第2章 3 导数的计算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的计算”，涵盖导函数概念及常见函数导数公式。课堂通过常数、一次函数等五个具体函数的导数问题情境导入，衔接导数定义，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点是“基础落实-典例研析-课时作业”三阶结构，典例分求导、切线问题等题型，结合数学抽象（导函数定义）与数学运算（公式应用），如求切线方程、参数值等实例，培养学生逻辑推理。助力学生夯实基础、提升解题能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

§3　导数的计算 1 1.理解并掌握导函数的概念（数学抽象）. 2.会用导数公式表求常见函数的导数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 已知函数：①y＝f（x）＝c；②y＝f（x）＝x；③y＝f（x）＝x2；④ y＝f（x）＝ ；⑤y＝f（x）＝ . 【问题】　（1）函数y＝f（x）＝c的导数是什么？ （2）函数②③④⑤的导数分别是什么？ （3）函数②③④⑤均可表示为y＝xα（α为实数）的形式，其导数有何 规律？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　导函数 一般地，如果一个函数y＝f（x）在区间（a，b）的每一点x处都有f' （x）＝ ，那么f'（x）也是关于x的函数，称 ⁠ 为y＝f（x）的导函数，也简称为导数. f' （x）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　几个常见函数的导数 函数 导数 y＝c（c是常数） ⁠ y＝xα（α是实数） y'＝αxα－1 y＝ax（a＞0，a≠1） y'＝ ，特别地（ex）'＝ ⁠ y＝logax（a＞0， a≠1） y'＝ 　 　，特别地（ln x）'＝ 　 　 y＝ sin x y'＝ ⁠ y＝ cos x y'＝ ⁠ y＝tan x y'＝ ⁠ y'＝0 axln a　 ex 　 cos x － sin x 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：应用求导公式时应注意的问题：①函数y＝x，y＝x2，y＝ x3，y＝ ，y＝ 等都是幂函数y＝xα（α是实数）的形式，可由（xα）' ＝αxα－1快速求导；②对于公式（ln x）'＝ 和（ex）'＝ex很好记，但对于 公式（logax）'＝ 和（ax）'＝axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所 在的位置；③对于公式（ sin x）'＝ cos x，（ cos x）'＝－ sin x，一是注意 函数的变化，二是注意符号的变化. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义 是什么？ 提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y'＝0可以解释为某物体的速 度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y＝x表示路程关于时间的函 数，则y'＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y＝x2表示路程关 于时间的函数，则y'＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在x时刻的瞬 时速度为2x. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若y＝ ，则y'＝ ×2＝1. （　×　） （2）若f（x）＝ ，则f'（x）＝－ . （　√　） （3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e. （　×　） （4）若y＝ sin x，则y'＝ cos x. （　√　） × √ × √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（　　） A. 0 B. 2x C. 6 D. 9 解析： 　∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6. √ 3. 曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是 ⁠. 解析：易知曲线y＝ln x与x轴的交点为（1，0），∵y'＝ ，当x＝1时， 可得切线的斜率为1，∴切线方程为y＝x－1. y＝x－1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数：（1）y＝－3；（2）y＝x4；（3）y＝ 2x；（4）y＝log5x；（5）y＝ cos . 解：（1）y'＝（－3）'＝0. （2）y'＝（x4）'＝4x3. （3）y'＝（2x）'＝2xln 2. （4）y'＝（log5x）'＝ . （5）y'＝ '＝（ sin x）'＝ cos x. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求基本初等函数的导数的注意点 （1）若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公 式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等 变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝6x； 解： y'＝（6x）'＝6xln 6. （2）y＝x2 ； 解： y'＝（x2 ）'＝ '＝ ＝ . （3）y＝ cos 2 － sin 2 . 解： ∵y＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos x， ∴y'＝（ cos x）'＝－ sin x. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用导数公式解决与切线有关的问题 角度1　求切线的方程 【例2】　函数y＝ 在点 处的切线方程是（　B　） A. y＝4x B. y＝－4x＋4 C. y＝4x＋4 D. y＝2x－4 解析：　∵y'＝ '＝－x－2，∴k＝－ ＝－4，∴切线方程为y－2＝ －4 ，即y＝－4x＋4. B 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求曲线过点P的切线方程的方法 （1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y－y0＝f'（x0）·（x－ x0）； （2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））； 第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1） （x－x1）； 第三步：将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P （x0，y0）的切线方程. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求参数值 【例3】　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ ⁠. 解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝ ， 所以k＝ ，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0， 从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝ . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用导数的几何意义求参数的基本方法 　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程 （组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度3　两曲线的公切线问题 【例4】　若直线l与曲线y＝ 和圆x2＋y2＝ 都相切，则l的方程为 （　D　） A. y＝2x＋1 B. y＝2x＋ C. y＝ x＋1 D. y＝ x＋ D 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则 ＝ 　①，设直线l与曲线y＝ 的切点坐标为（x0， ）（x0＞0）， 则y'＝ ，k＝ 　②， ＝kx0＋b　③，由②③可得b＝ ，将b＝ ，k＝ 代入①得x0＝1或x0＝－ （舍去），所以 k＝b＝ ，故直线l的方程为y＝ x＋ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决两曲线的公切线问题的两种方法 （1）利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求 解； （2）设公切线l在y＝f（x）上的切点P1（x1，f（x1）），在y＝g （x）上的切点P2（x2，g（x2）），则f'（x1）＝g'（x2）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 （2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线 y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ ⁠. 解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex ＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋ a），由两曲线有公切线得 ＝2，解得x0＝－ ，则切点为（－ ，a＋ ln ），由切点在切线y＝2x＋1上得a＋ln ＝0，故a＝ln 2. ln 2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 若f（x）＝ sin x，则f' ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　f'（x）＝ cos x，f' ＝ cos ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　） A. 1 B. 2 C. e D. 解析： 　由条件得y'＝ex，根据导数的几何意义，可得当x＝0时，k＝e0 ＝1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析式为 （　　） A. f（x）＝x3 B. f（x）＝x4－2 C. f（x）＝x3＋1 D. f（x）＝x4－1 解析： 由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入选项中 验证可得f（x）＝x4－2.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. 若y＝3，则y'＝0 B. 若y＝ ，则y'＝－ C. 若y＝ ，则y'＝ D. 若y＝x，则y'＝1 解析： 　只有B是错误的.因为y'＝ '＝ '＝－ ＝－ . √ √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ⁠ ⁠. 解析：∵y'＝（ex）'＝ex，∴曲线在点（2，e2）处的切线斜率为k＝e2， ∴曲线在点（2，e2）处的切线方程为y－e2＝e2（x－2），即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S＝ ×1× ＝ e2. e2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 曲线y＝ sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意知，y'＝ cos x，当x＝0时，y'＝ cos 0＝1.设此切线的倾 斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 下列导数运算正确的是（　　） A. '＝ B. （ sin x）'＝－ cos x C. （3x）'＝3x D. （ln x）'＝ 解析： 　 '＝－ ，（ sin x）'＝ cos x，（3x）'＝3xln 3，（ln x）'＝ ，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不确定 解析： 　∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3 ＝1，得x0＝ ± ，即在点 和点 处有斜率为1的切线.∴有2条 切线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 设f0（x）＝ sin x，f1（x）＝f0'（x），f2（x）＝f1'（x），…，fn＋1 （x）＝fn'（x），n∈N，则f2 023（x）＝（　　） A. sin x B. － sin x C. cos x D. － cos x 解析： 　f0（x）＝ sin x，f1（x）＝f0'（x）＝（ sin x）'＝ cos x，f2 （x）＝f1'（x）＝（ cos x）'＝－ sin x，f3（x）＝f2'（x）＝（－ sin x） '＝－ cos x，f4（x）＝f3'（x）＝（－ cos x）'＝ sin x，所以4为最小正周 期.故f2 023（x）＝f3（x）＝－ cos x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是（　　） A. f（x）＝ex B. f（x）＝x3 C. f（x）＝ln x D. f（x）＝ sin x 解析： 　若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线 的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f'（x）＝ex＞0，B中f'（x） ＝3x2≥0，C中f'（x）＝ （x＞0），故A、B、C中均不存在互相垂直的 切线方程.而D中f'（x）＝ cos x，其可正可负，一定存在使 cos x1· cos x2＝ －1的情形，故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 若f'（a）＝12，则实数 a的值可能为（　　） A. 2 B. －2 C. D. 4 解析： 　f'（x）＝ 当a＜0时，f'（a）＝3a2＝12，解 得a＝－2或a＝2（舍去）；当0＜a＜1时，f'（a）＝ ＝12，解得a＝ .故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 若f（x）＝ ，且f'（α）＝ ，则α＝ ⁠. 解析：因为f'（x）＝ ，所以f'（α）＝ ＝ ，解得α＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是 ⁠ ⁠. 解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y'＝（ln x）'＝ ，∴ ＝ 2，解得x＝ ，∴切点的坐标为 .故切线方程为y＋ln 2＝ 2 ，即2x－y－1－ln 2＝0. 2x－y－ 1－ln 2＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 曲线y＝xn＋1（n∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为 ⁠ ，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝ ⁠. 解析：∵y'＝（n＋1）xn，∴当x＝1时，y'＝n＋1.∴曲线y＝xn＋1 （n∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），即 y＝（n＋1）x－n.令y＝0得x＝ ，∴xn＝ ，∴x1·x2·…·xn＝ × × ×…× ＝ . y＝（n＋1） x－n　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知点P 在曲线y＝ cos x上，直线l是以点P为切点的切线. （1）求a的值； 解： 因为P 在曲线y＝ cos x上， 所以a＝ cos ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求过点P与直线l垂直的直线方程. 解： 因为y'＝－ sin x，所以kl＝－ sin ＝－ . 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－ ＝ ， 所以所求直线方程为y－ ＝ ， 即y＝ x－ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（ cos x）'＝－ sin x，可推得若定义 在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函 数，则g（－x）＝（　　） A. f（x） B. －f（x） C. g（x） D. －g（x） 解析： 　由题知，一个偶函数的导函数是奇函数.因为f（x）是偶函 数，所以g（x）是奇函数，所以g（－x）＝－g（x）.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕在曲线y＝ 上且切线的倾斜角为 π的点的坐标为（　　） A. （1，1） B. （－1，－1） C. D. 解析： 　因为y＝ ，所以y'＝－ ，因为切线的倾斜角为 π，所以切 线斜率为－1，即y'＝－ ＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，y＝1；当x ＝－1时，y＝－1，则点的坐标为（1，1）或（－1，－1）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知f（x）＝ cos x，g（x）＝x，则关于x的不等式f'（x）＋g' （x）≤0的解集为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ cos x，g（x）＝x，所以关于x的不等式f'（x）＋g' （x）≤0为－ sin x＋1≤0，得 sin x≥1，又因为－1≤ sin x≤1，所以 sin x ＝1，解得x∈{x｜x＝2kπ＋ ，k∈Z}. {x｜x＝2kπ＋ ，k∈Z}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，设直线l1与曲线y＝ 相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1， 若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长. 解：设P（x0，y0），则 ＝ . ∵直线l1与l2垂直，则 ＝－2 ， ∴直线l2的方程为y－y0＝－2 （x－x0）. ∵点P（x0，y0）在曲线y＝ 上，∴y0＝ . 在直线l2的方程中令y＝0， 则－ ＝－2 （x－x0）. ∴x＝ ＋x0，即xQ＝ ＋x0. 又xK＝x0，∴KQ＝xQ－xK＝ ＋x0－x0＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak， ）处的切线与x轴交点 的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ ⁠. 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak， ）处的切线方程 为y－ ＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1 ＝ ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝ 的等比数列，∴a3＝ 4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 21　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知点A ，B（2，1），函数f（x）＝log2x. （1）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线方程； 解： 设切点为（m，log2m）（m＞0）. 因为f（x）＝log2x，所以f'（x）＝ . 由题意可得 ＝ ，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝ （x－e）， 即y＝ x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）在曲线y＝f（x） 上是否存在点P，使得过点P的切线 与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 解： 过点A ，B（2，1）的直线的斜率为kAB＝ . 假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P（n，log2n）， ≤n≤2，则有 ＝ ，得n＝ . 又 ＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以 ＜ ＜ ， 所以在曲线y＝f（x） 上存在点P，使得过点P的切线与直线 AB平行，且点P的横坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $