第2章 4.1 导数的加法与减法法则-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的加法与减法法则”，通过高铁路程函数的情境导入，联系导数定义运算的复杂性，引出简便求导方法，搭建从导数定义到加减法则的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过正向求导、逆向应用及几何意义题型训练数学思维，通性通法总结规范数学语言表达。如逆向应用待定系数法求解析式，分层作业设计，助力学生提升运算推理能力，教师可高效开展分层教学。

4.1　导数的加法与减法法则 1 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则，求简单函数的导数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的 路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬 时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时， 所趋近的那个定值.这类运算比较复杂，而且有的函数，如y＝ sin x＋x很 难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点　导数的加法与减法法则 知识点要素 梳理知识 导数的加法 与减法法则 两个函数和（或差）的导数等于这两个函数导数的 和（或差） 表达式 [f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x） 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）特别地，若f（x）＝2g（x）＝g（x）＋g（x），则f' （x）＝（2g（x））'＝（g（x）＋g（x））'＝g'（x）＋g'（x）＝2g' （x），即f（x）＝kg（x）（k为常数），f'（x）＝kg'（x）；（2）导 数和（差）的求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即[u （x）±v（x）±…±w（x）]'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） '＝ex. （　√　） （2）函数f（x）＝ x2＋x的导数是f'（x）＝x＋1. （　√　） （3）函数f（x）＝ sin x－ cos x的导数是f'（x）＝ cos x＋ sin x. （　√　） （4）函数f（x）＝2ln x，则f'（x）＝ . （　×　） √ √ √ × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝x＋ 的导数f'（x）＝（　　） A. 1－ B. 1－ C. 1＋ D. 1＋ 解析： 　f'（x）＝ '＝x'＋ '＝1－ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 设f（x）＝x3＋ax2－2x＋b，若f'（1）＝4，则a＝ ⁠. 解析：f'（x）＝3x2＋2ax－2，故f'（1）＝3＋2a－2＝4，解得a＝ . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用导数加法、减法法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝－x4＋3x3； 解： y'＝（－x4＋3x3）'＝（－x4）'＋（3x3）' ＝－4x3＋9x2. （2）y＝（2x2－1）（3x＋1）； 解： 先将乘积形式转化为和差形式， y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝18x2＋4x－3. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）y＝x（x＋1）（x2－x＋1）； 解： 利用立方和公式转化， y＝x（x＋1）（x2－x＋1）＝x（x3＋1）＝x4＋x， ∴y'＝4x3＋1. （4）y＝ ＋ln x－ sin x. 解： 先将根式化幂的形式， y＝ ＋ln x－ sin x＝ ＋ln x－ sin x， ∴y'＝－ ＋ － cos x. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　对于能转化为和、差运算的求导问题，应先将函数结构化简为和、差 结构再利用加法、减法法则求导. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝（x－a）（x－b）在x＝a处的导数为（　　） A. ab B. －a（a－b） C. 0 D. a－b 解析： 　∵f（x）＝（x－a）（x－b）＝x2－（a＋b）x＋ab，∴f' （x）＝2x－（a＋b），∴f'（a）＝2a－（a＋b）＝a－b，故选D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知f（x）＝x2＋2xf'（1），求f'（0）的值. 解：∵f'（x）＝2x＋2f'（1），∴f'（1）＝2＋2f'（1），即f'（1）＝－2， ∴f'（0）＝2f'（1）＝－4. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜求导法则的逆向应用 【例2】　已知f'（x）是一次函数，x2·f'（x）－（2x－1）·f（x）＝1对 一切x∈R恒成立，求f（x）的解析式. 解：由f'（x）为一次函数可知，f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2＋bx ＋c（a≠0），则f'（x）＝2ax＋b，把f（x），f'（x）代入关于x的方 程得x2（2ax＋b）－（2x－1）·（ax2＋bx＋c）＝1，即（a－b）x2＋ （b－2c）x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立， 所以 解得 所以f（x）＝2x2＋2x＋1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　求导法则的逆向应用，其实质就是待定系数法.先设出含字母系数的 函数模型，然后利用已知条件解出所设未知的字母系数，进而将问题解 决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函数y＝f' （x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ⁠ ⁠. f（x）＝2x3－9x2＋ 12x　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1） ＝5， 所以 解得 故函数f（x）的解析式是f （x）＝2x3－9x2＋12x. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜求导法则在导数几何意义中的应用 【例3】　已知函数f（x）＝ax3－x2－x＋b（a，b∈R，a≠0），g （x）＝ ex，f（x）的图象在x＝－ 处的切线方程为y＝ x＋ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）求a，b的值； 解：（1）f'（x）＝3ax2－2x－1. ∵f（x）的图象在x＝－ 处的切线方程为y＝ x＋ ， ∴f' ＝ ，即3a· ＋1－1＝ ，解得a＝1， 又f（x）的图象过点 ， ∴ － － ＋b＝ ，解得b＝ . 综上，a＝1，b＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）直线y＝ x＋ 是否与函数g（x）的图象相切？若相切，求出切点 的坐标；若不相切，请说明理由. 解： 设直线y＝ x＋ 与函数g（x）的图象相切于点A（x0，y0）. ∵g'（x）＝ ex，∴g'（x0）＝ ＝ ， 解得x0＝－ ， 将x0＝－ 代入g（x）＝ ex，得点A的坐标是 ，∴切线方程 为y－ ＝ ，化简得y＝ x＋ ，故直线y＝ x＋ 与函数g（x） 的图象相切，切点坐标是 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　对于由某些基本初等函数的和（差）所构成的初等函数f（x），求解 与曲线的切线有关的问题时，正确求出f'（x）是解题的关键，利用导数的 加（减）法法则时应注意先化简再求导. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t （单位：s）满足关系式l（t）＝3t2－ t.当运动员的滑雪路程为46 m时， 此时的滑雪速度为 m/s. 解析：由题意得3t2－ t＝46，解得t＝4或t＝－ （舍去），因为l'（t） ＝6t－ ，所以l'（4）＝6×4－ ＝ ，当运动员的滑雪路程为46 m时， 此时的滑雪速度为 m/s. 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数y＝（ ＋1）（ －1）的导数等于（　　） A. 1 B. － C. D. － 解析： 　因为y＝（ ＋1）（ －1）＝x－1，所以y'＝x'－1'＝1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ex＋ax，若f'（0）＝2，则实数a的值为（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　f'（x）＝ex＋a，故f'（0）＝1＋a＝2，所以a＝1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕下列导数运算正确的是（　　） A. （x2－2x＋3）'＝2x－2 B. （ sin x＋ cos x）'＝ sin x－ cos x C. （x－1＋ln x）'＝（x－1）x－2 D. '＝ 解析： （x2－2x＋3）'＝2x－2，A正确.（ sin x＋ cos x）'＝ cos x － sin x，B错误.（x－1＋ln x）'＝－x－2＋ ＝（x－1）x－2，C正 确. '＝ '＝ ，D正确. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知曲线y1＝2－ 与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3， 则x0＝ ⁠. 解析：由题知y'1＝ ，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜 率分别为 ，3 －2x0＋2，所以 ＝3，所以x0＝1. 1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 求下列函数的导数： （1）y＝x3－x2－x＋3；（2）y＝ ＋ . 解：y'＝（x3－x2－x＋3）'＝（x3）'－（x2）'－x'＋3'＝3x2－2x －1. （2）因为y＝2x－2＋3x－3，所以y'＝（2x－2＋3x－3）'＝（2x－2）'＋（3x－ 3）'＝－4x－3－9x－4＝－ － . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 曲线f（x）＝ x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为f'（x）＝x2－2x，k＝f'（1）＝－1，所以在x＝1处的切线 的倾斜角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）＝（　　） A. －1 B. －2 C. 2 D. 0 解析： 　f'（x）＝4ax3＋2bx，f'（x）是奇函数，故f'（－1）＝－f' （1）＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若f（x）＝x2－2x－4ln x，则f'（x）＞0的解集为（　　） A. （0，＋∞） B. （－1，0）∪（2，＋∞） C. （2，＋∞） D. （－1，0） 解析： 　∵f（x）＝x2－2x－4ln x，∴f'（x）＝2x－2－ .令f'（x）＞ 0，整理得 ＞0，解得－1＜x＜0或x＞2.又x＞0，∴x＞2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知函数f（x）＝x＋ sin x＋1，其导函数记为f'（x），则f（2 024） ＋f'（2 024）＋f（－2 024）－f'（－2 024）＝（　　） A. 2 024 B. 2 C. 1 D. 0 解析： 　因为f'（x）＝1＋ cos x，所以f'（x）为偶函数，所以f'（2 024）－f'（－2 024）＝f'（2 024）－f'（2 024）＝0，所以原式＝f（2 024）＋f（－2 024）＝2 024＋ sin 2 024＋1＋（－2 024－ sin 2 024＋1） ＝2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕曲线f（x）＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－ 1，则点P0的坐标为（　　） A. （1，0） B. （2，8） C. （－1，－4） D. （－1，8） 解析： 　因为f（x）＝x3＋x－2，所以f'（x）＝3x2＋1，设P0（x0， y0），则f'（x0）＝3 ＋1＝4，所以x0＝±1，故点P0的坐标为（1，0） 或（－1，－4）.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕若存在过点（1，0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋ x－9都 相切，则实数a的值为（　　） A. － B. －1 C. － D. 7 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设过点（1，0）的直线与曲线y＝x3相切于点（x0，y0），则 切线方程为y－ ＝3 （x－x0），即y＝3 x－2 ，又点（1，0）在 切线上，故3 －2 ＝0，即x0＝0或x0＝ .当x0＝0时，切线方程为y＝ 0，由y＝0与y＝ax2＋ x－9相切得a＝－ .当x0＝ 时，切线方程为y ＝ x－ ，由y＝ x－ 与y＝ax2＋ x－9相切得a＝－1.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的所有切线中，斜率最小的切线方程为 ⁠ ⁠. 解析：∵y'＝3x2＋6x＋6＝3（x2＋2x＋2）＝3（x＋1）2＋3≥3，∴当x ＝－1时，y'最小，即此时切线的斜率最小，此时切点为（－1，－14）， ∴切线方程为y＋14＝3（x＋1），即3x－y－11＝0. 3x －y－11＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知某物体的运动方程为s（t）＝ ＋2t2（位移单位：m，时间单 位：s），则t＝1 s时物体的瞬时速度为 m/s. 解析：因为s（t）＝ ＋2t2＝ － ＋2t2，所以s'（t）＝－ ＋2· ＋ 4t，所以s'（1）＝－1＋2＋4＝5，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为5 m/s. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知曲线f（x）＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a ＋2）x＋1相切，则a＝ ⁠. 解析：法一 因为f（x）＝x＋ln x，所以f'（x）＝1＋ ，当x＝1时，f' （1）＝2，所以曲线f（x）＝x＋ln x在点（1，1）处的切线方程为y－1 ＝2（x－1），即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋ 1相切，所以a≠0（当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行）.由 消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝ 0，解得a＝8. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二 同法一步骤得切线方程为y＝2x－1. 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切于点（x0，a ＋（a＋ 2）x0＋1）.因为y'＝2ax＋a＋2，所以当x＝x0时，y'＝2ax0＋a＋2. 由 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是13x －y－32＝0. （1）求a，b的值； 解：（1）∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a，由题意可得 f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－ x＋3垂直，求切 点坐标与切线的方程. 解： ∵切线与直线y＝－ x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为（x0，y0），则f'（x0）＝3 ＋1＝4，∴x0＝±1. 由f（x）＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝ －18. 则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知f（x）＝ x2＋ sin ，f'（x）为f（x）的导函数，则f' （x）的大致图象是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　∵f（x）＝ x2＋ sin ＝ x2＋ cos x，∴f'（x）＝ x－ sin x.易知f'（x）＝ x－ sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B、D. 由f' ＝ － ＜0，排除C，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的导函数为f'（x），则 （　　） A. 若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数 B. 若f'（0）＝0，则f（x）为奇函数 C. 若f'（x）的最小值为0，则a2＝3b D. 若f'（x）为偶函数，则f（x）为奇函数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意得，对于选项A，若f（x）为奇函数，f（－x）＝ －f（x），则－x3＋ax2－bx＝－x3－ax2－bx，故a＝0，又因为f'（x） ＝3x2＋b，f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，故A正确；对于 选项B，若f'（0）＝0，又因为f'（x）＝3x2＋2ax＋b，则b＝0，故f （x）＝x3＋ax2，f（－x）＝－x3＋ax2，当a＝0时，f（－x）＝－f （x），f（x）是奇函数，当a≠0时，f（－x）≠－f（x），f（x）不 是奇函数，所以f（x）不一定是奇函数，故B错误；对于选项C，若f' （x）的最小值为0，f'（x）＝3x2＋2ax＋b＝3（ x＋ ）2－ ＋b，所 以f'（x）min＝－ ＋b＝0，则a2＝3b，故C正确；对于选项D，若f'（x）为偶函数，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，f'（－x）＝3x2－2ax＋b，由f'（－x）＝f'（x），解得a＝0，故f（x）＝x3＋bx，f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图中有一个图象是函数f（x）＝ x3＋ax2＋（a2－1）x＋1 （a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝ ⁠. 解析：f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）][x＋（a－1）]，图① 与图②中的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中 的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的 关系得 解得a＝－1.故f（x）＝ x3－x2＋1，所以f（－1） ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ x3－2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C. （1）求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围； 解： 由题意得f'（x）＝x2－4x＋3， 则f'（x）＝（x－2）2－1≥－1， 即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的 切点的横坐标的取值范围. 解： 设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和（1）中结论 可知， 解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋ 3≥1， 得x∈（－∞，2－ ]∪（1，3）∪[2＋ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f' （x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″ （x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐 点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐 点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f（x）＝ x3－ x2＋3x－ 的对称中心为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″ （x）＝0，即2x－1＝0，得x＝ ，又f ＝1，∴函数f（x）＝ x3－ x2＋3x－ 的对称中心为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝x－ ，g（x）＝a（2－ln x）. （1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同， 求a的值； 解： f'（x）＝1＋ ，g'（x）＝－ ， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g （x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g' （1），得a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点处的切 线的斜率相同，求实数a的取值范围. 解： 由题意，得1＋ ＝－ （x＞0）， 则a＝－x－ ≤－2 ，当且仅当x＝ 时，等号成立， 故实数a的取值范围为（－∞，－2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $