第1章 1.1 数列的概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

1.1　数列的概念 课标要求 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）（数学抽象、数学运算）. 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，等等.一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列. 【问题】　（1）数列的有关概念是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 知识点一　数列的概念及分类 1.数列的概念 （1）数列：按一定　次序　排列的一列数叫作数列； （2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的　 项　； （3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列　{an}　，其中a1是数列的第1项，也叫数列的　首项　；an是数列的第n项，也叫数列的　通项　. 2.数列的分类 项数有限的数列称为　有穷数列　，项数无限的数列称为　无穷数列　. 　　提醒：（1）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 【想一想】 　a，b，c，d和b，c，a，d是相同的数列吗？ 提示：不是. 知识点二　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　an＝f（n）　，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 　　提醒：（1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝（－1）n可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（　×　） （2）数列1，3，5，7，…的第10项是21.（　×　） （3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.（　√　） （4）每一个数列都有通项公式.（　×　） 2.〔多选〕数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（　　） A.an＝1＋（－1）n＋1　　　　B.an＝1－（－1）n C.an＝1＋（－1）n D.an＝1－cos nπ 解析：ABD　经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合. 3.若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝　99　，224是该数列的第　15　项. 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项. 题型一｜数列概念的辨析 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　AD　） A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 解析：　根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷数列的概念知，D正确，故选A、D. 通性通法 数列概念理解的易错点 （1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集的区别； （2）注意数列中的项与项的序号的区别； （3）注意有穷数列a1，a2，…，an与无穷数列a1，a2，…，an，…表示方法的区别. 【跟踪训练】 下列说法正确的是（　　） A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} 解析：C　数列1，3，5，7，…，2n－1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；在C中，ak＝＝1＋，故C中说法正确；在D中，an＝2n－2，故D中说法错误. 题型二｜用观察法求数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　写出下列各数列的一个通项公式： （1），，，，，…； 解：（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母小1，且分母依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝. （2）－1，，－，，－，，…； 解：（2）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为 an＝ （3），1，，，…. 解：（3）将数列变形为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，可得分子的一个通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的一个通项公式为cn＝n2＋1，所以原数列的一个通项公式为an＝（n∈N＋）. 通性通法 　　此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法求解.具体注意以下几方面：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特征；（5）化异为同；（6）对于符号交替出现的情况，可用（－1）k或（－1）k＋1处理. 【跟踪训练】 1.数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝（　　） A.－　B.　C.　D. 解析：B　－＝（－1）×，＝（－1）2×，－＝（－1）3×，＝（－1）4×，所以其通项公式是an＝. 2.数列，，，，…的通项公式an＝　　. 解析：已知的前四项的变化规律是分子与其序号一一对应，分母是2的整数次幂，指数与其序号一一对应，则其通项公式为an＝. 角度2　由图形信息，探究归纳数列的通项公式 【例3】　观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有　n2－n＋1　小圆圈. 解析：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，…，故第n个图中小圆圈的个数为（n－1）·n＋1＝n2－n＋1. 通性通法 　　首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出通项公式得解. 【跟踪训练】 黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地砖　4n＋2　块. 解析：第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，第3个图案中有白色地砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地砖，由累加法可得第n个图案中有4n＋2块白色地砖. 题型三｜求解或判断数列中的项 【例4】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 解：（1）根据an＝3n2－28n， 得a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. （2）－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 解：（2）令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0， 解得n＝7或n＝（舍）， ∴－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝，均不是正整数， ∴68不是该数列的项. 通性通法 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项. 【跟踪训练】 已知数列{an}的通项公式为an＝. （1）写出数列的前3项； 解：（1）数列的前3项：a1＝＝1， a2＝＝＝，a3＝＝＝. （2）和是不是它的项？如果是，是第几项？ 解：（2）令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋，故n＝－8舍去. 所以是数列的第5项. 令＝，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 注意到n∈N＋，所以不是此数列中的项. 1.已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N＋），则该数列的前4项依次为（　　） A.1，0，1，0　　　　　　 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 解析：B　把n＝1，2，3，4分别代入an＝中，依次得到0，1，0，1. 2.数列1，3，5，7，9，11，…的一个通项公式an＝（　　） A.2n－1 B.n（n－1） C.n（n＋1） D.n2－n＋1 解析：A　数列1，3，5，7，9，11，…是由正奇数按从小到大排列构成的，其一个通项公式为an＝2n－1，故选A. 3.已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的（　　） A.第4项　B.第5项 C.第6项　D.第7项 解析：A　设是数列中的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5，∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4. 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，….如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为　22　. 解析：第一个五边形数为1，第二个五边形数为1＋4＝5，第三个五边形数为1＋4＋7＝12，故第四个五边形数为1＋4＋7＋10＝22. 5.已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式是　an＝（n∈N＋）　，5是该数列的第　19　项. 解析：由给出的前几项可归纳出an＝（n∈N＋）.故由＝5＝，得4n－1＝75，所以n＝19，即5是该数列的第19项. 1.已知数列an＝2n2＋1，则a2＝（　　） A.1　 B.3 C.5 D.9 解析：D　由题意，可知a2＝2×22＋1＝9，故选D. 2.数列2，，，，，…的一个通项公式an＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　数列2，，，，，…可写成，，，，，…，所以通项公式an＝.故选C. 3.已知数列1，3，7，15，…，2n－1，…，则255是这个数列的（　　） A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 解析：C　数列1，3，7，15，…，2n－1，…，即21－1，22－1，23－1，24－1，…，2n－1，…，故该数列的通项公式为an＝2n－1.由an＝2n－1＝255，解得n＝8，即255是这个数列的第8项.故选C. 4.如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，那么在第51个图中的火柴棒有（　　） A.151根 B.154根 C.157根 D.160根 解析：B　第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，……，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B. 5.〔多选〕下列关于数列的说法正确的是（　　） A.按一定次序排列的一列数叫作数列 B.若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f（n）表示数列的通项公式 C.同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D.同一个数列的任意两项均不可能相同 解析：ABC　根据数列的定义，我们把按一定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f（n）表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如an＝｜2－n｜，也可写成an＝可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如数列1，1，1，1，…，可得D错误，故选A、B、C. 6.〔多选〕数列{an}的通项公式为an＝则（　　） A.a3＝7 B.a3＝10 C.a2a3＝20 D.a2a3＝70 解析：BC　由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选B、C. 7.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的第10项为　55　. 解析：观察斐波那契数列，发现从第3项起，每一项均为其前2项之和，则第9项为13＋21＝34，第10项为21＋34＝55. 8.数列{an}的通项公式是an＝（n∈N＋），则a3＝　　. 解析：∵an＝（n∈N＋），∴a3＝＝. 9.（2025·滨州期末）将大于2的整数中能被3除余2且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a4＝　62　. 解析：根据题意可知an－2既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数，可得an－2＝15n，n∈N＋，即an＝15n＋2，所以a4＝15×4＋2＝62. 10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. （1）20是不是{an}中的一项？ （2）当n取何值时，an＝0？ 解：（1）令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0， ∴（n＋9）（n－10）＝0， ∴n＝10或n＝－9（舍）. ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. （2）令an＝－n2＋n＋110＝0， 即n2－n－110＝0， ∴（n－11）（n＋10）＝0， ∴n＝11或n＝－10（舍）， ∴当n＝11时，an＝0. 11.观察数列，－，（　　），－，，（　　），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（　　） A.，－ B.－， C.，－ D.，－ 解析：D　由已知条件可得数列的通项公式为an＝（－1）n＋1·，∴a3＝，a6＝－.故选D. 12.〔多选〕已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（　　） A.an＝1＋（－1）n B.an＝2cos C.an＝2｜sin｜ D.an＝1－cos（n－1）π＋（n－1）（n－2） 解析：AC　对于选项A，由an＝1＋（－1）n得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项B，由an＝2cos得前六项为0，－2，0，2，0，－2，不满足条件；对于选项C，由an＝2｜sin｜得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项D，由an＝1－cos（n－1）π＋（n－1）（n－2）得前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件. 13.如图①是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续做下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为　an＝　. 解析：∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….∴此数列的通项公式为an＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $