2.5 简单复合函数的求导法则-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数的求导法则，通过“课前预知教材自主落实基础”衔接基本初等函数导数知识，以“课堂题点研究迁移应用”构建从概念理解到综合应用的学习支架，形成梯度进阶的知识脉络。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合“数学思维”（如分步求导的逻辑推理）和“数学语言”（符号表达与模型应用），通过汽水温度变化等实际问题实例，强化知识应用。思维建模总结步骤，针对训练巩固，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学流程与实例支持。

§5 简单复合函数的求导法则 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 数列的概念与表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合所学的公式、法则进行一些复合函数求导. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.复合函数的概念 对于两个函数________和_______________，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了 y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数__________和__________ 的复合函数，记作_____________，其中u为中间变量. y=f（u） u=φ（x）=ax+b y=f（u） u=φ（x） y=f（φ（x）） 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f（φ（x））对x的导数为y'x=__________________= ______________，其中u=φ（x）. [f（φ（x））]' f'（u）φ'（x） |微|点|助|解| 使用复合函数求导法则的注意事项 （1）分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的，选择适当的中间变量. （2）分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如（sin 2x）'=2cos 2x，不能得出 （sin 2x）'=cos 2x. （3）根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y=sin的导数，设y=sin u，u=2x+，则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. （4）熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写. 1.函数y=（x2-1）n的复合过程正确的是 （　　） A.y=un，u=x2-1 B.y=（u-1）n，u=x2 C.y=tn，t=（x2-1）n D.y=（t-1）n，t=x2-1 √ 基础落实训练 解析：由复合函数求导法则知A正确. 2.设函数f（x）=（1-2x）10，则f'（1）= （　　） A.0 B.-1 C.-20 D.20 √ 解析：因为f'（x）=10（1-2x）9×（-2）=-20（1-2x）9， 所以f'（1）=20. 3.函数y=cos的导数为____________.  3sin 解析：y'='=-sin（-3）=3sin. 4.指出下列函数由哪些函数复合而成. （1）y=ln ； 解：y=ln 由y=ln u，u=复合而成. （2）y=esin x； 解：y=esin x由y=eu，u=sin x复合而成. （3）y=cos（x+1）. 解：y=cos（x+1）由y=cos u，u=x+1复合而成. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. （1）y=； 解：令u=1-3x，则y==u-4，所以y'u=-4u-5，u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. （2）y=cos x2； 解：令u=x2，则y=cos u， 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·（2x）=-2xsin x2. （3）y=sin； 解：令u=2x-，则y=sin u， 所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. （4）y=. 解：令u=1+x2， 则y=， 所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. 　　|思|维|建|模|　求复合函数的导数的步骤 针对训练 1.求下列函数的导数： （1）y=（3x-2）2； 解：∵y=（3x-2）2由函数y=u2和u=3x-2复合而成， ∴y'x=y'u·u'x=（u2）'·（3x-2）'=6u=18x-12. （2）y=ln（6x+4）； 解：∵y=ln（6x+4）由函数y=ln u和u=6x+4复合而成， ∴y'x=y'u·u'x=（ln u）'·（6x+4）'===. （3）y=. 解：函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数， 根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=（）'·（3x+5）' ==. 题型（二）　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数. （1）y=； 解：∵（ln 3x）'=×（3x）'=， ∴y'= ==. （2）y=x； 解：y'=（x）'=x'+x（）' =+=. （3）y=xcossin. 解：∵y=xcossin =x（-sin 2x）cos 2x=-xsin 4x， ∴y'=' =-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x. 　　|思|维|建|模| （1）在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. （2）复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导. 针对训练 2.求下列函数的导数： （1）y=e-x+2（2x+1）5； 解：（1）y'=（e-x+2）'·（2x+1）5+e-x+2·[（2x+1）5]' =-e-x+2·（2x+1）5+5e-x+2·（2x+1）4·（2x+1）' =-e-x+2（2x+1）4（2x-9）. （2）y=cos（3x-1）-ln（-2x-1）； 解：y'=-sin（3x-1）·（3x-1）'-·（-2x-1）'=-3sin（3x-1）-. （3）y=sin 2x+cos2x； 解：y'=cos 2x·（2x）'+2cos x·（cos x）'=2cos 2x-2sin xcos x =2cos 2x-sin 2x. （4）y=. 解：y'==. 题型（三）　复合函数的导数在实际问题中的应用 [例3]　一瓶汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化满足关系：x=4+16e-2t. （1）求汽水温度x在t=1处的导数； 解：x'=-32e-2t. 当t=1时，x'=-. （2）已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：x=y-32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数. 解：y=（x+32）=（16e-2t+36），y'=×（-2）=-e-2t. 　　|思|维|建|模| 　　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 针对训练 3.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s=s（t）=5-.求函数在t=1 s时的导数，并解释它的实际意义. 解：s=5-可看作s=5-和x=25-9t2的复合函数， 其中x是中间变量. 由导数公式得s'x=-，x't=-18t. 由复合函数求导法则得s't=s'x·x't=-·（-18t）=， 将t=1代入s'（t），得s'（1）=2.25（m/s）， 表示当t=1 s时梯子上端下滑的速度为2.25 m/s. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数f（x）=e2x+e2，则f'（1）= （　　） A.e2 B.2e2 C.3e2 D.4e2 √ 解析：f'（x）=e2x·2+0=2e2x，则f'（1）=2e2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=exsin 2x的导数为 （　　） A.y'=2excos 2x B.y'=ex（sin 2x+2cos 2x） C.y'=2ex（sin 2x+cos 2x） D.y'=ex（2sin 2x+cos 2x） √ 解析：若y=sin 2x，根据复合函数的求导法则，y'=2cos 2x，根据两函数乘积的求导公式，y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x= ex（sin 2x+2cos 2x）.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数f（x）=e4x-x-2的图象在点（0，f（0））处的切线方程是 （　　） A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 √ 解析：因为f'（x）=4e4x-1，所以k= f'（0）=3.因为f（0）=-1，所以切线方程为y+1=3x，即3x-y-1=0.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设f（x）=ln（3x-1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）=6，则x0的值为 （　　） A.0 B. C.3 D.6 √ 解析：对于函数f（x）=ln（3x-1），由3x-1>0，可得x>，即函数 f（x）的定义域为，f'（x）=，由f'（x0）==6， 解得x0=，合乎题意.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N（t）=N0，其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，则N（120）=（　　） A.24贝克 B.24e-5贝克 C.1贝克 D.e-5贝克 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由N（t）=N0，得N'（t）=-N0，因为t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，所以N'（24）=-N0=-e-1，解得N0=24，所以N（120）=24×=24e-5，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]下列导数运算正确的是 （　　） A.（）'= B.（e2x）'=e2x C.（sin2x）'=sin 2x D.'= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：选项A，（）'='==，故A正确； 选项B，（e2x）'=e2x（2x）'=2e2x，故B错误； 选项C，（sin2x）'=2sin x（sin x）'=2sin xcos x=sin 2x，故C正确； 选项D，'==，故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.函数f（x）=xln（x+2）的图象在点（-1，0）处的切线与直线（a-2）x+y-2=0垂直，则实数a的值为 （　　） A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 解析：函数f（x）=xln（x+2），求导得f'（x）=ln（x+2）+， 则f'（-1）=-1，即函数f（x）=xln（x+2）的图象在点（-1，0）处的切线斜率为-1，因为切线与直线（a-2）x+y-2=0垂直，有（2-a）× （-1）=-1，所以a=1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知f（x）及其导函数f'（x）定义域为R，满足x∈R，f（x）= f（2-x）+2（x-1），g（x）=sin，g（x）定义域为，若g（x）在点（x0，g（x0））处的切线斜率与f（x）在点（1， f（1））处的切线斜率相同，则x0=（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题知，f（x）及其导函数f'（x）定义域为R，满足：x∈R，f（x）=f（2-x）+2（x-1），所以f'（x）=-f'（2-x）+2，所以f'（1）=-f'（1）+2，即f'（1）=1.因为g（x）=sin，x∈，所以g'（x）=2cos.因为g（x）在点（x0，g（x0））处的切线斜率与f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率相同，所以g'（x0）=2cos=1，所以cos=，所以2x0+=±+2kπ，k∈Z，由x∈，解得x0=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）设函数y=ln，则y'=__________.  解析：对于函数y=ln ， 可看作y=ln u，u=，v=1+x的复合函数， 所以y'=××1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）一个质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满 足函数关系式s=3t3-（2t+1）2+1，则当t=1时，该质点的瞬时速度 为________m/s.  -3 解析：因为s=3t3-（2t+1）2+1， 所以s'=9t2-4（2t+1）. 当t=1时，s'|t=1=9-4×（2+1）=-3， 故当t=1时，该质点的瞬时速度为-3 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）与函数f（x）=e3x-1在点（0，0）处具有相同切线的一个函数的解析式是____________________________.  g（x）=3ex-3（答案不唯一） 解析：f'（x）=3e3x，故f'（0）=3e0=3，则函数f（x）=e3x-1在点 （0，0）处的切线为y=3x.不妨令g（x）=3ex-3，g（0）=3e0-3=0， 故（0，0）在g（x）=3ex-3上，g'（x）=3ex，故g'（0）=3e0=3， 则函数g（x）=3ex-3在点（0，0）处的切线为y=3x，满足要求. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0 s时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时 速度为_________m/s.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设端点A运动的路程为s，则（3-s）2+=9，因为t=2 s， 所以BB'=0.5×2=1 m<3 m，此时木棒处于倾斜状态， 所以3-s>0，所以s=3-，则s'=.当t=2 s时，s'=， 即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）函数y=[f（x）]g（x）在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到ln y=g（x）ln f（x），然后两边同时求导得=g'（x）ln f（x）+g（x），于是y'=[f（x）]g（x），用此法探求y=（x+1）x（x>0）的导数为_____________________________.  y'= （x+1）x 解析：两边取对数可得ln y=ln（x+1）x=xln（x+1），两边求导可得= ln（x+1）+，所以y'=y=（x+1）x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s（t）=3sin（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h， 求函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数y=s（t）=3sin是由函数f（z）=3sin z和函数z=φ（t）=t+复合而成的，其中z是中间变量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由导数公式表可得f'（z）=3cos z，φ'（t）=. 再由复合函数求导法则得y't=s'（t）=f'（z）φ'（t） =3cos z·=cos. 将t=18代入s'（t），得s'（18）=cos=. 它表示当t=18时，潮水的高度上升速度为 m/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）设函数f（x）=aexln x+. （1）求导函数f'（x）；（5分） 解：由f（x）=aexln x+， 得f'（x）=（aexln x）'+' =aexln x++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2，求a，b的值.（5分） 解：由于切点既在曲线y=f（x）上， 又在切线y=e（x-1）+2上，将x=1代入切线方程得y=2， 将x=1代入函数f（x）得f（1）=b， ∴b=2，将x=1代入导函数f'（x）中，得f'（1）=ae=e， ∴a=1.∴a=1，b=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $