2.1 第2课时 等差数列的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等差数列的性质这一核心知识点，系统梳理了等差数列中“若m+n=p+q则am+an=ap+aq”的性质、等差中项概念、与一次函数的关系（通项为一次函数，公差为斜率，单调性由d决定）及实际应用，构建了从定义通项到性质拓展再到实际应用的学习支架。 该资料以问题驱动引导数学思维，通过思考1、2归纳性质培养推理能力，结合函数图象培养数学眼光，以出租车计费、节气晷长实例强化数学语言表达与应用意识。课中即时练与跟踪训练辅助教师互动教学，课后例题解析与变式练习帮助学生查漏补缺，提升解决问题能力。

第2课时　等差数列的性质 1.通过对等差数列性质的学习，能灵活运用等差数列的性质解决问题．　2.通过学习等差中项，掌握等差数列的通项公式及运用．　3.借助等差数列的实际应用的学习，掌握数列在实际生活中的应用． 观察等差数列{an}的项与项数，思考下列问题： 思考1　3＋6＝4＋5，a3＋a6与a4＋a5相等吗？ 提示：相等． 思考2　若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an与ap＋aq相等吗？ 提示：相等．因为am＝3m，an＝3n，ap＝3p，aq＝3q， 所以am＋an＝3(m＋n)，ap＋aq＝3(p＋q)． 因为m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq. 从函数角度研究等差数列{an}． 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d____0时，数列{an}为________数列，如图1所示； 当d____0时，数列{an}为________数列，如图2所示； 当d____0时，数列{an}为________数列，如图3所示． [答案自填] >　递增　<　递减　＝　常 　已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 【解】　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点， 所以a2＝－1，a4＝－7，即 解得 因此an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋5. (2)等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一些等间隔的点，如图所示． (3)因为公差d＝－3＜0，所以等差数列{an}为递减数列． 利用一次函数的性质解决等差数列问题的思路 (1)等差数列的图象是同一条直线上的一些等间隔的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线的斜率及数列的增减性的问题，利用多点共线可快速求解． (2)若a，b，c成等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则＝＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列．反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则(a，l)，(b，m)，(c，n)三点必共线．　 [跟踪训练1] (1)(多选)下列判断正确的是(　　) A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时图象所在直线的斜率 D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 解析：选BCD.A项，因为公差d＝a4－a3＝－2<0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确． (2)已知数列{an}满足a1＝1，若点(n∈N＋)在斜率为1的直线上，则an＝________． 解析：由题意可得为等差数列，且公差d＝1. 又a1＝1， 故其通项公式为＝＋(n－1)d＝n，所以an＝n2. 答案：n2 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成________数列，那么A叫作a与b的等差中项． 如果A是a与b的等差中项， 那么A－a＝b－A，所以A＝____________． [答案自填] 等差　 【即时练】 1．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 解析：选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 2．已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝________． 解析：因为{an}是等差数列，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d.又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2＝2，则2d＝2，解得 d＝1. 答案：1 3．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项是________． 解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 答案：3 4．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：因为，，成等差数列， 所以＝＋，即2ac＝b(a＋c)． 因为＋＝＝＝＝＝， 所以，，成等差数列． 1．等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝________________ (揭示任意两项之间的关系) 2.等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝________________． 点拨　(1)当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak； (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…； (3)若{an}是公差为d的等差数列，则： ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列； (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． [答案自填] am＋(n－m)d　ap＋aq 　(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75＝________； (2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________． 【解析】　(1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知条件， 得 由①②解得a1＝，d＝， 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 方法二：因为{an}为等差数列， 所以公差d＝＝， 所以a75＝a60＋15d＝20＋15×＝24. 方法三：因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设新的等差数列的公差为d1， 则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24. (2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2， 设c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2， 而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假设a＝，则b＝2－＝. 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，不妨设c<d， 所以这个等差数列为，c，d，. 则c＝，d＝. 所以m＝ab＝，n＝cd＝， 所以|m－n|＝＝. 【答案】　(1)24　(2) 等差数列运算常用的两种思路 (1)根据已知条件，寻找、列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量； (2)利用性质巧解，其中若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak最为常用．　 [跟踪训练2] (1)在等差数列{an}中，若a1，a2 025为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 013＋a2 024＝(　　) A．10 B．15 C．20 D．40 解析：选B.由等差数列的性质，得a1＋a2 025＝a2＋a2 024＝2a1 013.因为a1，a2 025是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 025＝10，所以a2＋a1 013＋a2 024＝×10＝15. (2)(多选)已知递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析：选BD.设等差数列{an}的公差为d，易知d>0.因为等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，所以a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，所以a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误；又因为a51＝a1＋50d＝0，所以a1＝－50d，所以a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误． 　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的3 km(含3 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 【解】　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元， 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)，即需要支付车费23.2元． 【变式探究】 (条件变式)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N＋)处的目的地，求其需支付的车费an. 解：当1≤n≤3(n∈N＋)时，an＝10； 当n≥4(n∈N＋)时， an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4. 所以an＝n∈N＋. 解答等差数列实际应用问题的基本步骤 　 [跟踪训练3] (1)(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　) A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 解析：选AB.现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，公差d＝＝10.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，公差d′＝＝－10，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为a11，则a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为b4，a4，a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误．故选AB. (2)假设某市2024年年底新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市从________年年底开始新建住房的面积大于820万平方米． 解析：设从2024年年底开始，n年后该市当年新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N＋，则n≥9.所以该市从2033年年底开始，新建住房的面积大于820万平方米． 答案：2033 1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 解析：选A.由数列{an}是等差数列，知其图象是一条直线上均匀分布的点，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线即过点(4，15)，(7，27)的直线，所以直线的斜率k＝＝4. 2．(2024·安徽淮北高二月考)已知数列{an}是等差数列，a3＝6，a6＝3，则a9＝(　　) A．9 B．0 C．－3 D．－6 解析：选B.因为数列{an}是等差数列，所以a3＋a9＝2a6.又a3＝6，a6＝3，所以a9＝0.故选B. 3．(教材P15T2改编)已知a＝5＋2，c＝5－2，若a，b，c三个数成等差数列，则b＝________． 解析：由等差中项可得2b＝a＋c，所以b＝＝5. 答案：5 4．假设某体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？ 解：由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为{an}， 则a3＝10，a9＝28. 由通项公式可得解得 所以a12＝4＋(12－1)×3＝37. 故体育场该角看台的第12排有37个座位． 1．已学习：等差数列与一次函数的关系，等差数列的性质及实际应用． 2．须贯通： (1)用函数的观点处理等差数列单调性问题，体现数形结合数学思想； (2)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想． 3．应注意： (1)对等差数列的性质不理解而致错； (2)忽略基本法如方程(组)法的应用，不过分强调性质的作用．　 学科网（北京）股份有限公司 $