2.3 导数的计算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的计算，涵盖导函数定义、基本初等函数导数公式及应用，通过课前自主预习（导函数概念、公式表、基础训练）搭建学习支架，课堂从基础求导到切线方程、实际应用逐步进阶，构建完整知识脉络。 其亮点是梯度进阶式教学，以题型（求导、切线方程、实际应用）培养数学思维，如切线问题结合几何意义体现数学眼光，质点运动问题用数学语言表达变化率，助力学生深化理解，教师可高效落实教学目标。

§3 导数的计算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.  CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.导函数 一般地，如果一个函数y=f（x）在区间（a，b）的每一点x处都有导 数f'（x）=_______________________，那么f'（x）是关于x的函数，称f'（x）为________的导函数，也简称为_______，有时也将导数记作y'. y=f（x） 导数 2.导数公式表 函数 导数   函数 导数 y=c（c是常数） y'=______ y=sin x y'=______ y=xα（α是实数） y'=______ y=cos x y'=______ y=ax（a>0，a≠1） y'=______ 特别地（ex）'=_____ y=tan x y'=______ y=loga x（a>0， a≠1） y'=______ 特别地（ln x）_____ — — 0 cos x αxα-1 -sin x axln a ex |微|点|助|解| 关于几个基本初等函数导数公式的特点 （1）正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，（符号）正同余反”. （2）指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. （3）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 1.已知f（x）=cos 30°，则f'（x）的值为 （　　） A.- B. C.- D.0 √ 基础落实训练 解析：∵f（x）=cos 30°=，因此，f'（x）=0. 2.若f（x）=，则f'（1）等于（　　） A.0 B.- C.3 D. √ 解析：因为f（x）=，则f'（x）=，所以f'（1）=. 3.已知函数f（x）=x3，f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x0）=12，则x0= （　　） A.2 B.-2 C.±2 D.± √ 解析：依题意f'（x）=3x2，故3=12，解得x0=±2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求基本初等函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： （1）f（x）=10x； 解：f'（x）=（10x）'=10xln 10. （2）f（x）=lox； 解：f'（x）='==-. （3）f（x）=； 解：f'（x）='='==. （4）f（x）=-1； 解：∵f（x）=-1 =sin2+2sincos+cos2-1=sin x， ∴f'（x）=（sin x）'=cos x. （5）f（x）=3lg； 解：∵f（x）=3lg=lg x， ∴f'（x）=（lg x）'=. （6）f（x）=2cos2-1. 解：∵f（x）=2cos2-1=cos x， ∴f'（x）=（cos x）'=-sin x. 　　|思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂. （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 针对训练 1.求下列函数的导数： （1）f（x）=x14； 解：f'（x）=14x13. （2）f（x）=6x； 解：f'（x）=（6x）'=6xln 6. （3）f（x）=x2； 解：f'（x）=（x2）'=（）'==. （4）f（x）=sin. 解：f'（x）=0. 2.已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1）在x=2处的导数为，求底数a的值. 解：f'（x）=（logax）'=，由题得f'（2）==， 所以ln a=ln 2，得a=2. 题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程 [例2]　已知曲线y=ln x，点P（e，1）是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'=，所以当x=e时，y'=， 即切线斜率为，所以切线方程为y-1=（x-e）， 即x-ey=0. 　　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值. 解：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'==k， 又解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：因为点O（0，0）不在曲线上，所以设切点为Q（a，b），则切线斜率k=，又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1，所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围. 解：问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件. 因为y=mx的图象过（0，0），设切点为Q（a，b）， 则切线斜率m=，又因为m=，且b=ln a，所以a=e，b=1，m=，即m的取值范围为（-∞，0]∪. 　　|思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 针对训练 3.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 （　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. √ 解析：y'=ex，在点（2，e2）处的切线为y-e2=e2（x-2），截距分别为-e2，1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 4.在曲线y=f（x）=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P（x0，y0），f'（x0）=-2=tan 135°=-1， 即-2=-1，∴x0= .代入曲线方程得y0=， ∴点P的坐标为. 题型(三)　导数公式的实际应用 [例3]　质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为_________，质点运动的加速度为_________.  　 - 解析：v（t）=s'（t）=cos t，∴v=cos =， 即质点在t=时的速度为.∵v（t）=cos t， ∴加速度a（t）=v'（t）=（cos t）'=-sin t.a=-sin=-. 　　|思|维|建|模| 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 针对训练 5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为________mm/min.  解析：因为y=f（t）==，所以f'（t）='=，所以f'（4）=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 mm/min. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]下列运算错误的是 （　　） A.（2x）'=2xlog2e B.（）'= C.（sin 1）'=cos 1 D.（log3x）'= √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：对于A，（2x）'=2xln 2，A错误； 对于B，（）'=（）'==，B正确； 对于C，（sin 1）'=0，C错误； 对于D，（log3x）'=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数f（x）=，则f' （-2） =（　　） A.4 B. C.-4 D.- √ 解析：∵f'（x）=-，∴f'（-2）=-=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f'（x） （　　） A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 √ 解析：因为M=m且M，m分别是函数f（x）的最大值和最小值， 所以f（x）为常函数，故f'（x）=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知=1，x0∈，则sin x0=（　　） A. B. C.1 D.0 √ 解析：由=1，可得（sin x0）'=1，即cos x0=1， 又x0∈，则x0=0，所以sin x0=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数f（x）=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m= （　　） A. B.1 C.2 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：函数f（x）=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于==2.由f（x）=x2，得f'（x）=2x， 所以f'（m）=2m. 因为函数f（x）=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，所以2=2m，解得m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.函数f（x）=x3的斜率等于1的切线有 （　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 √ 解析：∵f'（x）=3x2，设切点为（x0，），∴3=1，解得x0=±，∴在点和点处有斜率等于1的切线，∴满足题意的切线有2条.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.曲线y=在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题设，可得y'=，即y'|x=1=，切线方程为2x-3y+1=0， 与x轴的交点坐标为，与x=2的交点坐标为， 所以围成的三角形的面积为××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是 （　　） A.f（x）=x2 B.f（x）=ln x C.f（x）=sin x D.f（x）=2x √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，f'（x）=2x，由x2=2x解得x=0 或x=2，所以f（x）存在“巧值点”；对于B， f'（x）=（x>0），作函数f（x）与f'（x）的 图象，由图可知f（x）存在“巧值点”；对于C，f'（x）=cos x，由sin x=cos x得tan x=1，解得x=+kπ，k∈Z，所以f（x）存在“巧值点”；对于D，f'（x）=2xln 2，因为2x>0，所以2x=2xln 2无实数解，所以f（x）不存在“巧值点”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距离|AB|的最小值为 （　　） A.1 B. C. D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：点A（a，a）在直线y=x上，点B（b，eb）在y=ex上.由y=ex，得y'=ex.设y=ex的切线的切点为（x0，y0），令y'=1⇒=1⇒x0=0，所以y=ex在点（0，1）处的切线为y=x+1，此时切线y=x+1与直线y=x平行，直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为，则切点坐标为___________.  解析：设切点为（x0，），由y=x2，求导得y'=2x，可得切线的斜率为k=f'（x0）=2x0，由切线倾斜角为，则斜率是1，即2x0=1，解得x0=，故切点的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c=________.  解析：设切点为（x0，ln x0），由y=ln x得y'=. 因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0，其斜率为1. 所以y'==1，即x0=1， 所以切点为（1，0）. 所以1-0+c=0，解得c=-1. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f'（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得 f（b）-f（a）= f'（c）（b-a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f（x）=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”为___________.  e-1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由f（x）=ln x可得f'（x）=， 令x0为函数f（x）=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”， 则==，解得x0=e-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）若质点P的运动方程是s（t）=（s的单位为m，t的单位为s），求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解：s（t）=，故s'（t）=，s'（8）=×=， 故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是，请求出b的值；如果不是，请说明理由. （1）y=ln x；（4分） 解：函数y=ln x的定义域为（0，+∞）， 则对任意的x>0，y'=>0， 所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）y=.（6分） 解：函数y=的定义域为{x|x≠0}，令y'=-=-1，解得x=±1，将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为（1，1），则-1+b=1，解得b=2. 将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为（-1，-1），则1+b=-1，解得b=-2.综上所述，y=-x+b是函数y=的切线方程，且b=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）设l是曲线y=的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明：由题意，设点P（x0，y0）为y=图象 上的任意一点，且点P处的切线即为l， 很明显y0=，y'=-，则y'=-. 故曲线在点P（x0，y0）处的切线斜率为-， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以切线l方程为y-y0=-（x-x0），即y-=-（x-x0）. 当x=0时，y=；当y=0时，x=2x0， 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2. 很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关.所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $