第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一课时　等差数列的概念及其通项公式

课标要求

（1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，龙年的年份为2 024，2 036， 2 048，2 060，2 072，2 084，…；

（2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；

（3）2024年6月中，每个星期日的日期为2，9，16，23，30.

【问题】　以上数列有什么共同的特点？

知识点一　等差数列的概念

　　提醒：对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”；③定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.

【想一想】

若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列吗？

提示：不一定.必须是同一个常数.

知识点二　等差数列的通项公式

已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

　　提醒：数列{an}组成等差数列的充要条件是an＝pn＋q（p、q为常数）.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）数列4，4，4，…是等差数列.（　√　）

（2）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（　×　）

（3）如果等差数列的通项公式为an＝2n＋1，那么该数列的公差为2.（　√　）

2.若数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列，如果an＝2 022，则n＝（　　）

A.504　　　B.505　　　C.506　　　D.507

解析：C　令2＋4（n－1）＝2 022，解得n＝506.

3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝　2n－5　.

解析：由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋（n－1）×2＝2n－5.

题型一｜等差数列的概念

【例1】　下列数列中成等差数列的是（　C　）

A.，，　　　　　　　　B.lg 5，lg 6，lg 7

C.1，， D.2，3，5

解析：　对于A，∵－≠－，故A不是等差数列；对于B，∵lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，故B不是等差数列；对于C，∵－1＝－＝－，故C是公差为－的等差数列；对于D，∵3－2≠5－3，故D不是等差数列.故选C.

通性通法

　　判断一个数列是不是等差数列，就是判断从该数列的第2项起，每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an（n≥1，n∈N＋）是不是一个与n无关的常数.

【跟踪训练】

下列数列中，是等差数列的为　①　（填序号）.

①an＝－2n＋3；②0，1，0，1，0，1，…；③an＝

解析：由等差数列的定义可知，①是等差数列，②③均不是.

题型二｜等差数列的通项公式

角度1　求等差数列的通项公式

【例2】　在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an.

解：因为a4＝7，a10＝25，

则得

所以an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，

所以通项公式an＝3n－5（n∈N＋）.

通性通法

　　应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由am＝a，an＝b，

得求出a1和d，从而确定通项公式.

【跟踪训练】

在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－＝0上，则（　　）