第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一课时　等差数列的概念及其通项公式 课标要求 1.理解等差数列的概念（数学抽象）. 2.掌握等差数列的通项公式及应用（数学建模）. 3.掌握等差数列的判定方法（数学运算）. （1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，龙年的年份为2 024，2 036， 2 048，2 060，2 072，2 084，…； （2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； （3）2024年6月中，每个星期日的日期为2，9，16，23，30. 【问题】　以上数列有什么共同的特点？ 知识点一　等差数列的概念 定义 （文字语言） 对于一个数列，如果从第　 2　项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个常数　，那么称这样的数列为等差数列，称这个　常数　为等差数列的公差，通常用字母　d　表示 定义式 （符号语言） {an}成等差数列⇔an－an－1＝d（d为常数，n∈N＋且n≥2）⇔an＋1－an＝d（d为常数，n∈N＋） 　　提醒：对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”；③定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 【想一想】 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定.必须是同一个常数. 知识点二　等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 　an－an－1　＝d（n≥2） an＝　a1＋（n－1）d　（n∈N＋） 　　提醒：数列{an}组成等差数列的充要条件是an＝pn＋q（p、q为常数）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列4，4，4，…是等差数列.（　√　） （2）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（　×　） （3）如果等差数列的通项公式为an＝2n＋1，那么该数列的公差为2.（　√　） 2.若数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列，如果an＝2 022，则n＝（　　） A.504　　　B.505　　　C.506　　　D.507 解析：C　令2＋4（n－1）＝2 022，解得n＝506. 3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝　2n－5　. 解析：由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋（n－1）×2＝2n－5. 题型一｜等差数列的概念 【例1】　下列数列中成等差数列的是（　C　） A.，，　　　　　　　　B.lg 5，lg 6，lg 7 C.1，， D.2，3，5 解析：　对于A，∵－≠－，故A不是等差数列；对于B，∵lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，故B不是等差数列；对于C，∵－1＝－＝－，故C是公差为－的等差数列；对于D，∵3－2≠5－3，故D不是等差数列.故选C. 通性通法 　　判断一个数列是不是等差数列，就是判断从该数列的第2项起，每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an（n≥1，n∈N＋）是不是一个与n无关的常数. 【跟踪训练】 下列数列中，是等差数列的为　①　（填序号）. ①an＝－2n＋3；②0，1，0，1，0，1，…；③an＝ 解析：由等差数列的定义可知，①是等差数列，②③均不是. 题型二｜等差数列的通项公式 角度1　求等差数列的通项公式 【例2】　在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an. 解：因为a4＝7，a10＝25， 则得 所以an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， 所以通项公式an＝3n－5（n∈N＋）. 通性通法 　　应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由am＝a，an＝b， 得求出a1和d，从而确定通项公式. 【跟踪训练】 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－＝0上，则（　　） A.an＝3n　　　　　　　　B.an＝ C.an＝n－ D.an＝3n2 解析：D　∵点（，）在直线x－y－＝0上，∴－＝，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列.∴数列{}的通项公式为＝＋（n－1）×＝n，∴an＝3n2.故选D. 角度2　利用通项公式判断项或求项 【例3】　在等差数列{an}中： （1）已知a1＝8，a9＝－2，求d与a14； （2）已知a3＋a5＝18，a4＋a8＝24，求d. 解：（1）由a9＝a1＋8d＝－2， ∵a1＝8.∴d＝－， ∴a14＝a1＋13d＝8＋13×＝－. （2）由（a4＋a8）－（a3＋a5）＝4d＝6. ∴d＝. 【母题探究】 1.（变条件）若本例（1）中条件变为“a5＝11，a8＝5”，如何求解？ 解：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得 解得 ∴a14＝19＋（14－1）×（－2）＝－7. 2.（变设问）若本例（2）条件不变，试求a6＋a10的值. 解：由（2）知d＝， 所以a6＋a10＝（a4＋a8）＋4d＝24＋4×＝30. 通性通法 等差数列通项公式的三个主要应用 （1）已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量； （2）由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项也可以判断某一个数是不是该数列中的项； （3）根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项. 【跟踪训练】 　在等差数列{an}中，求解下列各题： （1）已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝　10　； 解析：（1）由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×，故a1＝10. （2）已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝　－　； 解析：（2）由题意得 解得 （3）已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝　58　. 解析：（3）由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58. 题型三｜等差数列的判断与证明 【例4】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列. （1）an＝4－2n； 解：（1）∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n. ∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2. 故数列{an}是等差数列. （2）an＝ 解：（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列. （3）an＝n2＋n. 解：（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列. 通性通法 1.定义法证明数列是等差数列的方法：an＋1－an＝d（常数）（n∈N＋）⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d（常数）（n≥2，n∈N＋）⇔{an}是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列，只要证明其中特定三项（如前三项a1，a2，a3）不是等差数列即可. 【跟踪训练】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. （1）数列是否为等差数列？说明理由； 解：（1）数列是等差数列.理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝， 所以＝＝＋， 所以－＝， 即是首项为＝，公差d＝的等差数列. （2）求an. 解：（2）由（1）可知，＝＋（n－1）d＝， 所以an＝. 1.若数列{an}的通项公式是an＝2（n＋1）＋3，则此数列（　　） A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列 解析：A　an＋1－an＝[2（n＋2）＋3]－[2（n＋1）＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列. 2.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n（n∈N＋），则它的公差d＝（　　） A.2　 B.3 C.－2　 D.－3 解析：C　由等差数列的定义，得d＝－2. 3.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列（a为常数） C.等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式（k，b为常数） D.数列{2n＋1}是等差数列 解析：BCD　A中的公差为－2，A错误；B、C、D均正确. 4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是　46　. 解析：d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋（n－1）d＝1－2（n－1），解得n＝46. 5.已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列. 证明：因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d. 从而bn＋1－bn＝（2an＋1＋3）－（2an＋3）＝2（an＋1－an）＝2d，它是一个与n无关的常数， 所以数列{bn}是等差数列. 1.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2.则a5＝（　　） A.－6　 B.6 C.－10 D.10 解析：B　∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B. 2.（2025·武汉期末）数列{an}中，a25＝22，an＋1－an＝1，则a1＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：A　由题意知，{an}是公差为1的等差数列，a25＝a1＋（25－1）×1＝22，解得a1＝－2.故选A. 3.在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为当n≥2时，－＝，所以是以＝为首项，为公差的等差数列，故＝＋15×＝，故a16＝. 4.《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（　　） A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 解析：B　依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝. 5.〔多选〕已知等差数列{an}的首项为－，若{an}从第6项起出现正数，则公差d的值可能为（　　） A. B. C. D. 解析：AC　an＝－＋（n－1）d，∵从第6项开始为正数，∴a6＝－＋5d＞0，a5＝－＋4d≤0，解得＜d≤，故选A、C. 6.〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N＋），则下列说法正确的有（　　） A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k（k∈N＋） C.a2k－1＝12－2k（k∈N＋） D.an＋an＋1＝18－3n 解析：BC　由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于a2－a1≠a3－a2，所以{an}不是等差数列，A不正确；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N＋）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N＋）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 7.在等差数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1（n∈N＋），则该数列的公差为　　. 解析：∵an＋1＝an＋，∴an＋1－an＝（n∈N＋），∴数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列. 8.已知等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，则x＝　1　，a2 024＝　2 024　. 解析：由等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，得2x－x＝2x＋1－2x＝1，解得x＝1，故公差d＝1，所以an＝n，所以a2 024＝2 024. 9.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为　5　. 解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6， 令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 10.在等差数列{an}中： （1）若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； （2）若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：（1）因为解得 所以an＝7＋2（n－1）＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. （2）设{an}的公差为d，则 解得 所以an＝12＋（n－1）×（－1）＝13－n， 所以a10＝13－10＝3. 11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2 024这2 024个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有（　　） A.202项 B.203项 C.204项 D.205项 解析：B　由已知可得an－1既能被2整除，也能被5整除，故an－1能被10整除，所以an－1＝10（n－1），n∈N＋，即an＝10n－9，故1≤an≤2 024，即1≤10n－9≤2 024，解得1≤n≤203.3，故共203项，故选B. 12.〔多选〕若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有（　　） A.{an＋an＋1} B.{} C.{an＋1－an} D.{2an} 解析：ACD　设等差数列{an}的公差为d.对于A，（an＋an＋1）－（an－1＋an）＝（an－an－1）＋（an＋1－an）＝2d（n≥2），所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列；对于B，－＝（an＋1－an）·（an＋an＋1）＝d（an＋an＋1）≠常数，所以{}不是等差数列；对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列. 13.已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝　n2（n∈N＋）　. 解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝n，所以an＝n2（n∈N＋）. 14.已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N＋）. （1）证明：数列{}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由＝ ＝＝＝ ＝＋， 得－＝，n∈N＋，故数列{}是等差数列. （2）由（1）知＝＋（n－1）×＝， 所以an＝，n∈N＋. 15.以过圆x2＋y2＝10x内一点（5，3）的最短弦长为等差数列{an}的首项a1，最长弦长为其末项an，若等差数列{an}的公差d∈［，］，则项数n的取值不可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：A　由题意，将圆x2＋y2＝10x化为（x－5）2＋y2＝25，可得圆心坐标为C（5，0），半径r＝5.设A（5，3），可得｜AC｜＝3，由圆的弦长公式，可得a1＝2＝8，an＝10，设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，即8＋（n－1）·d＝10，所以n＝＋1.因为≤d≤，所以5≤＋1≤7，即5≤n≤7，结合选项可得n的取值不可能是4.故选A. 16.若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d（d为常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n. （1）求证：数列{an}为准等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an＋an＋1＝2n（n∈N＋），① 所以an＋1＋an＋2＝2（n＋1），② ②－①得an＋2－an＝2（n∈N＋），所以数列{an}是公差为2的准等差数列. （2）因为a1＝a，an＋an＋1＝2n（n∈N＋），所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2－a＋（ －1）×2＝n－a，当n为奇数时，an＝a＋（ －1）×2＝n＋a－1.所以an＝ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $