第2章 5 简单复合函数的求导法则-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数求导法则，通过商品利润与销售价格的函数关系情境导入，引导学生发现复合函数关系，进而讲解定义、求导法则及步骤，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题（如利润函数），用数学思维构建求导步骤（分层、求导、相乘、回代），借数学语言表达实际意义（如潮水高度导数反映变化率）。典例与分层训练结合，助学生提升运算能力与应用意识，教师可高效实施教学。

§5　简单复合函数的求导法则 1 能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　 探讨导函数与原函数的性质关系 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函 数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x. 　　那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60 （60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2. 　　上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝180x－ 9x2. 【问题】　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？ （2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g' （x）的关系. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点　复合函数及求导法则 1. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝φ（x）＝ax＋b，如果给定x的 一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函 数，称这个函数为函数y＝f（u）和u＝φ（x）的复合函数，记作y＝ ⁠ ，其中 为中间变量. 2. 简单复合函数的求导法则 y'x＝[f（φ（x））]'＝ ，其中u＝φ（x）.特别地，当 u＝ax＋b时，y'x＝ ⁠. f （φ（x））　 u　 f'（u）φ'（x）　 a·f'（u）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：复合函数导数的求解技巧：①中间变量的选择应是基本函数结 构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及 内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中 间变量换成自变量的函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）.这三个 函数都是复合函数吗？ 提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）是复合函数，函数y＝2x ＋5＋ln x不是复合函数. 2. 试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自 变量x的函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）＝2x2－ 是复合函数. （　×　） （2）y＝ cos 3x由函数y＝ cos u，u＝3x复合而成. （　√　） （3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设f（x）＝ cos 2x－3x，则f' ＝（　　） A. －5 B. －3 C. －4 D. － 解析： 　f'（x）＝－2 sin 2x－3，f' ＝－2 sin π－3＝－3. √ 3. 曲线f（x）＝e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率是 ⁠. 解析：f'（x）＝－2e－2x＋3，f'（1）＝－2e，即k＝－2e. －2e　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解： 令u＝1－3x， 则y＝ ＝u－4， 所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3. 所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝ cos x2； 解： 令u＝x2，则y＝ cos u， 所以y'x＝y'u·u'x＝－ sin u·2x＝－2x sin x2. （3）y＝log2（2x＋1）. 解： 令u＝2x＋1，则y＝log2u， 所以y'x＝y'u·u'x＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求复合函数的导数的步骤 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解： 函数y＝ 可以看作函数y＝ 和u＝3x＋1的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（ ）'·（3x＋1）'＝ （ 2 ）'·3＝－3 ＝－3（3x＋1 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝（1－2x）3； 解： 函数y＝（1－2x）3可以看作函数y＝u3和u＝1－2x的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（u3）'·（1－2x）'＝－6u2＝－6·（1－2x）2. （3）y＝ln（2x＋1）； 解： 函数y＝ln（2x＋1）可以看作函数y＝ln u和u＝2x＋1的复合 函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（ln u）'·（2x＋1）'＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （4）y＝ cos ； 解： 函数y＝ cos 可以看作函数y＝ cos u和u＝ 的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（ cos u）'·（ ）'＝－ sin u ＝－ sin . （5）y＝22x＋1. 解： 函数y＝22x＋1可以看作函数y＝2u和u＝2x＋1的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（2u）'·（2x＋1）'＝2·2u·ln 2＝2·22x＋1·ln 2＝22x＋ 2·ln 2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜复合函数导数的应用问题 【例2】　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s（t）＝3 sin （0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义. 解：设f（x）＝3 sin x，x＝φ（t）＝ t＋ ， 所以s'（t）＝f'（x）φ'（t）＝3 cos x· ＝ cos ， 将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝ cos ＝ （m/h）. s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　将复合函数的求导与导数的实际意义相结合，旨在巩固函数在某点处 的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变 化状况. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的关系可近似地 表示为y＝f（t）＝ ，则在时刻t＝41 min的降雨强度为 （　　） A. 2 mm/min B. 4 mm/min C. mm/min D. mm/min 解析： 　f'（t）＝ ·[10（t－1）]'＝ ，∴f'（41）＝ ＝ ，故选D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜与复合函数有关的切线问题 【例3】　（1）曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距 离是（　A　） A. B. 2 C. 3 D. 0 A 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y ＋3＝0平行.∵y'＝ ，∴当x＝x0时，y'＝ ＝2，解得x0＝1，∴y0 ＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直 线2x－y＋3＝0的最短距离是 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a ＝ ⁠. 解析： 令y＝f（x），则曲线y＝eax在点（0，1）处的切线的斜率 为f'（0），又∵切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴f'（0）＝2.∵f（x）＝ eax，∴f'（x）＝（eax）'＝eax·（ax）'＝aeax，∴f'（0）＝ae0＝a，故a ＝2. 2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变条件、变设问）本例（1）的条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的 点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2 ”，求m的值. 解：由题意可知，设切点P（x0，y0）， 则当x＝x0时，y'＝ ＝2， ∴x0＝1，即切点P（1，0）， ∴ ＝2 ，解得m＝8或－12. 即实数m的值为8或－12. 当m＝8时，直线2x－y＋8＝0与曲线y＝ln（2x－1）相离，符合题意； 当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln（2x－1）相交，不符合 题意，舍去.故m＝8. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. （变设问）本例（2）中的问题改为“求曲线的切线与坐标轴围成的面 积”. 解：由题意可知，切线方程为y－1＝2x. 即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1； 令y＝0得x＝－ . ∴曲线的切线与坐标轴围成的面积为S＝ × ×1＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 　　正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖 掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点 是解决问题的关键. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f （x）在点（1，2）处的切线方程是 ⁠. 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x. 又f（x）为偶函数，f（x）＝f（－x）＝ex－1＋x. 所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x. 因此，当x＞0时，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为f'（1）＝2， 所以切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0. 2x－y＝0　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知f（x）＝ sin 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A. 2 cos 2x＋2e2x B. cos 2x＋e2x C. 2 sin 2x＋2e2x D. sin 2x＋e2x 解析： 　因为f（x）＝ sin 2x＋e2x，所以f'（x）＝2 cos 2x＋2e2x.故 选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设f（x）＝ln（3x＋2）－3x2，则f'（0）＝（　　） A. 1 B. C. －1 D. －2 解析： 　f'（x）＝ －6x，故f'（0）＝ －0＝ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f'（1） ＝ ⁠. 解析：法一　令ex＝t，则x＝ln t.∵f（ex）＝x＋ex，∴f（t）＝ln t＋ t，∴f'（t）＝ ＋1，∴f'（1）＝1＋1＝2. 2　 法二　求导，得[f（ex）]'＝f'（ex）ex＝1＋ex，令x＝0，得f'（e0）＝f' （1）＝1＋e0＝2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知函数f（x）的导函数f'（x），若f（x）＝f' sin 3x＋ cos 3x， 求f' 的值. 解：∵f（x）＝f' sin 3x＋ cos 3x，∴f'（x）＝f' ·3 cos 3x－3 sin 3x，令x＝ 可得f' ＝f' ×3 cos －3 sin ＝ f' －3× ，解得 f' ＝3 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 拓视野　 探讨导函数与原函数的性质关系 目 录 1. 奇偶性 （1）若函数f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），两边对x求导， 得f'（－x）＝f'（x），所以导函数f'（x）为偶函数. 如图①所示，曲线在点A，B处的切线斜率相等，即f'（－a）＝f'（a）. 于是我们得到：奇函数的导数是偶函数. 例如，y＝ sin x是奇函数，y'＝ cos x是偶函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若函数f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得 f'（－x）＝－f'（x），所以导函数f'（x）为奇函数. 如图②所示，曲线在点A，B处的切线斜率互为相反数，即g'（a）＝－g' （－a）. 于是我们得到：偶函数的导数是奇函数. 例如，y＝x2是偶函数，y'＝2x是奇函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 对称性 （1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（a＋x）＝f（a－ x），两边对x求导，得f'（a＋x）＋f'（a－x）＝0，所以导函数f'（x） 的图象关于点（a，0）对称. 于是有：若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则导函数f'（x）的图 象关于点（a，0）对称. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则f（a＋x）＋f（a －x）＝2b，两边对x求导，得f'（a＋x）＝f'（a－x），所以导函数f' （x）的图象关于直线x＝a对称. 于是有：若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则导函数f'（x）的 图象关于直线x＝a对称. 3. 周期性 若函数f（x）为周期函数，则f（x＋T）＝f（x）（T≠0）.两边对x对 导，得f'（x＋T）＝f'（x）.所以导函数f'（x）仍为周期函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设f（x）＝log3（x－1），则f'（2）＝（　　） A. ln 3 B. －ln 3 C. D. － 解析： 　f'（x）＝ ，故f'（2）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. （2025·嘉兴期中）下列选项正确的是（　　） A. 若y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2 B. 若y＝ cos 3x，则y'＝－ sin 3x C. 若y＝e2x－2，则y'＝2e2x D. 若y＝x sin 2x，则y'＝2x cos 2x 解析： 　y'＝ cos x2×（x2）'＝2x cos x2，A正确；y'＝－ sin 3x×（3x）' ＝－3 sin 3x，B错误；y'＝e2x－2×（2x－2）'＝2e2x－2，C错误；y'＝ sin 2x＋2x cos 2x，D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切 线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（　　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 解析： 　由题得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，解得 a＝2，所以f（x）＝xex－2，可得f（2）＝2×e2－2＝2，所以切点为（2， 2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 曲线y＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角 形的面积为（　　） A. B. C. D. 1 解析： 当x＝0时，y'＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点 （0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由 得x＝y＝ ，∴A ，如图 所示，则围成的三角形的面积为 × ×1＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知曲线y＝f（x）＝2（x＋1）3＋1，则曲线过点P（0， 3）的切线方程为（　　） A. 6x＋y－3＝0 B. 6x－y＋3＝0 C. 5x－2y＋6＝0 D. 3x－2y＋6＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设切点坐标为（x0，2（x0＋1）3＋1），因为f'（x）＝6（x＋ 1）2，所以切线斜率k＝f'（x0）＝6（x0＋1）2，切线方程为y－[2（x0＋ 1）3＋1]＝6（x0＋1）2（x－x0）.切线过点P（0，3），代入得3－[2 （x0＋1）3＋1]＝6（x0＋1）2（－x0），可化简为2 ＋3 ＝0，解得x0 ＝0或x0＝－ ，则曲线过点P（0，3）的切线方程为6x－y＋3＝0或3x－ 2y＋6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕曲线y＝e2x cos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距 离为 ，则直线l的方程可能为（　　） A. y＝2x＋6 B. y＝2x－4 C. y＝3x＋1 D. y＝3x－4 解析： 　y'＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x），∴当x＝0时，y'＝2，则所求 的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则 ＝ ，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 函数y＝ sin 2x cos 3x的导数是 ⁠. 解析：∵y＝ sin 2x cos 3x，∴y'＝（ sin 2x）' cos 3x＋ sin 2x（ cos 3x）' ＝2 cos 2x cos 3x－3 sin 2x sin 3x. y'＝2 cos 2x cos 3x－3 sin 2x sin 3x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 若f（x）＝log3（2x－1），则f' ＝ 　 　. 解析：∵f（x）＝log3（2x－1），∴f'（x）＝ ，∴f' ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标 为 ⁠. 解析：设P（x0，y0）.∵y＝e－x，∴y'＝－e－x.∴曲线y＝e－x在点P处的 切线的斜率k＝－ ＝－2，∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝ 2，∴点P的坐标为（－ln 2，2）. （－ln 2，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln（x＋1）的切 线，求b的值. 解：函数y＝ln x＋2的导函数为y'＝ ，函数y＝ln（x＋1）的导函数为y' ＝ . 设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln（x＋1）上的切点横坐标分别为m，n， 则该直线方程可以写成y＝ ·（x－m）＋ln m＋2，也可以写成y＝ （x－n）＋ln（n＋1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 整理后对比得 解得 故b＝1－ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. y＝x2与y＝ln（x＋a）有一条斜率为2的公切线，则a＝（　　） A. － ln 2 B. ln 2 C. －ln 2 D. ln 2 解析： 　由y＝x2得y'＝2x＝2⇒x＝1，由点斜式得切线方程为y－1＝2 （x－1），即y＝2x－1， 对曲线y＝ln（x＋a）求导，得y'＝ ＝2⇒x＝ －a，代入y＝ln（x ＋a），得y＝－ln 2，将 代入y＝2x－1，得－ln 2＝ 2 －1⇒a＝ ln 2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知f（x）（x∈R）是奇函数，f（x＋2）＝f（－x）且f （1）＝2，g（x）是f（x）的导函数，则（　　） A. f（2 026）＝2 B. g（x）的一个周期是4 C. g（x）是偶函数 D. g（1）＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f （x），f（0）＝0，所以f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f （x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2 026） ＝f（4×506＋2）＝f（2）＝0，A错误；因为f（x＋4）＝f（x），所以 f'（x＋4）＝f'（x），即g（x＋4）＝g（x），所以g（x）的一个周期 为4，B正确；由f（－x）＝－f（x），得－f'（－x）＝－f'（x），即－ g（－x）＝－g（x），所以g（－x）＝g（x），所以g（x）是偶函 数，C正确；由f（x＋2）＝f（－x），得f'（x＋2）＝－f'（－x），即g （x＋2）＝－g（－x），令x＝－1，则g（1）＝－g（1），所以g （1）＝0，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 如果函数y＝ ，那么y'＝ 　 　. 解析：y'＝ ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴、y轴围成 的三角形面积为S（t）. （1）求切线l的方程； 解： ∵y＝e－x， ∴y'＝（e－x）'＝－e－x. ∴当x＝t时，y'＝－e－t. 故切线l的方程为y－e－t＝－e－t（x－t）， 即x＋ety－（t＋1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求S（t）的解析式. 解： 令y＝0，得x＝t＋1； 令x＝0，得y＝e－t（t＋1）. ∴S（t）＝ （t＋1）e－t（t＋1）＝ （t＋1）2e－t（t≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 设f0（x）＝ sin 2x＋ cos 2x，f1（x）＝f0'（x），f2（x）＝f1' （x），…，f1＋n（x）＝fn'（x），n∈N，则f2 024（x）＝（　　） A. 22 024（ cos 2x＋ sin 2x） B. 22 024（－ cos 2x－ sin 2x） C. 22 024（ cos 2x－ sin 2x） D. 22 024（－ cos 2x＋ sin 2x） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　∵f0（x）＝ sin 2x＋ cos 2x，∴f1（x）＝f0'（x）＝2（ cos 2x－ sin 2x），f2（x）＝f1'（x）＝22（－ sin 2x－ cos 2x），f3（x） ＝f2'（x）＝23（－ cos 2x＋ sin 2x），f4（x）＝f3'（x）＝24（ sin 2x＋ cos 2x），通过以上可以看出fn（x）满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4 （x）＝24fn（x）.故f2 024（x）＝f506×4（x）＝（24）506f0（x）＝ 22 024·（ cos 2x＋ sin 2x），故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. （1）已知f（x）＝eπx sin πx，求f'（x）及f' ； 解： ∵f（x）＝eπx sin πx， ∴f'（x）＝πeπx sin πx＋πeπx cos πx ＝πeπx（ sin πx＋ cos πx）. ∴f' ＝π ＝π . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）在曲线g（x）＝ 上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求 切线方程. 解： 设切点坐标为P（x0，y0）， 由题意可知g'（x0）＝0. 又g'（x）＝ ， ∴g'（x0）＝ ＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $