第2章 6.1 第2课时 函数单调性的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数单调性的应用，涵盖含参数函数单调性讨论、已知单调性求参数范围、单调性比较大小与解不等式等核心内容，通过典例导入衔接导数与单调性基础，以“典例研析-通性通法-跟踪训练”为学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其亮点在于分题型细化解析，通性通法提炼规律，拓视野部分通过构造函数（如xf(x)、e^x f(x)）培养数学思维中的推理能力和创新意识，数学语言中的模型观念。例如例1分类讨论参数对单调性的影响，例3利用单调性比较大小，助力学生提升逻辑推理和问题解决能力，教师可直接运用系统题型与方法，提高教学效率。

第二课时　函数单调性的应用 1 典例研析 01 拓视野　导数中函数的构造问题 02 目录 课时作业 03 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜含参数的函数的单调性 【例1】　讨论函数f（x）＝ ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ax＋1－ ＝ . ①当a＝0时，f'（x）＝ ， 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ②当a＞0时，f'（x）＝ ， ∵a＞0，∴ ＞0. 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上 单调递增. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类 讨论. 2. 划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0 的点和函数的间断点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求函数f（x）＝ ＋aln x（a∈R）的单调递减区间. 解：易得函数f（x）的定义域是（0，＋∞）， f'（x）＝－ ＋ ＝ . ①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ②当a＞0时，若0＜x＜ ，则f'（x）＜0； 若x＞ ，则f'（x）＞0，所以f（x）在 上单调递减，在 上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），当a＞0 时，f（x）的单调递减区间为 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜已知函数的单调性求参数的范围 【例2】　若函数f（x）＝ x3－ ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上单 调递减，在区间[6，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　B　） A. （－∞，5] B. [5，7] C. [7，＋∞） D. （－∞，5]∪[7，＋∞） B 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：　法一　f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－ 1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函 数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2 时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－ 1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，＋ ∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7]. 法二　f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成 立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－ 1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7]. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'（x）≥0（或f' （x）≤0），x∈（a，b）恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的 取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f' （x）不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意. 2. 若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在 （a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值. 解：由f'（x）＝3x2－a. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝± ， 当－ ＜x＜ 时，f'（x）＜0. 所以f（x）在（ － ， ）上单调递减， 所以f（x）的单调递减区间为（ － ， ）， 所以 ＝1，解得a＝3. ①当a≤0时，f'（x）≥0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不符合题意. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围. 解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立， 所以 即 所以a≥3. 即a的取值范围是[3，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜函数单调性的应用 【例3】　（1）已知函数f（x）＝ ＋ln x，则（　D　） A. f（e）＜f（π）＜f（2.7） B. f（π）＜f（e）＜f（2.7） C. f（e）＜f（2.7）＜f（π） D. f（2.7）＜f（e）＜f（π） 解析： 函数f（x）＝ ＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝ （ ＋ln x）'＝（ ）'＋（ln x）'＝ ＋ ＞0，∴f（x）在（0，＋ ∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D. D 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知函数f（x）＝4x＋3 sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f （1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（　B　） A. （0，1） B. （1， ） C. （－2，－ ） D. （－∞，－2）∪（1，＋∞） 解析： ∵f（x）＝4x＋3 sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3 cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增. 又f（x）＝4x＋3 sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a） ＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义 域可知，a要满足 解得1＜a＜ . B 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根 据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的 函数，由新函数的单调性来比较大小. 2. 对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利 用单调性解不等式.注意函数定义域. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 若f（x）＝ ，e＜a＜b，则（　　） A. f（a）＜f（b） B. f（a）＝f（b） C. f（a）＞f（b） D. f（a）f（b）＞1 解析： 　易知f（x）的定义域为（0，＋∞），令f'（x）＝ ＜0， 解得x＞e.∴f（x）在（e，＋∞）上单调递减，∵e＜a＜b，∴f（a） ＞f（b）. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 设函数f（x）＝2x＋ sin x，则（　　） A. f（1）＞f（2） B. f（1）＜f（2） C. f（1）＝f（2） D. 以上都不正确 解析： 　f'（x）＝2＋ cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜ f（2）. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝ax3－x在R上为减函数，则（　　） A. a≤0 B. a＜1 C. a＜2 D. a≤ 解析： 　f'（x）＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若函数y＝x2－2bx＋6在[2，8]上单调递增，则实数b的取值范围 是 ⁠. 解析：由题意得y'＝2x－2b≥0在[2，8]上恒成立， 即b≤x在[2，8]上恒成立，所以b≤2. （－∞，2]　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 若f（x）＝－ x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上单调递减，则b的 取值范围是 ⁠. 解析：∵f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，∴f'（x）≤0在（－1，＋ ∞）上恒成立.∵f'（x）＝－x＋ ，∴－x＋ ≤0在（－1，＋∞） 上恒成立，即b≤x（x＋2）在（－1，＋∞）上恒成立.设g（x）＝x （x＋2）＝（x＋1）2－1，则当x＞－1时，g（x）＞－1，∴b≤－1. （－∞，－1]　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 设函数f（x）＝x－ －aln x（a∈R），讨论f（x）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）. f'（x）＝1＋ － ＝ . 令g（x）＝x2－ax＋1，则对于方程x2－ax＋1＝0，有Δ＝a2－4. 当－2≤a≤2时，Δ≤0，g（x）≥0，f'（x）≥0，只有当a＝2，x＝1或 a＝－2，x＝－1（舍去）时，等号成立，故函数f（x）在（0，＋∞）上 是增函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 当a＜－2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根都小于0，g（x）在（0，＋∞） 上单调递增，且在（0，＋∞）上g（x）＞1，f'（x）＞0，故函数f（x） 在（0，＋∞）上是增函数. 当a＞2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根为x1＝ ，x2＝ ，且 x2＞x1＞0. 当0＜x＜x1时，f'（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f' （x）＞0.故函数f（x）在（0，x1），（x2＋∞）上单调递增，在（x1， x2）上单调递减. 综上，当a≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＞2时，函 数f（x）在（ 0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在 （ ， ）上单调递减. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 拓视野　 导数中函数的构造问题 目 录 类型一｜利用f（x）与x构造 【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf' （x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为 ⁠ ⁠. （－∞，－ 4）∪（0，4）　 解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0 时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x） 在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F （x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减，根据f（－4） ＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图 略），根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【例2】　已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－ 1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取 值范围是 ⁠. （－1，0）∪（0，1）　 解析：构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，当x＞0 时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x） 在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F （x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增，根据f（－1）＝0 可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略）， 根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 利用f（x）与x构造函数的形式 （1）常见的构造形式为xf（x）， ； （2）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （3）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x） －f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为 ⁠ ⁠. （－∞，－1）∪ （1，＋∞）　 解析：构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，当x＜0时， xf'（x）－f（x）＞0，可以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－ ∞，0）上单调递增，∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为 奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上单调递增，根据f（1）＝0可得F （1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象 可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 类型二｜利用f（x）与ex构造 【例3】　已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且对于任 意的x∈R，均有f（x）＋f'（x）＞0，则（　A　） A. e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＞f（0） B. e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＜f（0） C. e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＞f（0） D. e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＜f（0） A 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：　构造函数h（x）＝exf（x），则h'（x）＝exf（x）＋exf'（x） ＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数h（x）在R上是增函数，故h（－ 2 024）＜h（0），即e－2 024f（－2 024）＜e0f（0），即e－2 024f（－2 024）＜f（0）.同理h（2 024）＞h（0），即e2 024f（2 024）＞f （0），故选A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 利用f（x）与ex构造函数的形式 （1）常见的构造形式为exf（x）， ； （2）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）； （3）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且3f（x）－f'（x） ＞0在R上恒成立，则下列等式一定成立的是（　　） A. f（1）＜e3f（0） B. f（1）＞e2f（0） C. f（1）＞e3f（0） D. f（1）＜e2f（0） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　构造g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＝ ，因为3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，所以g'（x）＜0 在R上恒成立，故g（x）在R上是减函数，所以g（1）＜g（0），即 ＜ ，即f（1）＜e3f（0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 类型三｜利用f（x）与 sin x， cos x构造 【例4】　已知函数y＝f（x）对于任意的x∈（ － ， ）满足f'（x） cos x＋f（x） sin x＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不 等式不成立的是（　　） A. f（ ）＜f（ ） B. f（ － ）＜f（ － ） C. f（0）＜ f（ ） D. f（0）＜2f（ ） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ， 导函数f'（x）满足f'（x）· cos x＋f（x）· sin x＞0，则F'（x）＞0，F （x）在（ － ， ）上单调递增.把选项转化后可知选A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 利用f（x）与 sin x， cos x构造函数常见的形式 （1）F（x）＝f（x） sin x，F'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos x； （2）F（x）＝ ，F'（x）＝ ； （3）F（x）＝f（x） cos x，F'（x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x； （4）F（x）＝ ，F'（x）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x）对于 任意的x∈（0，π）满足f'（x） sin x＞f（x） cos x（其中f'（x）是函数f （x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　） A. f（ － ）＞－ f（ ） B. f（ ）＜－f（ － ） C. f（ ）＞2f（ ） D. f（ ）＜f（ ） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由已知，得f（x）为奇函数，由函数y＝f（x）对于任意的 x∈（0，π）满足f'（x） sin x＞f（x） cos x，得f'（x） sin x－f（x） cos x＞0，即［ ］'＞0，所以y＝ 在（0，π）上单调递增，又 因为y＝ 为偶函数，所以y＝ 在（－π，0）上单调递减，所 以 ＜ ，即 f（ ）＞2f（ ）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 类型四｜构造具体函数关系式 【例5】　已知α，β∈［－ ， ］，且α sin α－β sin β＞0，则下列结论正 确的是（　　） A. α＞β B. α2＞β2 C. α＜β D. α＋β＞0 解析： 　构造f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x，x∈［0， ］时导函数f'（x）≥0，f（x）单调递增；x∈［－ ，0）时导函数f' （x）＜0，f（x）单调递减.又f（x）为偶函数，根据单调性和图象可知 选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 　　这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去 解决不等式及求值问题. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知实数a，b，c满足 ＝ ＝1，其中e是自然对数的底数，那么 （a－c）2＋（b－d）2的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由 ＝1⇒b＝a－2ea，构造函数f（x）＝x－2ex，则动点 M（a，b）在函数f（x）图象上，又由 ＝1⇒d＝2－c，构造函数g （x）＝2－x，则动点N（c，d）在函数g（x）图象上即在直线x＋y－ 2＝0上，问题转化为求曲线y＝f（x）上的动点M（a，b）与直线x＋y －2＝0上的动点N（c，d）的距离的平方的最小值，即点M到直线x＋y －2＝0的距离平方的最小值.由f'（x）＝1－2ex＝－1，得x＝0，所以切点 坐标为（0，－2），所以（a－c）2＋（b－d）2的最小值为 （ ）2＝8. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 三次函数f（x）＝ax3－1在R上是减函数，则（　　） A. a＝1 B. a＝2 C. a≤0 D. a＜0 解析： 　f'（x）＝3ax2，要使f（x）在R上为减函数，则f'（x）≤0在 R上恒成立，即a≤0，又a＝0时，f'（x）＝0恒成立，所以a≠0.综上a ＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g （－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0 时，有（　　） A. f'（x）＞0，g'（x）＞0 B. f'（x）＞0，g'（x）＜0 C. f'（x）＜0，g'（x）＞0 D. f'（x）＜0，g'（x）＜0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由已知，得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数.∵当x＞0时， f'（x）＞0，g'（x）＞0，∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上均单调递 增，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，g（x）在（－∞，0）上单调 递减，∴当x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上单调递减，函数g（x）＝ x2－aln x在（1，2）上单调递增，则a＝（　　） A. 1 B. 2 C. 0 D. 解析： 　∵函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上单调递减，∴ ≥1， 得a≥2.g'（x）＝2x－ ，依题意g'（x）≥0在（1，2）上恒成立，即 2x2≥a在x∈（1，2）时恒成立，有a≤2，∴a＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值 范围是（　　） A. （ －∞， ） B. [2，＋∞） C. （0，＋∞） D. （－∞，2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f' （x）＝3＋ .当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函 数，不满足题意，舍去，当a＜2时，令f'（x）＝3＋ ＝0，解得x＝ ，故此时f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调.故实数a的取 值范围是（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x），g（x）在区间[a，b]上均有f'（x）＜g' （x），则在[a，b]上，下列关系式中正确的是（　　） A. f（x）＋f（b）≥g（x）＋g（b） B. f（x）－f（b）≥g（x）－g（b） C. f（x）＋g（a）≤g（x）＋f（a） D. f（x）＋g（a）≥g（x）＋f（a） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　据题意，由f'（x）＜g'（x）得f'（x）－g'（x）＜0，故F （x）＝f（x）－g（x）在[a，b]上单调递减，由单调性知识知，在 [a，b]上必有F（x）≥F（b），即f（x）－g（x）≥f（b）－g （b），移项整理得f（x）－f（b）≥g（x）－g（b）.同理F（x） ≤F（a），f（x）－g（x）≤f（a）－g（a），移项整理得f（x） ＋g（a）≤g（x）＋f（a）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f' （x），对于任意的x∈R，f'（x）＜－f（x）恒成立，则以下选项一定 正确的是（　　） A. 5f（ln 5）＜2f（ln 2） B. 6f（ln 6）＜3f（ln 3） C. 2f（ln 5）＞5f（ln 2） D. 3f（ln 6）＜6f（ln 3） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）＝ ex[f（x）＋f'（x）].因为对于任意的x∈R，f'（x）＜－f（x）恒成 立，所以g'（x）＜0，所以g（x）在R上是减函数.因为ln 5＞ln 2，所以g （ln 5）＜g（ln 2），所以eln 5f（ln 5）＜eln 2f（ln 2），即5f（ln 5）＜2f （ln 2），所以A正确，C错误，因为ln 6＞ln 3，所以g（ln 6）＜g（ln 3），所以eln 6f（ln 6）＜eln 3f（ln 3），即6f（ln 6）＜3f（ln 3），所以B 正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. （2025·承德质检）若函数f（x）＝ x3－2ax2－（a－2）x＋5有三个 单调区间，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：若函数f（x）有三个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2） 有两个不同的零点，即关于x的方程4x2－4ax－（a－2）＝0有两个不同 的实数根，所以Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2，故实数 a的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. （－∞，－2）∪（1，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 若函数f（x）＝（x2＋mx）ex的单调递减区间是 ，则实数m 的值为 ⁠. 解析：f'（x）＝[x2＋（m＋2）x＋m]ex.因为f（x）的单调递减区间是 ，所以f'（x）＝0的两个根分别为x1＝－ ，x2＝1，即 解得m＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，若当x＞0时，xf' （x）＋f（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是 ⁠ ⁠. 解析：由题意设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.∵当 x＞0时，xf'（x）＋f（x）＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上单调递 增.∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数.又 f（2）＝0，则g（2）＝2f（2）＝0，∴不等式xf（x）＞0等价于g（x） ＞0＝g（2），∴｜x｜＞2，解得x＜－2或x＞2，∴不等式xf（x）＞0 的解集是（－∞，－2）∪（2，＋∞）. （－∞，－2）∪ （2，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2. （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 解： ∵a＝1，∴f（x）＝x3＋x2－x＋2， ∴f'（x）＝3x2＋2x－1，∴f'（1）＝4.又f（1）＝3， ∴切点坐标为（1，3），∴所求切线方程为y－3＝4（x－1），即4x－y －1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间. 解： f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a）， 由f'（x）＝0得x＝－a或x＝ . 又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜ ， 由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞ ， 故f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. （2025·武汉期中）已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（　　） A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. a＞b＞c 解析： 　b＝ ＝ ，根据a，b，c的结构，构造函数f（x）＝ ， 则a＝f（3），b＝f（e），e＝f（9）.f'（x）＝ ，令f'（x）＞0， 则0＜x＜e，令f'（x）＜0，则x＞e，因此f（x）＝ 在（0，e）上单调 递增，在（e，＋∞）上单调递减，又e＜3＜9，所以f（e）＞f（3）＞f （9），即b＞a＞c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ex－e－x＋ sin 2x，则满足f（2x2－1）＋f （x）＞0的x的取值范围可能为（　　） A. B. （－∞，－1） C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　函数f（x）＝ex－e－x＋ sin 2x，定义域为R，且满足f（－ x）＝e－x－ex＋ sin （－2x）＝－（ex－e－x＋ sin 2x）＝－f（x），∴f （x）为R上的奇函数.又f'（x）＝ex＋e－x＋2 cos 2x≥2＋2 cos 2x≥0恒 成立，∴f（x）为R上的增函数.又f（2x2－1）＋f（x）＞0，得f（2x2 －1）＞－f（x）＝f（－x），∴2x2－1＞－x，即2x2＋x－1＞0，解得x ＜－1或x＞ ，∴x的取值范围是（－∞，－1）∪ .故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”. （1）设f（x）＝ cos x，则f（x）在（0，π）上的“新驻点” 为 ⁠； 解析： ∵f（x）＝ cos x，∴f'（x）＝－ sin x，根据“新驻点”的定 义得f（x）＝f'（x），即 cos x＝－ sin x，可得tan x＝－1，∵x∈（0， π），解得x＝ ，∴函数f（x）＝ cos x在（0，π）上的“新驻点”为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）如果函数g（x）＝x与h（x）＝ln（x＋1）的“新驻点”分别为 α，β，那么α和β的大小关系是 ⁠. 解析： ∵g（x）＝x，则g'（x）＝1，根据“新驻点”的定义得g （α）＝g'（α），即α＝1.∵h（x）＝ln（x＋1），则h'（x）＝ ，由 “新驻点”的定义得h（x）＝h'（x），即ln（x＋1）＝ ，构造函数F （x）＝ln（x＋1）－ ，则函数y＝F（x）在定义域上为增函数.∵F （0）＝－1＜0，F（1）＝ln 2－ ＞0，∴F（β）＝0，由函数零点存在 定理可知β∈（0，1）.∴α＞β. α＞β　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 试讨论函数f（x）＝kx－ln x的单调区间. 解：函数f（x）＝kx－ln x的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝k－ ＝ . 当k≤0时，kx－1＜0，∴f'（x）＜0， 则f（x）在（0，＋∞）上是减函数. 当k＞0时，由f'（x）＜0，即 ＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得0＜x＜ ； 由f'（x）＞0，即 ＞0，解得x＞ . ∴当k＞0时，f（x）的单调递减区间为 ， 单调递增区间为 . 综上所述，当k≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递 增区间；当k＞0时，f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对 任意的x∈R恒成立，则（　　） A. f（ln 2）＜2f（0） B. f（2）＜e2f（0） C. f（ln 2）＞2f（0） D. f（2）＞e2f（0） 解析： 　令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＜0，故g （x）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故g（ln 2）＜g（0），g（2） ＜g（0），即 ＜ ， ＜ ，所以f（ln 2）＜2f （0），f（2）＜e2f（0）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）. （1）当a＝－ 时，求函数f（x）的单调区间； 解： 当a＝－ 时，f（x）＝－ x2＋ln（x＋1）（x＞－1）， 则f'（x）＝－ x＋ ＝－ （x＞－1）. 令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1. 故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋ ∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围. 解： 因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝ 2ax＋ ≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－ 对任意 x∈[1，＋∞）恒成立. 令g（x）＝－ ，x∈[1，＋∞）， 易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立， 所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增， 因此g（x）min＝g（1）＝－ ，故a≤－ . 即实数a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $