第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一课时　等比数列的概念及其通项公式

课标要求

我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”

【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？

（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？

知识点一　等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是　同一个常数　，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母　q　表示（q≠0）.

　　提醒：理解等比数列概念应注意3点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝（n≥2）或q＝.特别注意q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列都是公比为1的等比数列，当q＝－1时，等比数列正负相间且相邻两项的和为零，等比数列的任何一项都不能为零.

知识点二　等比数列的通项公式

若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝　a1qn－1　（a1≠0，q≠0）.

知识点三　等比数列的函数特征

1.等比数列通项公式的函数解释

类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数有以下关系：由an＝a1qn－1知它是指数型函数y＝a1qx中x≥2，x∈N＋的情形.其具有指数型函数的某些特征.

2.等比数列的增减性

根据指数函数的单调性，分析等比数列an＝a1qn－1（q＞0）的增减性：

【想一想】

如果一个数列{an}的通项公式为an＝aqn，其中a，q都是不为0的常数，那么这个数列是等比数列吗？

提示：这个数列是等比数列，证明如下：

取数列{an}中的任意相邻两项an与an＋1，作商得＝＝q，由于a，q都是不为0的常数，所以数列{an}是等比数列，其公比为q，首项为aq.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（　√　）

（2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.（　×　）

（3）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.（　×　）

2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　）

A.32　　　　　　　　 B.－48

C.48 D.96

解析：C　a5＝a1q4＝3×24＝48.

3.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝　3×2n－3　.

解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.

题型一｜等比数列的通项公式

【例1】　在等比数列{an}中：

（1）若a4＝27，q＝－3，求a7；

解：（1）由a4＝a1·q3，得27＝a1·（－3）3，得a1＝－1，

故a7＝a1·q6＝（－1）×（－3）6＝－729.

（2）若a2＝18，a4＝8，求a1和q；

解：（2）由已知得

解得或

（3）若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.

解：（3）由已知得

由得＝，故q＝或q＝2，

当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；

当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.

通性通法

　　等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，一般已知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形用问题.当然对于等比数列来说，可能有时计算起来方法不当，会非常烦琐，所以方法的选取非常重要，一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1.

【跟踪训练】

已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（　　）

A.－　　　　　　　　 B.－2