第2章 6.2 函数的极值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数极值，涵盖极值概念、条件及导数求法。以苏轼诗句“横看成岭侧成峰”类比山峰局部最高点导入，衔接导数与单调性知识，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学抽象，分层题型（基础、典例、作业）结合通性通法总结，提升逻辑推理与数学运算素养。如含参数函数极值的分类讨论实例，帮助学生掌握推理方法，教师可直接使用系统资源提升教学效率。

6.2　函数的极值 1 1.了解极大值、极小值的概念（数学抽象）. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（逻辑推理）. 3.会用导数求函数的极大值、极小值（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述 的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一 定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点. 【问题】　在数学上，你知道怎样刻画这种现象吗？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　函数极值的概念 1. 极大值点与极大值 （1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不 为x0的一点处的函数值都 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f （x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值； 小于　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）几何意义：极大值点x0和极大值f（x0）在坐标平面上的对应点 （x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部） 最高点，如图； （3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于： 若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的 f'（x）＞0， f'（x） ＜0，则x0是函数y＝f（x）的极大值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极 大值. 左侧　 右侧　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 极小值点与极小值 （1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不 为x0的一点处的函数值都 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f （x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值； 大于　 （2）几何意义：极小值点x0和极小值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最低点，如图； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于： 若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的 f'（x）＜0， f'（x） ＞0，则x0是函数y＝f（x）的极小值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极 小值. 左侧　 右侧　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 极值点与极值 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 提醒：理解极值概念的注意点：①函数的极值是函数的一种局部性 质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况.这个“附近”可以 是很小很小的区间；②函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数， 是使函数取得极值时自变量的值，不是点；③函数的极值点一定在函数的 定义域内，定义域的端点不能成为极值点；④一个函数未必存在极值点， 若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点，如图，x1，x3都是 函数y＝f（x）的极大值点，x2，x4都是函数y＝f（x）的极小值点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 一个函数可以有无穷多个极值点，如函数y＝ sin x既有无穷多个极大值点， 也有无穷多个极小值点；⑤极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极 大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值，如图，函数y＝f（x） 在点x1处的极大值小于在点x4处的极小值；⑥常数函数、一次函数、指数 函数y＝ax（a＞0且a≠1）和对数函数y＝log ax（a＞0且a≠1）都不存 在极值点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 函数y＝｜x－1｜在x＝1处是否有极值？是否可导？ 提示：有极值.x＝1为极小值点，y极小值＝0，但y＝｜x－1｜在x＝1处无 导数.即y＝｜x－1｜在R上不是可导函数. 2. 导数为零的点一定是函数的极值点吗？ 提示：不一定.例如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是它的极值点.一 般地，当f'（x0）＝0时，若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值异号， 则f（x）在x＝x0处取得极值；若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值 同号，则f（x）在x＝x0处不能取得极值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　函数极值的求法 一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f（x）的导数f'（x0）＝0.因此，可 以通过如下步骤求出函数y＝f（x）的极值点： 1. 求出导数f'（x）. 2. 解方程f'（x）＝0. 3. 对于方程f'（x）＝0的每一个实数根x0，分析f'（x）在x0附近的符号 （即f（x）的单调性），确定极值点： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）若f'（x）在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； （2）若f'（x）在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； （3）若f'（x）在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. 　　提醒：设x0是f（x）的一个极值点，并求出了f（x）的导数f' （x0），则f'（x0）＝0.反之不一定成立. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数的极大值一定大于极小值. （　×　） （2）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值. （　×　） （3）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值. （　√　） × × √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有 （　　） A. 两个极大值，一个极小值 B. 两个极大值，无极小值 C. 一个极大值，一个极小值 D. 一个极大值，两个极小值 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由图可知导函数f'（x）有三个零点，依次设为x1＜0，x2＝0， x3＞0，当x＜x1时，f'（x）＜0，当x1＜x＜0时，f'（x）＞0，所以函数f （x）在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，当x2＜x＜x3 时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x2处无极值；当x＞x3时，f'（x） ＜0，所以函数f（x）在x＝x3处取得极大值，故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝ x3－x2－3x＋6的极大值为 　 　，极小值为 ⁠. 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x） ＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递 增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝ ，极小 值为f（3）＝－3. 　 －3　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜求函数的极值 角度1　由图象判断函数的极值 【例1】　〔多选〕已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图 所示，则y＝f（x）（　BCD　） A. 在（－∞，0）上单调递减 B. 在x＝0处取极大值 C. 在（4，＋∞）上单调递减 D. 在x＝2处取极小值 BCD 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由导函数的图象可知，x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞ 0；x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0.因此f（x）在（－∞， 0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以 y＝f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极 大值，故选B、C、D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 由图象判断函数的极值 （1）对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪 个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎 样变化的； （2）对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区 间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求不含参数的函数极值问题 【例2】　求函数f（x）＝x2e－x的极值. 解：函数的定义域为R， f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）' ＝2xe－x－x2·e－x ＝x（2－x）e－x. 令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ 极小 值0 ↗ 极大 值4e－2 ↘ 因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0； 当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个 问题： （1）函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不 在定义域内，需要舍去； （2）检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则 该点是极值点，否则不是极值点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度3　求含参数的函数极值问题 【例3】　若函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），可知f'（x）＝1－ ＝ . （1）当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极 值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝a. 当0＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 当x＞a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）在x＝a处取得极小值.即f（a）＝a－aln a，无极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值； 当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能 解决问题.讨论的依据有两种： （1）看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论； （2）看f'（x）在其零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分 类讨论. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a， b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）上极小值点的个数 为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　f'（x）＞0时，f（x）单调递增，f'（x）＜0时，f（x）单调 递减.可知f（x）在（a，b）上的极小值点只有一个. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值. 解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0）， 当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此 时函数没有极值； 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－ 或x＝ . 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 x （－∞，－ ） － （－ ， ） ​ （ ， ＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值f（－ ） ↘ 极小值 f（ ） ↗ ∴f（x）的极大值为f（－ ）＝2a ＋b，极小值为f（ ）＝－ 2a ＋b. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜由极值求参数值（或范围） 【例4】　（1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10， 则a＝（　C　） A. 4或－3 B. 4或－11 C. 4 D. －3 C 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： ∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由 题意得 即 解得 或 当 时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3 （x－1）2≥0，故函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.∴a＝ 4，故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若函数f（x）＝ x2＋（a－1）x－aln x没有极值，则（　A　） A. a＝－1 B. a≥0 C. a＜－1 D. －1＜a＜0 A 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： f'（x）＝（x－1） ，x＞0，当a≥0时， ＋1＞0， 令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1，f（x）在x＝1处取 极小值，与题意矛盾.当a＜0时，方程 ＋1＝0必有一个正数解x＝－a， ①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f'（x）＝ ≥0，f（x）在 （0，＋∞）上是增函数，无极值.②若a≠－1，此正数解为x＝－a≠1， f'（x）＝0必有2个不同的正数解，f（x）存在2个极值.综上，a＝－1.故 选A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 已知函数极值求参数的方法 　　对于已知可导函数的极值求参数问题，解题的切入点是极值存在的条 件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. （1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f'（x）； ②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数.求出参数后，一定 要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区 间内恒成立问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）·（x－a），若f（x）在x ＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （0，＋∞） C. （0，1） D. （－1，0） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在 （－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a 处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单 调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞ 0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与 题意矛盾，故选D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　） A. a＜－ B. a＞－1 C. a＜－1 D. a＞－ 解析： 　y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0 为其极值点，∴ ＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数f（x）＝x＋ （x＞0）在x＝1时（　　） A. 只有极小值 B. 只有极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 极值不存在 解析： 当0＜x＜1时，f'（x）＝1－ ＜0；当x＞1时，f'（x）＝1－ ＞0.故函数f（x）＝x＋ （x＞0）在x＝1处取得极小值，无极大值. 故选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝x＋2 cos x在 上的极大值点为（　　） A. 0 B. C. D. 解析： 　由题意得，f'（x）＝1－2 sin x，令f'（x）＝0，得x＝ ，当0 ＜x＜ 时，f'（x）＞0；当 ＜x＜ 时，f'（x）＜0.∴当x＝ 时，f （x）取得极大值. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数f（x）＝ln x－ x2，则f（x）（　　） A. 有极小值，无极大值 B. 无极小值，有极大值 C. 既有极小值，又有极大值 D. 既无极小值，又无极大值 解析： 　由题可得，f'（x）＝ －x＝ （x＞0），当x＞1时，f' （x）＜0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，所以f（x）在x＝1处取得极大 值，无极小值.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示， 以下结论正确的是（　　） A. －3是f（x）的一个极小值点 B. －2和－1都是f（x）的极大值点 C. f（x）的单调递增区间是（－3，＋∞） D. f（x）的单调递减区间是（－∞，－3） 解析： 当x＜－3时，f'（x）＜0，x＞－3时，f'（x）≥0，∴－3是 极小值点，无极大值点，单调递增区间是（－3，＋∞），单调递减区间 是（－∞，－3）.故选A、C、D. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值 范围是 ⁠. 解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f（x）有极大值与极小值，∴f' （x）＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－12（a＋6）＞0，∴a＜－3或a ＞6. （－∞，－3）∪（6，＋∞）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 已知下列各选项是函数y＝f（x）的导函数的图象，则x＝a是函数y ＝f（x）的极小值点的是（　　） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　在点a的左侧附近，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；在点a的 右侧附近，f'（x）＞0时，f（x）单调递增，此时x＝a是函数的极小值 点.所以，对于A、B选项，x＝a不是函数y＝f（x）的极值点；对于C选 项，x＝a是函数 y＝f（x）的极小值点；对于D选项，x＝a是函数 y＝f （x）的极大值点.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e）上的极大值为（　　） A. －e B. 1－e C. －1 D. 0 解析： 　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －1.令f'（x）＝ 0，得x＝1.当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，e）时，f'（x） ＜0，故f（x）在x＝1处取得极大值f（1）＝ln 1－1＝0－1＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若函数f（x）＝x3－3bx＋3在（－1，2）内有极值，则实数b的取值范 围是（　　） A. （0，4） B. [0，4） C. [1，4） D. （1，4） 解析： 　f'（x）＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f（x）在（－1，2）内 有极值，∴f'（x）在（－1，2）内有变号零点，∴0≤b＜4.当b＝0时，f （x）＝x3＋3在R上是增函数，没有极值，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 若函数f（x）＝ x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值 范围为（　　） A. （ 0， ） B. （ 0， ） C. （ －∞， ） D. （ －∞， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　函数的定义域为（0，＋∞），因为函数f（x）＝ x2－x＋aln x有两个不同的极值点，所以f'（x）＝x－1＋ ＝ ＝0有两个不同 的正根，即x2－x＋a＝0有两个不同的正根，所以 解得 0＜a＜ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函 数y＝xf'（x）的图象，则下列说法正确的是（　　） A. 函数f（x）的单调递增区间是（－2，0），（2，＋ ∞） B. 函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（2， ＋∞） C. x＝－2是函数的极小值点 D. x＝2是函数的极小值点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意，当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞ 0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜－2时，f'（x）＞0；即函数f （x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调 递减，因此函数f（x）在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值.故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的 是（　　） A. x＝3是函数f（x）的一个极值点 B. f（x）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞） C. f（x）在区间（1，2）内单调递减 D. 直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有2个交点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　f'（x）＝ ＋2x－10＝ （x＞－1），∴当－1 ＜x＜1时，f'（x）＞0，当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当x＞3时，f'（x） ＞0，∴f（x）在（－1，1）内单调递增，在（1，3）内单调递减，在 （3，＋∞）内单调递增，故x＝3是f（x）的极小值点，故A正确，B错 误，C正确；由单调性可知f（3）＜f（2）＜f（1），而f（2）＝16ln 3－ 16，又当x→－1时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，故直 线y＝16ln 3－16与y＝f（x）的图象有3个交点，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 能说明“若f'（0）＝0，则x＝0是函数y＝f（x）的极值点”为假命题 的一个函数是 ⁠. 解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.如 函数f（x）＝x5，当x＝0时，f'（0）＝5×04＝0，但是f（x）＝x5在R上 是增函数，所以x＝0不是函数f（x）＝x5的极值点. f（x）＝x5（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数 为 ⁠. 解析：因为x＞0，f'（x）＝a－ ＝ ，所以当a≤0时，f'（x）＜0在 （0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以 f（x）在（0，＋∞）上没有极值点. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 若函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，则a的取值范围 是 ⁠. 解析：由f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R），得f'（x）＝3x2＋2ax＋a. ∵函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，且f'（x）的图象开 口向上，∴f'（x）≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4a2－12a≤0，解得 0≤a≤3，∴a的取值范围是[0，3] . [0，3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； 解： 因为f（x）＝aln x＋bx2＋x， 所以f'（x）＝ ＋2bx＋1（x＞0）. 依题意得f'（1）＝f'（2）＝0， 即 解方程组得a＝－ ，b＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明 理由. 解： 由（1）知，f（x）＝－ ln x－ x2＋x（x＞0）， 故f'（x）＝－ － x＋1＝ . 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，2）时，f'（x）＞0；当x∈ （2，＋∞）时，f'（x）＜0. 故x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f （x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf'（x）的图象不可能是（　　） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为f（x）在x＝1处取得极大值，所以可知x＞1时，f' （x）＜0，x＜1时，f'（x）＞0，所以当x＞1时，y＝－xf'（x）＞0， A、C不可能，当0＜x＜1时，y＝－xf'（x）＜0，D不可能，故选A、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝xln x＋x2，x0是函数f（x）的极值点，则 下列结论正确的是（　　） A. 0＜x0＜ B. x0＞ C. f（x0）＋2x0＜0 D. f（x0）＋2x0＞0 解析： 　∵函数f（x）＝xln x＋x2（x＞0），∴f'（x）＝ln x＋1＋ 2x，易得f'（x）＝ln x＋1＋2x在（0，＋∞）上是增函数，f' ＝ ＞ 0，∵当x→0时，f'（x）→－∞，∴0＜x0＜ ，∴A正确，B错误.∵f' （x0）＝ln x0＋1＋2x0＝0，∴f（x0）＋2x0＝x0ln x0＋ ＋2x0＝x0（ln x0 ＋x0＋2）＝x0（1－x0）＞0，∴C错误，D正确.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m ＝ ，n＝ ⁠. 解析：由题可得，f'（x）＝3x2＋6mx＋n， ∴ 解得 或 当 时，f'（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0恒成立，不满足题 意.故m＝2，n＝9. 2　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝aln x－bx2，a，b∈R，若f（x）在x＝1处与直 线y＝－ 相切. （1）求a，b的值； 解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －2bx，∵函 数f（x）在x＝1处与直线y＝－ 相切， ∴ 即 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f（x）在 上的极值. 解： 由（1）得f（x）＝ln x－ x2，f'（x）＝ －x＝ ，令f' （x）＞0，得0＜x＜1， 令f'（x）＜0，得x＞1，∴f（x）在 上单调递增，在（1，e）上 单调递减， ∴f（x）在 上的极大值为f（1）＝－ ，无极小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕已知函数f（x）＝ ，则（　　） A. f（x）在x＝e处取得极大值 B. f（x）有两个不同的零点 C. f（x）的极小值点为x＝e D. f（ ）＜f（ ）＜f（2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意可得函数的定义域为（0，＋∞），由f（x）＝ 可 得f'（x）＝ ＝ ，令f'（x）＝0，解得x＝e.当0＜x＜e时，f' （x）＞0，则f（x）在区间（0，e）上单调递增；当x＞e时，f'（x）＜ 0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递减.所以当x＝e时，函数f（x）取得 极大值为f（e）＝ ，无极小值，故选项A正确，选项C不正确；因为f （1）＝ ＝0，且f（x）在区间（0，e）上单调递增，所以函数f（x） 在（0，e）上有一个零点.当x≥e时，ln x＞0，x＞0，所以f（x）＞0， 此时无零点.综上所述，f（x）有一个零点，故选项B不正确； 因为0＜ ＜ ＜ ＜e，f（x）在区间（0，e）上单调递增，所以f （ ）＜f（ ）＜f（2），故选项D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a. （1）求f（x）的极值； 解： f'（x）＝3x2－2x－1. 令f'（x）＝0，得x＝－ 或x＝1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x ​ － ​ 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）的极大值是f ＝ ＋a， 极小值是f（1）＝a－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？ 解： 函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0， x取足够小的负数时，有f（x）＜0， ∴曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点. 由（1）知f（x）极大值＝f ＝ ＋a， f（x）极小值＝f（1）＝a－1. ∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点， ∴f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 即 ＋a＜0或a－1＞0， ∴a＜－ 或a＞1， ∴当a∈ ∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交 点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $