 7.在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝　8　. 解析：由a4＝a1q3得q3＝2，q＝，∴a7＝a1q6＝2×（）6＝8. 8.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为　lg an＝（n－3）lg 2　. 解析：∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg an＝（n－3）lg 2. 9.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是　8，4，2或2，4，8　. 解析：设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq（aq≠0），则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得a＝4，q＝或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8. 10.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若an＝，求n. 解：（1）因为所以q2＝＝. 所以q＝±，a1＝128. 当q＝时，an＝a1qn－1＝128×＝28－n； 当q＝－时，an＝a1qn－1＝128×. 所以an＝28－n或an＝128×. （2）当an＝时，28－n＝或128×＝， 解得n＝9. 11.已知在单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（　　） A.{1} B.（－∞，0） C.（1，＋∞） D.（0，1） 解析：D　因为等比数列{an}单调递减，a1＞0，所以q＞0，an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，所以qn－1（q－1）＜0.又因为n≥1，所以qn－1＞0，q－1＜0，所以0＜q＜1，故选D. 12.〔多选〕已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是（　　） A.a3＋a7≥2 B.a4＋a6≥2 C.a7－2a6＋1≥0 D.a3－2a4－1≥0 解析：AC　因为等比数列{an}的公比为q（q≠0），且a5＝a3q2＝1，所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2.a3＋a7＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1时取等号，故A正确；a4＋a6＝＋q，当q＜0时，a4＋a6＜0，故B错误；a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝（q－1）2≥0，故C正确；a3－2a4－1＝－－1＝（ －1）2－2，存在q使得a3－2a4－1＜0，故D错误.故选A、C. 13.已知数列a1，，，…，是首项为4，公比为的等比数列，则a4＝　4　. 解析：∵数列a1，，，…，是首项为4，公比为的等比数列，∴＝4×＝23－n，∴a4＝a1×××＝4×2×1×＝4. 14.记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝2，S10＝11a5，b3－b2＝a2. （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）证明：{}是等比数列. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为S10＝11a5， 所以10×2＋d＝11（2＋4d），解得d＝2， 则an＝2＋（n－1）×2＝2n. 设正项等比数列{bn}的公比为q（q＞0），则b3＝2q2，b2＝2q. 由2q2－2q＝4，解得q＝2或－1（舍去）， 故bn＝2×2n－1＝2n. （2）证明：令cn＝＝＝，则＝， 故{}是以为首项，为公比的等比数列. 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（ ）2＝. 16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0（n＝1，2，3，…）有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. （1）试用an表示an＋1； （2）求证：是等比数列； （3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式. 解：（1）由根与系数的关系，得 代入题设条件6（α＋β）－2αβ＝3， 得－＝3. 所以an＋1＝an＋. （2）证明：因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝. 若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0， 可化为x2－x＋1＝0， 即2x2－2x＋3＝0. 此时Δ＝（－2）2－4×2×3＜0， 所以an≠，即an－≠0. 所以数列是以为公比的等比数列. （3）当a1＝时， a1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以an－＝×＝， 所以an＝＋，n＝1，2，3，…， 即数列{an}的通项公式为an＝＋，n＝1，2，3，…. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $