第1章 1.1 数列的概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

1.1　数列的概念

课标要求

　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，等等.一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.

【问题】　（1）数列的有关概念是什么？

（2）数列可分为哪几类？

知识点一　数列的概念及分类

1.数列的概念

（1）数列：按一定　次序　排列的一列数叫作数列；

（2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的　 项　；

（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列　{an}　，其中a1是数列的第1项，也叫数列的　首项　；an是数列的第n项，也叫数列的　通项　.

2.数列的分类

项数有限的数列称为　有穷数列　，项数无限的数列称为　无穷数列　.

　　提醒：（1）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

【想一想】

　a，b，c，d和b，c，a，d是相同的数列吗？

提示：不是.

知识点二　数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　an＝f（n）　，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

　　提醒：（1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝（－1）n可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（　×　）

（2）数列1，3，5，7，…的第10项是21.（　×　）

（3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.（　√　）

（4）每一个数列都有通项公式.（　×　）

2.〔多选〕数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（　　）

A.an＝1＋（－1）n＋1　　　　B.an＝1－（－1）n

C.an＝1＋（－1）n D.an＝1－cos nπ

解析：ABD　经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合.

3.若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝　99　，224是该数列的第　15　项.

解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项.

题型一｜数列概念的辨析

【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　AD　）

A.数列4，7，3，4的首项是4

B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3

C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8}

D.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列

解析：　根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷数列的概念知，D正确，故选A、D.

通性通法

数列概念理解的易错点

（1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集的区别；

（2）注意数列中的项与项的序号的区别；

（3）注意有穷数列a1，a2，…，an与无穷数列a1，a2，…，an，…表示方法的区别.

【跟踪训练】

下列说法正确的是（　　）

A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，…

B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列

C.数列的第k项为1＋

D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}

解析：C　数列1，3，5，7，…，2n－1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；在C中，ak＝＝1＋，故C中说法正确；在D中，an＝2n－2，故D中说法错误.

题型二｜用观察法求数列的通项公式

角度1　由数列的前几项求通项公式