第2章 6.1 第1课时 函数的单调性-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“函数的单调性”，核心内容为导数与函数单调性的关系。通过股票走势曲线的生活实例导入，引出导数符号与函数增减的关联，结合“想一想”辨析概念，用表格对比导数值大小与图象陡峭程度，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，通过题型分类（图象关系、判断单调性、求单调区间）、通性通法总结及分层作业（A/B/C级），帮助学生掌握导数应用，培养数学思维，教师可借助系统资源提升教学效率。

6.1　函数的单调性 1 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系（数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数研究函数的单调性（逻辑推理、数学运算）. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间（数学运算）. 课标要求 第一课时　函数的单调性 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股 票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有 降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 【问题】　函数的单调性与导数有什么关系呢？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　导数的符号与函数的单调性之间的关系 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： （1）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＞0，则在这个区间 上，函数y＝f（x） ⁠； （2）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＜0，则在这个区间 上，函数y＝f（x） ⁠. 　　提醒：若在某个区间上，f'（x）≥0，且只在有限个点为0，则在这个 区间上，函数y＝f（x）单调递增；若在某个区间上，f'（x）≤0，且只 在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递减. 单调递增　 单调递减　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 　在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增， 反之若f（x）在（a，b）上单调递增，则f'（x）＞0成立吗？ 提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于 零.也就是说f'（x）＞0是可导函数y＝f（x）在某个区间上单调递增的充 分不必要条件. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f（x）在区间（a，b）上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 较大 ⁠ 比较“ ”（向上或向下） 较小 ⁠ 比较“ ”（向上或向下） 　　提醒：（1）原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常 对应只看正负变化；（2）导数的绝对值大（小）对应着原函数图象的陡 峭（平缓）.弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与 导数的绝对值大小的关系. 较快 陡峭　 较慢 平缓　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上 是减函数. （　×　） （2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0. （　×　） （3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越 大. （　√　） （4）函数y＝x3＋x的单调递增区间为（－∞，＋∞）. （　√　） × × √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f'（x） 的图象是（　　） √ 解析： f'（x）＝2x＋b，由于函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点 在第四象限，所以x＝－ ＞0，得b＜0.结合选项，可知选A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是 ⁠. 解析：f'（x）＝ －1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的 单调递增区间是（0，1）. （0，1）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜函数图象与导函数图象的关系 【例1】　（1）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所 示，则导函数f'（x）的图象可能为（　D　） D 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 由f（x）的图象可知，y＝f（x）在（－∞，0）上单调递 增，因此在x＜0时，有f'（x）＞0（即f'（x）在（－∞，0）上的图象全 部在x轴上方），故排除A、C. 从函数f（x）的图象上可以看出，函数f （x）在区间（0，x1）上单调递增，f'（x）＞0，在区间（x1，x2） 上单 调递减，f'（x）＜0，在区间（x2，＋∞）上单调递增，f'（x）＞0，故排 除B，选D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f' （x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　B　） 解析： 法一　由函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象自左到右 先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后 减小，可以判断B正确. B 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　由于f'（x）＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可 知，f（x）单调递增，即图象从左至右上升.四个图象都满足.由于当x＞ 1时，f'（x）＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平 缓”，且呈现上凸状；当x＜1时，f'（x）＞0且越来越大，故函数值增加 得越来越快，图象越来越“陡峭”，且呈现下凹状，可以判断B正确. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f （x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在 x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的 区间（单调递减区间）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在同一坐标系中作出三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）及其导 函数的图象，下列一定不正确的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　当f'（x）＞0时，y＝f（x）单调递增；当f'（x）＜0时，y＝f （x）单调递减.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间 是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减，故错误； ④中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减，故错误. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用导数判断或证明函数的单调性 【例2】　下列函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A. y＝ cos x B. y＝xex C. y＝x3－x D. y＝ln x－x 解析： 　A中，y'＝－ sin x，当x＞0时，y'的符号不确定；B中，y'＝ex＋ xex＝（x＋1）ex，当x＞0时，y'＞0，故在（0，＋∞）上单调递增；C 中，y'＝3x2－1，当x＞0时，y'＞－1；D中，y'＝ －1，当x＞0时，y'＞－ 1.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 运用导数研究函数单调性的方法 　　利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数的定义域， 再求导数，最后判断导数在所给区间上的符号，从而确定函数的单调性. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 若函数y＝x cos x－ sin x在某区间上单调递增，则该区间可能为（　　） A. （ ， ） B. （ － ， ） C. （π，2π） D. （0，π） 解析： ∵y＝x cos x－ sin x，∴y'＝ cos x－x sin x－ cos x＝－x sin x.当 x∈（ ，π）时， sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故A错误；当x∈（ － ，0）时， sin x＜0，y'＜0，函数单调递减，故B错误；当x∈（π，2π） 时， sin x＜0，y'＞0，函数单调递增，故C正确；当x∈（0，π）时， sin x ＞0，y'＜0，函数单调递减，故D错误.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜求函数y＝f（x）的单调区间 【例3】　求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝3x2－2ln x； 解： f（x）的定义域为（0，＋∞）， 因为f'（x）＝6x－ ＝ ＝ . 令f'（x）＞0得x＞ ，令f'（x）＜0得0＜x＜ ， 所以函数f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）f（x）＝－x3＋3x2. 解： f（x）的定义域为R，f'（x）＝－3x2＋6x＝－3x（x－2）. 令f'（x）＝0，解得x1＝0，x2＝2， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋ ∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘（单调 递减） f（0）＝0 ↗（单调 递增） f（2）＝4 ↘（单调 递减） 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0），（2，＋∞）单调递增区间是 （0，2）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用导数求函数的单调区间的思路方法 （1）解不等式法：步骤如下，①确定函数f（x）的定义域；②求导数f' （x）；③解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，并写出解集；④根据③的结 果确定函数f（x）的单调区间； （2）列表法：步骤如下，①确定函数f（x）的定义域；②求导数f' （x）；③解方程f'（x）＝0；④列表；⑤得出结论. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝x2ex； 解： f（x）的定义域为R. f'（x）＝2xex＋x2ex＝x（x＋2）ex， 令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞0. 令f'（x）＜0，解得－2＜x＜0. 所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（0，＋∞），单调递减区 间是（－2，0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： f（x）的定义域为R， f'（x）＝ ＝ . 令f'（x）＝0， （2）f（x）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得x1＝2－ ，x2＝2＋ . 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞， 2－ ） 2－ （2－ ， 2＋ ） 2＋ （2＋ ， ＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ f（2－ ） ＝－2－ ↗ f（2＋ ） ＝－2＋ ↘ 由上表可知f（x）的单调递减区间是（－∞，2－ ），（2＋ ，＋ ∞），单调递增区间是（2－ ，2＋ ）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　） √ 解析： 　因为f（x）在（－∞，1），（4，＋∞）上单调递减，在（1， 4）上单调递增，所以当x＜1或x＞4时，f'（x）＜0；当1＜x＜4时，f' （x）＞0.故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知f（x）在R上是可导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f' （x）＞0的解集为（　　） A. （－2，0）∪（2，＋∞） B. （－∞，－2）∪（2，＋∞） C. （－∞，－1）∪（1，＋∞） D. （－2，－1）∪（1，2） 解析： 　因为f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，所以 在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（x）＞0. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是（　　） A. B. （e，＋∞） C. D. 解析： 　f'（x）＝ln x＋1（x＞0），令f'（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x ＞ .故函数f（x）的单调递增区间为 . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝ x3－x2－3x＋2的单调递增区间是 ⁠ ⁠. 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，解得x＜－1或x＞3，故f （x）的单调递增区间是（－∞，－1），（3，＋∞）. （－∞，－1）， （3，＋∞）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 如果函数y＝f（x）的图象如图所示，那么导函数y＝f'（x）的图象可能是（　　） 解析： 　函数y＝f（x）的单调性自左至右依次为：增→减→增→减， 因此对应的y＝f'（x）的函数值的正负应满足：正→负→正→负.故选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. （2025·重庆南开中学期末）已知函数f（x）的导函数为f'（x），f' （x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题中f'（x）的图象可知当x＜0时，f'（x）＞0，且f'（x）的 值随x的增大逐渐减小，此时f（x）的图象是上升的，且上升得越来越 “平缓”，当x＞0时，f'（x）＞0，且f'（x）的值随x的增大逐渐增大， 此时f（x）的图象是上升的，且上升得越来越“陡峭”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则满足f'（x）＜f （x）的x的取值范围为（　　） A. （0，4） B. （－∞，0）∪（1，4） C. D. （0，1）∪（4，＋∞） 解析： 　观察图象，可得导函数f'（x）的图象过点（0，0）， ， 原函数f（x）的图象过点（0，0），（2，0），观察图象可得满足f'（x） ＜f（x）的x的取值范围为（0，1）∪（4，＋∞），故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝ln x－4x＋1的单调递增区间为（　　） A. B. （0，4） C. D. 解析： 　f（x）＝ln x－4x＋1的定义域是{x｜x＞0}，f'（x）＝ －4 ＝ ，当f'（x）＞0时，解得0＜x＜ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（　　） A. y＝x3＋x－1 B. y＝ sin x－x C. y＝xex＋1 D. y＝ex－x √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　 由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函数是增函数，A满 足题意；由y＝ sin x－x，得y'＝ cos x－1≤0，所以函数是减函数，B满足 题意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），当x≥－1时，y'＝ex（x＋1） ≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝ex（x＋1）＜0，函数单调递减， 故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝ex－x， 得y'＝ex－1，当x≥0时，y'＝ex－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝ ex－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D 不满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　） A. f（b）＞f（a） B. f（d）＞f（e） C. f（a）＞f（d） D. f（c）＞f（e） 解析： 　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x） ＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e， ＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f （d）＞f（e），f（c）＞f（e）. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为 ，单调递减区间 为 ⁠. 解析：y'＝2x－4，令y'＞0，得x＞2；令y'＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x ＋a的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. （2，＋∞）　 （－∞，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数f（x）＝x2－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是 ⁠ ⁠. 解析：f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝2x－5＋2× ＝ ＝ ，由f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜ ，故f（x）的 单调递增区间是 ，（2，＋∞）. ，（2， ＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图所示的是函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f （x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为  　 或  　 . {x｜x＜－ 或0＜x ＜ } 解析：由f（x）的图象知，f（x）在（－∞，－ ） 和（ ，＋∞）上单调递增，在（－ ， ）上单 调递减，所以当x∈（－∞，－ ）∪（ ，＋∞） 时，f'（x）＞0；当x∈（－ ， ）时，f'（x）＜0.所以x·f'（x）＜0的解集为{x｜x＜－ 或0＜x＜ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性. 解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－ 1）（x＋1）. 当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0； 当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0； 当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0. 故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单 调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知函数f（x）＝x sin x，x∈R，则f ，f（1），f 的大小关 系为（　　） A. f ＞f（1）＞f B. f（1）＞f ＞f C. f ＞f（1）＞f D. f ＞f ＞f（1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为f（x）＝x sin x，所以f（－x）＝（－x）· sin （－x） ＝x sin x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以f ＝f .又当 x∈ 时，f'（x）＝ sin x＋x cos x＞0，所以函数f（x）在 上单调递增，所以f ＜f（1）＜f ，即f ＞f（1）＞f ，故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕设函数f（x）的定义域为D，f（x）的导函数为f'（x），若 f'（x）在D上单调，则称函数f（x）为“C函数”.下列函数中，是“C 函数”的有（　　） A. y＝ex B. y＝ln x C. y＝x3 D. y＝tan x √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　对于A，y＝ex的定义域为R，y'＝ex，则y'在R上是增函数， ∴y＝ex是“C函数”；对于B，y＝ln x的定义域为（0，＋∞），y'＝ ， 则y'在（0，＋∞）上单调递减，∴y＝ln x是“C函数”；对于C，y＝x3 的定义域为R，y'＝3x2，则y'在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上 单调递增，∴y＝x3不是“C函数”；对于D，y＝tan x的定义域为（ kπ－ ，kπ＋ ）（k∈Z），y'＝ ，令f（x）＝ ，则f'（x）＝ （ ）'＝ ，当x∈（ 0， ）时，f'（x）＞0，∴y'单调递增；当 x∈（ － ，0）时，f'（x）＜0，∴y'单调递减，∴y＝tan x不是“C函 数”.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ ，则函数f（x）的单调递增区间是 ⁠ ；单调递减区间是 ⁠. 解析：∵f（x）＝ ，∴f'（x）＝ （x＞0）.当0＜x＜e时，f' （x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0， 函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减.∴f（x）的单调递增区间为（0， e），单调递减区间为（e，＋∞）. （0， e）　 （e，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ ＋ －ln x－ ，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在 点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝ x. （1）求a的值； 解： 对f（x）＝ ＋ －ln x－ 求导，得f'（x）＝ － － （x＞ 0），由f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝ x，得f'（1） ＝－ －a＝－2，解得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）的单调区间. 解： 由（1）知f（x）＝ ＋ －ln x－ ，则f'（x）＝ ，令 f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.由于x＝－1不在f（x）的定义域（0， ＋∞）内，故舍去.当x∈（0，5）时，f'（x）＜0，故f（x）的单调递减 区间为（0，5）；当x∈（5，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）的单调递 增区间为（5，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）恒 不为0，当x＜0时，f'（x）·g（x）－f（x）g'（x）＞0，且f（3）＝0， 则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　） A. （－3，0）∪（3，＋∞） B. （－3，0）∪（0，3） C. （－∞，－3）∪（3，＋∞） D. （－∞，－3）∪（0，3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　令F（x）＝ （g（x）恒不为0），则F（x）为奇函 数，F'（x）＝ ，∵当x＜0时，F'（x）＞0， ∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.又F（3）＝ ＝0，∴F（－ 3）＝0.∴当x＜－3时，F（x）＜0；当－3＜x＜0时，F（x）＞0.又F （x）为奇函数，∴当0＜x＜3时，F（x）＜0；当x＞3时，F（x）＞0. 而不等式f（x）g（x）＜0和 ＜0为同解不等式，∴不等式f（x） g（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（0，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝ 的图象在点M（－1，f（－1））处的切线方 程为x＋2y＋5＝0. （1）求函数f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： 因为f（x）的图象在点M（－1，f（－1））处的切线方程为x ＋2y＋5＝0. 所以f'（－1）＝－ ，且－1＋2f（－1）＋5＝0， 即f（－1）＝－2，即 ＝－2， ① 又f'（x）＝ ， 所以 ＝－ . ② 由①②得a＝2，b＝3（因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去）. 所以所求函数的解析式是f（x）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）的单调区间. 解： 由（1）知，f'（x）＝ . 令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2 ，x2＝3＋2 ， 则当x＜3－2 或x＞3＋2 时，f'（x）＜0； 当3－2 ＜x＜3＋2 时，f'（x）＞0. 所以f（x）＝ 的单调递增区间是（3－2 ，3＋2 ），单调递减区 间是（－∞，3－2 ）和（3＋2 ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $