第2章 7 培优课 利用导数研究恒（能）成立问题 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦利用导数研究恒（能）成立问题，涵盖分离参数、分类讨论、双变量问题等题型，通过典例研析构建从基础到综合的知识脉络，通性通法总结为后续跟踪训练与作业提供学习支架。 其亮点在于以具体函数实例引导学生用数学眼光观察导数与极值关系，通性通法培养逻辑推理的数学思维，结合实际问题（如燃脂单车速度）用数学语言建模，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源提高效率。

培优课　利用导数研究恒（能）成立问题 能力提升 1 典例研析 01 课时作业 02 目录 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜分离参数解决恒（能）成立问题 【例1】　已知函数f（x）＝ . （1）若函数f（x）在区间（ a，a＋ ）上存在极值，求正实数a的取值 范围； 解： 函数的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ ＝－ ， 令f'（x）＝0，得x＝1. 当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 所以x＝1为函数f（x）的极大值点，且是唯一极值点， 所以0＜a＜1＜a＋ ， 解得 ＜a＜1，即实数a的取值范围为（ ，1）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）如果当x≥1时，不等式f（x）－ ≥0恒成立，求实数k的取值 范围； 解： 原不等式可化为当x≥1时， k≤ 恒成立. 令g（x）＝ （x≥1）， 则g'（x）＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 再令h（x）＝x－ln x（x≥1），则h'（x）＝1－ ≥0， 所以h（x）≥h（1）＝1，所以g'（x）＞0， 所以g（x）为增函数，所以g（x）≥g（1）＝2， 故k≤2，即实数k的取值范围是（－∞，2]. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）若∃x∈[1，e]，使不等式f（x）－ ≥0成立，求实数k的取值 范围. 解： 原不等式可化为当x∈[1，e]时，k≤ 有解. 令g（x）＝ （x∈[1，e]）， 由（2）知，g（x）在[1，e]上为增函数， 所以g（x）max＝g（e）＝2＋ ，所以k≤2＋ ，即实数k的取值范围是 （－∞，2＋ ］. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 含参数的能成立（存在型）问题的解题方法 a≥f（x）在x∈D上能成立，则a≥f（x）min； a≤f（x）在x∈D上能成立，则a≤f（x）max. 2. 利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化 为形如a≥f（x）（或a≤f（x））的形式，通过求函数y＝f（x）的最 值求得参数范围.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f （x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知f（x）＝ex－ax2，若f（x）≥x＋（1－x）ex在[0，＋∞）恒成 立，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：f（x）≥x＋（1－x）ex， 即ex－ax2≥x＋ex－xex， 即ex－ax－1≥0，x≥0. 令h（x）＝ex－ax－1（x≥0）， 则h'（x）＝ex－a（x≥0）， 当a≤1时，由x≥0知h'（x）≥0， ∴在[0，＋∞）上h（x）≥h（0）＝0，原不等式恒成立. （－∞，1]　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 当a＞1时，令h'（x）＞0，得x＞ln a； 令h'（x）＜0，得0≤x＜ln a. ∴h（x）在[0，ln a）上单调递减， 又∵h（0）＝0，∴h（x）≥0不恒成立， ∴a＞1不合题意. 综上，实数a的取值范围为（－∞，1]. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜分类讨论解决恒（能）成立问题 【例2】　（2025·唐山模拟）已知函数f（x）＝e2x＋（2－a）ex－ax＋ （a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性； 解： 由f（x）＝e2x＋（2－a）ex－ax＋ （a∈R）， 得f'（x）＝2e2x＋（2－a）ex－a＝（ex＋1）（2ex－a）. ①当a≤0时，f'（x）＝（ex＋1）（2ex－a）＞0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln ， 当x∈（ －∞，ln ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（ ln ，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 综上所述，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在（ －∞，ln ）上单调递减，在（ ln ，＋∞）上单 调递增. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解： 由（1）知，①当a＜0时，f（x）在（－∞，＋∞）上单调 递增， f（ ）＝ ＋（2－a） －a× ＋ ＜1＋（2－a）－3＋ ＝（ － 1）a＜0，不符合题意. ②当a＝0时，f（x）＝e2x＋2ex＞0，符合题意. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ③当a＞0时，f（x）min＝f（ ln ）＝a－ －aln ＋ ， 要使f（x）≥0恒成立，则只需f（x）min≥0恒成立， 即a－ －aln ＋ ≥0，亦即1－ －ln ＋ ≥0. 记g（a）＝1－ －ln ＋ （a＞0），则g'（a）＝－ － ＜0， 于是g（a）在（0，＋∞）上单调递减， 又因为g（2e）＝1－ －ln ＋ ＝0， 所以当0＜a≤2e时，g（a）≥0，即f（x）min≥0，符合题意；当a＞2e 时，g（a）＜0，不符合题意. 综上可知，a的取值范围为[0，2e]. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取 值范围. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x－aln x，g（x）＝－ （a∈R）. （1）设函数h（x）＝f（x）－g（x），讨论函数h（x）的单调性； 解： h（x）＝x＋ －aln x（x＞0）， h'（x）＝1－ － ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ①当1＋a＞0，即a＞－1时， 在（0，1＋a）上h'（x）＜0， 在（1＋a，＋∞）上h'（x）＞0， 所以h（x）在（0，1＋a）上单调递减， 在（1＋a，＋∞）上单调递增； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ②当1＋a≤0，即a≤－1时， 在（0，＋∞）上h'（x）＞0， 所以函数h（x）在（0，＋∞）上是增函数， 综上所述，当a＞－1时，h（x）在（0，1＋a）上单调递减，在（1＋ a，＋∞）上单调递增； 当a≤－1时，函数h（x）在（0，＋∞）上是增函数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的 取值范围. 解： 在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立， 即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0， 即函数h（x）＝x＋ －aln x在[1，e]上的最小值小于零. 由（1）可知： ①当1＋a≥e，即a≥e－1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x） 的最小值为h（e）， 由h（e）＝e＋ －a＜0可得a＞ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ③当1＜1＋a＜e，即0＜a＜e－1时， 可得h（x）的最小值为h（1＋a）. 因为0＜ln（1＋a）＜1， 所以0＜aln（1＋a）＜a. 故h（1＋a）＝2＋a－aln（1＋a）＞2， 此时，h（1＋a）＜0不成立. 综上所述，所求a的取值范围是（－∞，－2）∪（ ，＋∞）. ②当1＋a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增， 所以h（x）的最小值为h（1）， 由h（1）＝1＋1＋a＜0可得a＜－2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜双变量恒（能）成立求参数范围问题 【例3】　已知函数f（x）＝ x3＋x2＋ax，函数g（x）＝ ，若对∀x1∈ ［ ，2］，∃x2∈［ ，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值 范围. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：“对∀x1∈［ ，2］，∃x2∈［ ，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立” 等价于“当x∈［ ，2］时，f'（x）max≤g（x）max”. 因为f'（x）＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在［ ，2］上单调递增，所 以f'（x）max＝f'（2）＝8＋a. 而g'（x）＝ ，由g'（x）＞0，得x＜1， 由g'（x）＜0，得x＞1， 所以g（x）在（－∞，1）上单调递增， 在（1，＋∞）上单调递减. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 所以当x∈［ ，2］时，g（x）max＝g（1）＝ . 由8＋a≤ ，得a≤ －8， 所以实数a的取值范围为（ －∞， －8］. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 常见的双变量不等式恒（能）成立问题的类型 （1）对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g （x2）⇔f（x）max≤g（x）max； （2）对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g （x2）⇔f（x）min≥g（x）min； （3）若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2） ⇔f（x）min≤g（x）min； （4）若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2） ⇔f（x）max≥g（x）max； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （5）对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f （x）max≤g（x）min； （6）对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2）⇔f （x）min≥g（x）max； （7）若存在x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f （x）min≤g（x）max； （8）若存在x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2）⇔f （x）max≥g（x）min. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝xex－ex，函数g（x）＝mx－m（m＞0），若对任意 的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]使得f（x1）＝g（x2），求实数m 的取值范围. 解：∵函数f（x）＝xex－ex＝ex（x－1）的导函数f'（x）＝ex（x－1） ＋ex＝xex， ∴当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递增， 当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0， 故f（x）在（－∞，0）上单调递减， ∴f（x）min＝f（0）＝－1， 又f（－2）＝－3e－2，f（2）＝e2， ∴f（x）在[－2，2]上的值域为[－1，e2]， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 又函数g（x）＝mx－m（m＞0）在[－2，2]上单调递增，∴g（x）在 [－2，2]上的值域为[－3m，m]. 若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]，使得f（x1）＝g （x2）， 则[－1，e2]⊆[－3m，m]，∴－3m≤－1＜e2≤m， 解得m≥e2，即实数m的取值范围是[e2，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x无极值，则a的取值范围为 （　　） A. [－3，6] B. （－3，6） C. （－∞，－3]∪[6，＋∞） D. （－∞，－3）∪（6，＋∞） 解析： 　因为f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x，所以f'（x）＝3x2＋2ax ＋a＋6，因为f（x）无极值，所以（2a）2－4×3×（a＋6）≤0，解得 －3≤a≤6，所以a的取值范围为[－3，6].故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ln x－ ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值 范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞） C. [－1，＋∞） D. （1，＋∞） 解析： 　f（x）＝ln x－ ax2－2x的定义域为（0，＋∞），由题意得f' （x）＝ －ax－2＜0在（0，＋∞）上有解，即 － ＜a在（0，＋∞） 上有解，又y＝ － ＝（ －1）2－1≥－1，故a＞－1，故实数a的取值 范围是（－1，＋∞）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若函数f（x）＝－x2＋4x＋bln x在（0，＋∞）上是减函数，则b的取 值范围是（　　） A. （－∞，－2] B. （－∞，－2） C. （－2，＋∞） D. [－2，＋∞） 解析： 　∵f（x）＝－x2＋4x＋bln x在（0，＋∞）上是减函数，∴f' （x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，即f'（x）＝－2x＋4＋ ≤0，即 b≤2x2－4x.∵2x2－4x＝2（x－1）2－2≥－2，∴b≤－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知函数f（x）＝ex－x＋a，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值 范围是（　　） A. （－1，＋∞） B. （－∞，－1） C. [－1，＋∞） D. （－∞，－1] 解析： 　f'（x）＝ex－1，令f'（x）＞0，解得x＞0，令f'（x）＜0，解 得x＜0，故f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递 增，故f（x）min＝f（0）＝1＋a.若f（x）＞0恒成立，则1＋a＞0，解 得a＞－1，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知函数f（x）＝ ＋x2－2x－a（x＞0），若恒有f（x）≥0，则a 的取值范围是（　　） A. （3，＋∞） B. （e－1，＋∞） C. （－∞，e－1] D. （－∞，0] 解析： 　由题可得f'（x）＝ ＋2x－2＝（x－1）（ ＋2），由f' （x）＜0，可得0＜x＜1，此时f（x）单调递减，由f'（x）＞0，可得x ＞1，此时f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝e－1－a≥0， ∴a≤e－1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. “燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有 节奏地踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性 强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单 位：km/h）随时间t（单位：h）变化的函数关系为v（t）＝ ＋15，t∈ ［ ，2］，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（　　） A. ＋15 B. ＋15 C. ＋15 D. ＋15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为v（t）＝ ＋15，t∈［ ，2］，所以v'（t）＝ ，当 t∈［ ，1）时，v'（t）＞0，当t∈（1，2]时，v'（t）＜0，所以v（t） 在［ ，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，所以v（t）max＝v（1） ＝ ＋15.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ －1＋ln x，若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解， 则实数a的取值范围是（　　） A. （2，＋∞） B. （－∞，－3） C. （－∞，1] D. [3，＋∞） 解析： 　存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，即a≤x－xln x有解，即 a≤[x－xln x]max，令g（x）＝x－xln x，x＞0，则g'（x）＝1－（ln x＋ 1）＝－ln x，当x∈（0，1）时，g'（x）＝－ln x＞0，g（x）单调递 增，当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝－ln x＜0，g（x）单调递减，∴g （x）max＝g（1）＝1，∴a≤1，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知函数f（x）＝ sin （ 2x＋ ）－ －mx在［0， ］上单调递减， 则实数m的最小值是（　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由f（x）＝ sin （ 2x＋ ）－ －mx在［0， ］上单调递 减，得f'（x）＝2 cos （ 2x＋ ）－x－m≤0（ x∈［0， ］），即2 cos （ 2x＋ ）－x≤m（ x∈［0， ］），令g（x）＝2 cos （ 2x＋ ）－ x（ x∈［0， ］），则g'（x）＝－4 sin （ 2x＋ ）－1（ x∈［0， ］），当x∈［0， ］时， ≤2x＋ ≤ ，则2≤4 sin （ 2x＋ ） ≤4，所以－5≤－4 sin （ 2x＋ ）－1≤－3，即g'（x）＜0，所以g （x）在x∈［0， ］上单调递减，g（x）max＝g（0）＝ ，所以 m≥ ，m的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 〔多选〕已知命题p：“∀x∈（0，＋∞），x＋1≥ex”.下列说法正 确的是（　　） A. p为真命题 B. p为假命题 C. p的否定：∃x∈（0，＋∞），x＋1≥ex D. p的否定：∃x∈（0，＋∞），x＋1＜ex √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　命题p：“∀x∈（0，＋∞），x＋1≥ex”，设f（x）＝ex －x－1，x＞0，则f'（x）＝ex－1，所以x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞ 0，f（x）单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即ex＞x＋1在（0，＋ ∞）恒成立，故命题p为假命题，则B正确；p的否定：∃x∈（0，＋ ∞），x＋1＜ex，则D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 〔多选〕已知函数f（x）＝x2ex，x∈R. 下列结论正确的是（　　） A. 函数f（x）不存在最大值，也不存在最小值 B. 函数f（x）存在极大值和极小值 C. 函数f（x）有且只有1个零点 D. 函数f（x）的极小值就是f（x）的最小值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　f（x）＝x2ex，x∈R，则f'（x）＝x （x＋2）·ex，令f'（x）＜0⇒－2＜x＜0，令f'（x）＞ 0⇒x＜－2或x＞0，所以函数f（x）在（－2，0）上 单调递减，在（－∞，－2）和（0，＋∞）上单调递 增，且f（0）＝0，f（x）＝x2ex≥0，如图，所以f（x）min＝f（0）＝0，函数在x＝－2处取得极大值，在x＝0处取得极小值，极小值f（0）即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）＝（x2－2x）ex，关于f（x）的性质，以下 四个结论中正确的是（　　） A. 函数f（x）在x＝ 处取得最小值 B. 函数f（x）在区间（0，2）上单调递增 C. f（x）有两个零点 D. f（x）是奇函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　函数f（x）＝（x2－2x）ex的定义域为R，f'（x）＝（2x－ 2）ex＋（x2－2x）ex＝（x2－2）ex，当－ ＜x＜ 时，f'（x）＜0， 即函数f（x）在（－ ， ）上单调递减，当x＜－ 或x＞ 时，f' （x）＞0，即函数f（x）在（－∞，－ ），（ ，＋∞）上单调递 增，B错误；函数f（x）的极大值f（－ ）＝（2＋2 ） ＞0，极 小值f（ ）＝（2－2 ） ＜0，而当x＜0或x＞2时恒有f（x）＞ 0，因此函数f（x）在x＝ 处取得最小值，A正确；由（x2－2x）ex＝0 解得x＝0或x＝2，因此函数f（x）有两个零点，C正确；因为f（－x） ＝（x2＋2x）e－x≠－f（x），f（－x）≠f（x），即f（x）是非奇非 偶函数，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. f（x）＝x＋ （x∈R）的最小值为1 B. f（x）＝ （x＞0）的最小值为1 C. f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值为1 D. f（x）＝x （x＞0）的最小值1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　f（x）＝x＋ （x∈R），f'（x）＝1－ ＝ ，函数f （x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故函数f （x）的最小值为f（0）＝1，A正确；f（x）＝ （x＞0），f'（x）＝ ，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递 增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝e，B错误；f（x）＝x－ln x（x ＞0），f'（x）＝1－ ＝ ，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在 （1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝1，C正确； f（x）＝x （x＞0），f'（x）＝ ＋x ·（－ ）＝ ，函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x） 的最小值为f（1）＝e，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ln x－ax－1，若f（x）≤0恒成立，则实数a的取 值范围为 ⁠. 解析：由题知f（x）≤0恒成立，即ln x－ax－1≤0在（0，＋∞）上恒成 立，即a≥ 在（0，＋∞）上恒成立，即a≥（ ）max，记g（x） ＝ ，所以g'（x）＝ ＝ ，当x∈（0，e2）时，g'（x） ＞0，g（x）单调递增，当x∈（e2，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单 调递减，所以g（x）max＝g（e2）＝ ，所以a∈［ ，＋∞）. ［ ，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 若存在x∈[0，1]，使得3x＋ ≥7m＋1成立，则实数m的取值范围 是 ⁠. 解析：设t＝3x，因为0≤x≤1，所以1≤t≤3.设g（t）＝t＋ （1≤t≤3），则g'（t）＝1－ ＝ ≥0，则g（t）在[1，3] 上单调递增，故g（t）max＝g（3）＝3＋ ＝ .由题可知7m＋1≤ ， 解得m≤ ，所以m的取值范围是（ －∞， ］. （ －∞， ］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 设函数f（x）＝ax3－3x＋1（a＞1），若对于任意的x∈[－1，1]， 都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 ⁠. 解析：由题意得，f'（x）＝3ax2－3，当a＞1时，令f'（x）＝3ax2－3＝ 0，解得x＝± ，± ∈（－1，1）.①当－1≤x＜－ 时，f'（x）＞ 0，f（x）单调递增；②当－ ＜x＜ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递 减；③当 ＜x≤1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.所以只需f（ ） ≥0，且f（－1）≥0即可，由f（ ）≥0，得a·（ ）3－3· ＋1≥0， 解得a≥4，由f（－1）≥0，可得a≤4.综上可得a＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝a（x＋ln x），g（x）＝x2.当a＞0时，若对于区 间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有｜f（x1）－f（x2）｜ ＜｜g（x1）－g（x2）｜成立，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：不妨设1≤x1＜x2≤2.因为a＞0，所以f'（x）＝a（ 1＋ ）＞0， 所以f（x）在[1，2]上单调递增，即f（x1）＜f（x2）.又因为g（x）＝ x2在[1，2]上也单调递增，所以g（x1）＜g（x2）.所以不等式｜f（x1） －f（x2）｜＜｜g（x1）－g（x2）｜即为f（x2）－f（x1）＜g（x2） －g（x1），即f（x2）－g（x2）＜f（x1）－g（x1），设F（x）＝f （x）－g（x），即F（x）＝ax＋aln x－x2，则F（x2）＜F（x1）， （0，1]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 因此F（x）在[1，2]上单调递减.于是F'（x）＝a＋ －2x≤0在[1，2] 上恒成立，即a≤ 在[1，2]上恒成立.令u（x）＝ ，则u'（x）＝ ＞0，即u（x）在[1，2]上单调递增，因此u（x）在[1，2]上 的最小值为u（1）＝1，所以a≤1，故实数a的取值范围是0＜a≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 17. 已知函数f（x）＝x＋ ，其中a∈R，e是自然对数的底数. （1）当a＝－1时，求函数f（x）在区间[0，＋∞）上的零点个数； 解： 当a＝－1时，f（x）＝x－ ， 则f'（x）＝1＋ ＞0， ∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增， 又f（0）＝－1＜0，f（1）＝1－ ＞0， 故∃x0∈（0，1），使得f（x0）＝0， ∴函数f（x）在区间[0，＋∞）上有1个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若f（x）＞2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围. 解： 若f（x）＞2对任意的实数x恒成立， 即a＞ex（2－x）恒成立， 令g（x）＝ex（2－x），则g'（x）＝ex（1－x）， 令g'（x）＞0，得x＜1；令g'（x）＜0，得x＞1， ∴g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝e， ∴a的取值范围为（e，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 18. 已知函数f（x）＝aln x＋ x＋ （a≠0）. （1）讨论函数f（x）的单调性； 解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ ＋ － ＝ ＝ ， ①当a＞0时，由f'（x）＞0得x＞2a，即f（x）的单调递增区间是 （2a，＋∞）； 由f'（x）＜0得0＜x＜2a，即f（x）的单调递减区间是（0，2a）. ②当a＜0时，由f'（x）＞0得x＞－6a，即f（x）的单调递增区间是（－ 6a，＋∞）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 由f'（x）＜0得0＜x＜－6a，即f（x）的单调递减区间是（0，－6a）. 综上所述，当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，＋ ∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，－6a）上单调递减，在（－ 6a，＋∞）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）设g（x）＝2x2－mex＋ ＋ （e＝2.718…为自然对数的底数）， 当a＝－ e时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g（x1）≤f （x2），求实数m的取值范围. 解： 当a＝－ e时， 由（1）知，函数f（x）在[1，e]上单调递减， 所以f（e）≤f（x）≤f（1）， 所以f（x）∈［ ， ＋ ］， 对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g（x1）≤f（x2）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 等价于g（x）≤ ＋ ，x∈[1，4]恒成立， 即2x2－mex≤0， 所以m≥ ， 设h（x）＝ ，x∈[1，4]，则h'（x）＝ ，所以h（x）在 [1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减， 所以h（x）max＝h（2）＝ ， 所以m≥ ，即实数m的取值范围为［ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $