第2章 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦平均变化率与瞬时变化率，通过登山情境导入，引导学生从山坡陡峭程度的数学描述出发，逐步建立平均变化率到瞬时变化率的概念脉络，为导数学习搭建直观认知支架。 其亮点在于以“问题情境—概念抽象—典例解析—应用巩固”为主线，结合运动学实例与函数图像，培养学生数学抽象与逻辑推理能力。通性通法总结步骤清晰，自我诊断与跟踪训练强化应用，助力学生理解概念本质，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 1 　通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到 “会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎 样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？ 【问题】　你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　平均速度、平均变化率 1. 平均速度 物体从某一时刻开始运动，设s（t）表示此物体经过时间t走过的路程， 当时间从t0变为t1时，物体所走的路程从s（t0）变为s（t1），这段时间内 物体的平均速度＝ ⁠. 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 平均变化率 对一般的函数y＝f（x）来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f （x1）变为f（x2），它的平均变化率＝ .通常我们把 自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f （x2）－f（x1）称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化 率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 ＝ ⁠. 　 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）如果物体的运动规律是s＝s（t），那么函数s（t）在t 到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即 ＝ ；（2）函数平均变化率是用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化快慢 的量. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 　函数的平均变化率有何几何意义？ 提示：函数的平均变化率就是过（x1，f（x1）），（x2，f（x2））两点 的直线的斜率. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　瞬时变化率 对于一般的函数y＝f（x），在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝ x1－x0，Δy＝f（x1）－f（x0），则该函数的平均变化率为 ＝ ＝ .如果当Δx 时，平均变化率 趋于某个值，那么这个值就是f（x）在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻 画的是函数在某一点处变化的快慢. 趋于0　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）对瞬时速度的两点说明：①瞬时速度即位移函数s（t） 相对于时间t的瞬时变化率；②当Δt在变化中趋于0时，比值 趋于一个确 定的常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度；（2）平均变化率与瞬时变化 率的区别与联系：①区别，平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化 的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢；②联系，当Δx趋于 0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在点x0处的瞬时变 化率，它是一个固定值；（3）“Δx趋于0”的含义：Δx趋于0的距离要多 近有多近，即｜Δx－0｜可以小于给定的任意正数，且始终Δx≠0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在平均变化率中，函数值的增量为正值. （　×　） （2）在计算物体运动的瞬时速度时，h（t0＋Δt）＞h（t0）. （　×　） （3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物 理量. （　×　） （4）瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. （　√　） × × × √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图，函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率是（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析： 　 ＝ ＝ ＝－1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是 秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒. 解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3 －32＝（Δt）2＋5Δt，∴ ＝5＋Δt，∴当Δt趋于0时， 趋于5，故物体 在3秒末的瞬时速度为5米/秒. 5　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜平均变化率 角度1　求物体运动的平均速度 【例1】　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝ sin t，t∈［0， ］. （1）分别求该物体在区间［0， ］和［ ， ］上的平均速度 ， ； 解： 物体在区间［0， ］上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ . 物体在区间［ ， ］上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解： 由（1）可知 － ＝ ＞0，所以 ＜ .作出函数s（t）＝ sin t在［0， ］上的图象，如图 所示，可以发现，s（t）＝ sin t在［0， ］上随着t的增 大，函数值s（t）增大得越来越慢. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求物体运动的平均速度的步骤 （1）先计算时间的改变量t2－t1； （2）再计算位移的改变量s（t2）－s（t1）； （3）得平均速度 ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　一质点按函数s（t）＝ 做直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为 （　　） A. －1 B. － C. －2 D. 2 解析： ＝ ＝ －1＝－ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求函数的平均变化率 【例2】　已知函数f（x）＝2x2＋3x－5. （1）当x1＝4，且Δx＝1时，求函数y的改变量Δy和平均变化率 ； 解：因为f（x）＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f（x1＋Δx）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－ （2 ＋3x1－5） ＝2[（Δx）2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx. （1）当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21，则 ＝ ＝21. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求（1）中的平均变化率的几何意义. 解： 在（1）中， ＝ ，它表示抛物线上点A（4，39） 与点B（5，60）连线的斜率. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率 ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝ － 时该函数的平均变化率. 解：当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝－ 时，平均变化率的值为4×2＋2× ＝7. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜瞬时变化率 角度1　求物体运动的瞬时速度 【例3】　某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可 用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 解：∵ ＝ ＝ ＝3＋Δt. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，试求该物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度. ∵ ＝ ＝ ＝1＋Δt， ∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. （变设问）在本例条件下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又 ＝ ＝（2t0＋1）＋Δt. 即2t0＋1＝9，∴t0＝4， 即物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　求物体在t0时刻的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然 后求解当时间的改变量Δt趋于0时平均速度所趋向的那个定值，这个定值 即为物体在t0时刻的瞬时速度. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求函数的瞬时变化率 【例4】　求函数y＝ 在x＝2处的瞬时变化率. 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ，当Δx趋于0时， 趋 于－ ，所以函数在x＝2处的瞬时变化率为－ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求瞬时变化率的三个步骤 （1）求改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化量 ； （3）求瞬时变化率，当Δx趋于0时， 趋于的常数即为瞬时变化率. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数y＝f（x）＝x3，则用平均变化率求f（x）在x＝1处的瞬时变化 率为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　函数y＝f（x）＝x3在[1，1＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝ ＝（Δx）2＋3Δx＋3，当Δx趋于0时， 趋于3，故f（x）在x＝1处的瞬时变化率为3.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜平均变化率的意义 【例5】　已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10. （1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1； ③0.1；④0.01； 解： ∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx，∴ ＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时， ＝－4.9×2－3.3＝－13.1. ②当Δx＝1时， ＝－4.9×1－3.3＝－8.2. ③当Δx＝0.1时， ＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79. ④当Δx＝0.01时， ＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋ Δx]（Δx＞0）上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解： 当Δx越来越小时，函数f（x）在区间[1，1＋Δx]（Δx＞0）上 的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 一般地，当Δx变化时，函数f（x）在[x0，x0＋Δx]（Δx＞0）上的平 均变化率是变化的，当Δx越来越小时，f（x）在某区间上的平均变化率 呈现出一定的规律性，如果平均变化率随Δx趋于0，此时平均变化率的值 也就趋于某一个确定的值（即瞬时变化率）. 2. 可以刻画函数在某段上变化的快慢，而当Δx趋于0时， 的极限值可 以刻画函数在某点处的变化快慢.具体到实际问题当中，可以刻画山的陡 峭程度等. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　如图是一段登山路线图，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻 松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来 量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解：∵山路从A到B高度的平均变化率为 hAB＝ ＝ ＝ ， 山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝ ＝ ＝ ， ∴hBC＞hAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 我们常用函数y＝f（x）的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来 表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝ （　　） A. f（x0＋Δx） B. f（x0）＋Δx C. f（x0）·Δx D. f（x0＋Δx）－f（x0） 解析： 　由题意知，当x＝x0时，y＝f（x0）；当x＝x0＋Δx时，y＝f （x0＋Δx），故Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.故选D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数y＝f（x）＝2x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点（1 ＋Δx，－2＋Δy），则 ＝（　　） A. 4 B. 4x C. 4＋2Δx D. 4＋2（Δx）2 解析： 　 ＝ ＝ ＝ ＝2Δx ＋4. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0， t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是 ， ， ，则三者的大小 关系为 ⁠. ＜ ＜ 　 解析：∵ ＝ ＝kOA， ＝ ＝kAB， ＝ ＝kBC， 由题图得kOA＜kAB＜kBC，∴ ＜ ＜ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则 t0＝ ⁠. 解析：因为Δs＝7（t0＋Δt）2－13（t0＋Δt）＋8－7 ＋13t0－8＝ 14t0·Δt－13Δt＋7（Δt）2，所以 ＝14t0－13＋7Δt，当Δt趋于0时，物 体在t0处的瞬时速度为1，即14t0－13＝1，所以t0＝1. 1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 函数y＝f（x）＝ 在区间[1，8]上的平均变化率为（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　平均变化率 ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的 函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且该物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度 为26 m/s，则实数m的值为（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析： 　由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22 ＋2m）＝26，解得m＝1，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋ （t的单位是秒，s的单位 是米），则它在4秒末的瞬时速度为（　　） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 8 米/秒 D. 米/秒 解析： 　因为 ＝ ＝ ＝Δt＋ 8－ .当Δt趋于0时， 趋于 ，所以它在4秒末的瞬时速度为 米 /秒. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 某公司的盈利y（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系是y＝f （x），假设 ＞0（x1＞x0≥0）恒成立，且 ＝ 10， ＝1，则说明后10天与前10天相比（　　） A. 公司亏损且亏损幅度变大 B. 公司的盈利增加，增加的幅度变大 C. 公司亏损且亏损幅度变小 D. 公司的盈利增加，增加的幅度变小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由 ＞0（x1＞x0≥0）恒成立，可知y＝f（x）单 调递增，即盈利增加，又因为平均变化率 ＝10＞ ＝1，说明盈利增加的幅度变小，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下 列说法正确的是（　　） A. 在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 B. 在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 解析： 　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平 均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的 平均速度较大. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知某物体做直线运动，位移s与时间t的函数关系为s（t） ＝7t2＋8（0≤t≤5），则（　　） A. 从t＝1到t＝3该物体的平均速度是28 B. 该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C. 该物体位移的最大值为43 D. 该物体在t＝5时的瞬时速度是70 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　该物体从t＝1到t＝3的平均速度是 ＝ ＝ 28，故A正确；物体在t＝4时的瞬时速度是当Δt趋于0时， ＝56＋7Δt趋于56，故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错 误；物体在t＝5时的瞬时速度是当Δt趋于0时， ＝70＋7Δt 趋于70，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ax＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3，则实数a ＝ ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝a＝3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 如图是函数y＝f（x）的图象. （1）函数f（x）在区间[－1，1]上的平均变化率为 ⁠； 解析： 函数f（x）在区间[－1，1]上的平均变化率为 ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）函数f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为 ⁠. 解析： 由函数f（x）的图象知，f（x）＝ 所以 函数f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为 ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是 ⁠. 解析：由题意知， ＝ ＝ ＝ ＝2－6t－3Δt. 当Δt趋于0，t＝0时，物体的瞬时变化率为2－6×0＝2，即物体的初速度 是2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行 冷却和加热，如果第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x2－ 7x＋15（0≤x≤8）.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说 明它们的意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：原油温度在x＝x0处的平均变化率为 ＝ ＝Δx＋2x0－7. 当Δx趋于0时， 趋于2x0－7，因此第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时 变化率分别为－3和5.其说明在2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下 降；在6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1（t），W2 （t）与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（　　） A. 两机关节能效果一样好 B. A机关比B机关节能效果好 C. A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用 电量在[0，t0]上的平均变化率大 D. A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都 小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变 化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为 ，则m的值为 ⁠. 解析：体积的增加量ΔV＝ m3－ ＝ （m3－1），所以 ＝ ＝ ，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3（舍）. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 小明从家到学校行走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函 数关系表示如图，记小明在区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度 分别为v1，v2，v3，则v1，v2，v3的大小关系为 （用“＜” 连接）， 与v2的大小关系为 　v2＜ 　（用“＜”连接）. v1＜v2＜v3　 v2＜ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意，知v1＝ ＝ ，v2＝ ＝ ，v3＝ ＝ . 由题图可知t1＜t2且2t1＞t2，因此v1＝ ＜v2＝ ，又t2－2（t2－t1）＝ 2t1－t2＞0，所以t2＞2（t2－t1），因此v2＝ ＜v3＝ .综上，v1 ＜v2＜v3.因为v1＋v3－2v2＝s0［ ＋ － ］＝s0 ［ － ］＝s0［ ］＝ ＞0，故v2＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程s（单位：m）与时间 t（单位：s）满足关系式s＝t3＋t，求： （1）该运动员在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； 解： 该运动员在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为 ＝ ＝3 ＋ 3t0Δt＋（Δt）2＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）该运动员在t＝6 s这一时刻的瞬时速度； 解： 由（1）知，在平均速度表达式3 ＋3t0Δt＋（Δt）2＋1中，当 t0＝6 s，Δt趋于0时，3×62＋3×6Δt＋（Δt）2＋1趋于109，所以该运动 员在t＝6 s这一时刻的瞬时速度为109 m/s. （3）该运动员瞬时速度为28 m/s的时刻t1. 解： 由（1）知，当Δt趋于0时，在t1到t1＋Δt这段时间内的平均速度 趋于3 ＋1，即在时刻t1的瞬时速度为3 ＋1＝28，所以t1＝3 s. 所以该运动员瞬时速度为28 m/s的时刻为3 s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积（阴影部分）的2倍，则函数y＝f（x）的图象是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　不妨设点A固定，点B从点A出发绕圆周旋转一周，刚开始时x 很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近 于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形 面积的改变量较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着点 B的继续旋转，弓形面积的变化越来越慢.由上可知函数y＝f（x）的图象 应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各 选项知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示. （1）甲、乙两人的平均速度各是多少？ 解： 由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发， 当t＝12 s时，甲、乙到达终点，且甲、乙两人跑100 m都 用了12 s，即y总＝100 m，t总＝12 s， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ （m/s）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？ 解： 由题图可知在t＝12 s附近，乙跑的路程的改变 量比甲大，所以乙的斜率大于甲的斜率，所以v甲＜v乙， 所以在接近终点时乙的速度更快. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $