第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二课时　等差数列的性质 课标要求 1.掌握等差数列的通项与一次函数的关系（数学抽象）. 2.掌握并应用等差中项（数学运算）. 3.了解等差数列的性质及应用（数学运算）. 如图，从下面数第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）从上面数第二层有几个球？ （2）每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？ 知识点一　等差数列与一次函数的关系 1.等差数列的图象 由an＝a1＋（n－1）d＝　dn＋（a1－d）　，可知其图象是直线y＝dx＋（a1－d）上的一些　等间隔的点　，这些点的横坐标是　正整数　，其中　公差d　是该直线的斜率. 2.等差数列通项公式的推广及几何意义 （1）an＝am＋（n－m）d（m，n∈N＋）； （2）d＝（m，n∈N＋，且m≠n），其几何意义是过两点（n，an）与（m，am）连线的斜率. 3.等差数列的单调性 对于an＝dn＋（a1－d）， （1）当d＞0时，数列{an}为　递增数列　； （2）当d＜0时，数列{an}为　递减数列　； （3）当d＝0时，数列{an}为　常数列　. 知识点二　等差中项及其推广结论 1.等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成　等差数列　，那么A叫作a与b的　等差中项　，且A＝　　. 2.等差中项的推广 （1）等差数列“下标和”的性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋），则　am＋an＝ap＋aq　.特别地，若m＋n＝2p（m，n，p∈N＋），则有　am＋an＝2ap　； （2）等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 知识点三　等差数列的性质 1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N＋） {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数） 2.由数列{an}是公差为d的等差数列，则可衍生其他数列 （1）从等差数列{an}中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列，即在等差数列中，等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋（n－1）t，…为等差数列，公差为td； （2）等差数列{an}中，若am＝n，an＝m（m≠n，m，n∈N＋），则am＋n＝0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.（　×　） （2）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（　√　） （3）若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.（　×　） （4）若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n＞1，且n∈N＋.（　√　） 2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　） A.26　　　　　　　　　　B.29 C.39 D.52 解析：C　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝　30　. 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30. 题型一｜等差数列的函数特性 【例1】　画出数列an＝的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 解：数列{an}是首项为18，公差为－3的等差数列， 图象如图.通过图象上所有点的直线的斜率k＝－3. 通性通法 　　等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，那么数列{an}上任一有序数对（n，an）对应的点都在直线y＝dx＋b上，且数列{an}的公差d等于该直线的斜率. 【跟踪训练】 已知等差数列{an}的前三项依次为a＋1，a－1，2a＋3，求： （1）数列的通项公式； （2）判断数列{an}的增减性. 解：（1）∵a＋1，a－1，2a＋3是等差数列{an}的前三项， ∴2（a－1）＝（a＋1）＋（2a＋3）， 解得a＝－6， ∴a1＝－5，a2＝－7，a3＝－9， ∴d＝－2，∴an＝－5－2（n－1）＝－2n－3. （2）由（1）知d＝－2＜0. ∴{an}为递减数列. 题型二｜等差中项的应用 【例2】　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 通性通法 　　由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1（n≥2，n∈N＋），即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.在求等差数列的项时，可利用上述性质. 【跟踪训练】 若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　） A. B. C. D. 解析：A　由题知a，b的等差中项为（ ＋）＝（－＋＋）＝. 题型三｜等差数列性质的应用 【例3】　（1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（　B　） A.7 B.14 C.21 D.7（n－1） 解析：（1）因为a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（　C　） A.0 B.37 C.100 D.－37 解析：（2）设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则（an＋1＋bn＋1）－（an＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝（a2＋b2）－（a1＋b1）＝100－（25＋75）＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. 通性通法 等差数列运算的两种常用方法及思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d的值，然后求其他量； （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N＋），则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 【跟踪训练】 1.数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6（a5＋a7＋a9）＝（　　） A.－2 B.－ C.2 D. 解析：C　由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3.所以{an}是公差为3的等差数列.又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6（a5＋a7＋a9）＝log6（3a7）＝log636＝2. 2.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　35　. 解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5），所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 题型四｜等差数列的实际应用 【例4】　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为（　　） A.1升　　　　　　　 　 B.升 C.升 D.升 解析：B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升. 通性通法 1.解答数列实际应用问题的基本步骤 2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 【跟踪训练】 假设某市2022年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房的面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在　2031　年新建住房的面积开始大于820万平方米. 解析：设2023年为第1年，第n年该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋（n－1）d＝50n＋400.令50n＋400＞820，解得n＞.由于n∈N＋，则n≥9.所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米. 1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝（　　） A.5 B.6 C.8 D.10 解析：A　由a1＋a9＝2a5＝10得a5＝5，故选A. 2.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（　　） A.4 B. C.－4 D.－ 解析：A　由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4. 3.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an，…组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析：C　因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 4.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝　1　. 解析：∵{an}是等差数列， ∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2， ∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1. 5.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是　－11　℃. 解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11. 1.已知p＝，q＝－2，则p，q的等差中项为（　　） A.　　　　　　　　　 B. C.2 D.4 解析：B　设p，q的等差中项为a，则有2a＝p＋q＝＋－2＝2，所以a＝，即p，q的等差中项为.故选B. 2.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（　　） A.8 B.4 C.6 D.12 解析：A　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8. 3.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝77，则公差d＝（　　） A.1 B. C. D. 解析：D　因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝.因为a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，所以a9＝7，所以公差d＝＝. 4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：C　设5份面包个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d（其中d＞0），则有（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5a＝120，所以a＝24.由a＋a＋d＋a＋2d＝7（a－2d＋a－d），得3a＋3d＝7（2a－3d），所以24d＝11a，所以d＝11.所以最少的那份面包个数为a－2d＝24－22＝2.故选C. 5.〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 解析：AC　A项中，∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·（2b）＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确.C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确；由a，b，c成等差数列，而2b＝a＋c推不出2log2b＝log2a＋log2c，也推不出2×2b＝2a＋2c.故B、D均不正确. 6.〔多选〕已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有（　　） A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＝0 C.a3＋a100≤0 D.a51＝0 解析：BD　设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0，∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝（a1＋a101）＋（a2＋a100）＋…＋（a50＋a52）＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正确，A错误.又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝（a1＋2d）＋（a1＋99d）＝2a1＋101d＝2×（－50d）＋101d＝d＞0，故C错误. 7.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　180　. 解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 8.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴交点的个数为　1或2　. 解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0.故二次函数图象与x轴交点的个数为1或2. 9.已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝，则tan（a3＋a9）＝　　. 解析：因为数列{an}为等差数列，a2＋a6＋a10＝，所以a2＋a6＋a10＝3a6＝，解得a6＝，所以a3＋a9＝2a6＝，所以tan（a3＋a9）＝tan ＝. 10.（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； （2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. 解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得所以这三个数为4，3，2. （2）设公差为d，∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16⇒d＝3或d＝－3（舍去）， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b＝（　　） A.1＋ B.2＋ C. D. 解析：A　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B　①，又S△ABC＝acsin B＝ac＝，∴ac＝6　②.∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b　③，将②③代入①得b2＝4b2－12－6，化简整理得b2＝4＋2，解得b＝1＋（负值已舍去）. 12.〔多选〕如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则（　　） A.a3a6＞a4a5 B.a3a6＜a4a5 C.a3＋a6＝a4＋a5 D.a3a6＝a4a5 解析：BC　由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）·（a1＋5d）＝＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C. 13.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　12n－1　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　25　. 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由解得1≤n≤25.故{cn}的项数为25. 14.已知在数列{an}中，a1＝32，a17＝－32，通项公式是项数n的一次函数. （1）求数列{an}的通项公式； （2）－88是不是数列{an}中的项？ （3）该数列从第几项起为负？ 解：（1）由题意可设an＝an＋b， 则a1＝a＋b＝32，① a17＝17a＋b＝－32，② 由①②得a＝－4，b＝36. 故an＝－4n＋36. （2）令－4n＋36＝－88，得n＝31. 故－88是数列{an}中的项. （3）令－4n＋36＜0，则n＞9. 故数列{an}从第10项起为负. 15.在数列{an}中，若－＝p（n≥2，n∈N＋，p为常数），则称{an}为“等方差数列”.给出下列命题： ①数列{（－1）n}是“等方差数列”； ②若{an}是“等方差数列”，则{}是等差数列； ③若{an}是“等方差数列”，则{akn}（k∈N＋，k为常数）也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题的序号为　①②③④　. 解析：对于①，因为[（－1）n]2－[（－1）n－1]2＝0，所以{（－1）n}是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{}是等差数列；对于③，设－＝p，当n≥2，n∈N＋时，－＝－＋－＋…＋－＝kp，为常数，故{akn}为“等方差数列”；对于④，数列{an}满足－＝p，an－an－1＝d（p，d为常数，d为数列{an}的公差，n≥2，n∈N＋），若d＝0，则{an}为常数列.若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝（n≥2，n∈N＋），所以an＝，为常数，即{an}为常数列. 16.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75％销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 解：设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}， an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75％＝600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用： （800－20n）n－600n＝20n（10－n）. 当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机多于10台时，到甲商场购买花费较少. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $