1.1 数列的概念-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学数列核心知识点，系统梳理数列定义、通项公式及应用，从基础概念辨析（如数列与集合区别、有序性）到通项公式应用（求特定项、判断项是否存在），再到规律探究（归纳通项、实际情境规律），构建递进式学习支架。 资料特色为多样化题型与情境化设计，通过实例抽象数列模型培养数学眼光，逻辑推理（如对数运算求积）发展数学思维，符号语言表达（如a₂ₙ计算）提升数学语言能力。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1．(2024·陕西西安期中)下列说法正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为集合{2，4，6，8} B．数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列 C．数列{n2＋n}的第k项为k2＋k D．数列0，1，2，3，4，…可记为{n} 解析：选C.对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列{n2＋n}的第k项为k2＋k，故C正确；对于D，因为0∈N，所以n∈N，这与数列的定义不相符，故D错误．故选C. 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋1，则下列是该数列中的项的是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选D.对于A，令n2＋1＝7，解得n＝±∉N＋，故A不正确；对于B，令n2＋1＝8，解得n＝±∉N＋，故B不正确；对于C，令n2＋1＝9，解得n＝±2∉N＋，故C不正确；对于D，令n2＋1＝10，解得n＝3或n＝－3(舍去)，故D正确．故选D. 3．已知数列的通项公式是an＝则a2·a3＝(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 解析：选C.由题意得，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选C. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A. B．5 C．6 D. 解析：选B.a1a2·…·a30＝log23×log34×…×log3132＝××…×＝log232＝log225＝5.故选B. 5．(2024·安徽亳州期中)数列－3，，－，，…的第11项是(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选A.设该数列的第n项为an， 由已知a1＝－3，a2＝，a3＝－，a4＝， 变形可得a1＝(－1)1×，a2＝(－1)2×，a3＝(－1)3×，a4＝(－1)4×， 所以数列{an}的一个通项公式可以是an＝(－1)n， 则a11＝(－1)11×＝－.故选A. 6．(多选)已知数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝2sin2 C．an＝1＋(－1)n＋1＋(n－1)(n－2) D．an＝1－cos nπ 解析：选ABD.对于A，a1＝1＋(－1)1＋1＝2，a2＝1＋(－1)2＋1＝0，a3＝1＋(－1)3＋1＝2，a4＝1＋(－1)4＋1＝0，故A正确； 对于B，a1＝2sin2＝2，a2＝2sin2＝0，a3＝2sin2＝2，a4＝2sin2＝0，故B正确； 对于C，a3＝1＋(－1)3＋1＋(3－1)×(3－2)＝4，故C错误； 对于D，a1＝1－cos π＝2，a2＝1－cos 2π＝0，a3＝1－cos 3π＝2，a4＝1－cos 4π＝0，故D正确．故选ABD. 7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N＋，则a2n＝________，＝________． 解析：因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝. 答案：3－4n　 8．如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，第51个图中的火柴棒有________根． 解析：第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，……，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154(根)． 答案：154 9．已知数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为________． 解析：因为an＝19－2n，且an＞0，于是有19－2n＞0，解得n＜，又因为n∈N＋，则nmax＝9，所以使an>0成立的最大正整数n的值为9. 答案：9 10．写出下列数列的一个通项公式． (1)，－，，－，…； (2)1，2，3，4，…； (3)0.8，0.98，0.998，0.999 8，…. 解：(1)由已知数列，－，，－，…可得数列各项的绝对值的分母为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1来控制各项的符号，故所求数列的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为， 故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝，n∈N＋. (3)原数列各项可变为1－0.2＝1－，1－0.02＝1－，1－0.002＝1－，1－0.000 2＝1－，归纳可得，an＝1－，n∈N＋. 11．(多选)已知数列，2，，2，…，则下列说法正确的是(　　) A．此数列的通项公式是 B．8是它的第32项 C．此数列的通项公式是 D．8是它的第31项 解析：选AB.数列，2，，2，…，即，，，，…， 则此数列的通项公式为，故A正确，C错误， 令＝8，解得n＝32，故B正确，D错误．故选AB. 12．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，从第________项起各项均大于10. 解析：令n＋＞10，即n2－10n＋16＞0， 解得n＜2或n＞8，又n∈N＋， 所以从第9项起，各项均大于10. 答案：9 13．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有________个点． 解析：根据题意，第1个图中只有1个点，无分支； 第2个图除中间一个点外，有两个分支，每个分支有1个点； 第3个图除中间一个点外，有三个分支，每个分支有2个点； 第4个图除中间一个点外，有四个分支，每个分支有3个点，……，则第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有n－1个点，所以第n个图中有1＋n(n－1)个点， 故第8个图中有1＋8×7＝57个点． 答案：57 14．已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)． (1)判断是不是数列{an}中的项； (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内； (3)在区间内有没有数列{an}中的项？若有，是第几项；若没有，请说明理由． 解：(1)因为an＝ ＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝， 因为不是正整数， 所以不是数列{an}中的项． (2)因为an＝＝＝1－，n∈N＋，0<<1，所以0<an<1， 所以数列{an}中的项都在区间(0，1)内． (3)令<an<，即<<， 则解得<n<. 又n∈N＋，所以n＝2. 故在区间内有数列{an}中的项，且只有一项，是第二项，a2＝. 15．(2024·广西桂林期中)将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此数列中第10项为(　　) A．116 B．131 C．146 D．161 解析：选C.在正整数中，被3除余2的数依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…，3n－1，…，被5除余1的数依次为1，6，11，16，21，26，31，36，41，…，5n－4，…，被3除余2且被5除余1的数为11，26，41，…，15n－4，….故第10项为a10＝15×10－4＝146.故选C. 16．如图1是第七届国际数学教育大会(简称 ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续做下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，求此数列的通项公式． 解：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， 所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. 所以此数列的通项公式为an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $