章末检测（一） 数列-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

章末检测（一）　数列 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列1， ， ， ，3， ，…， ，…，则 是 这个数列的（　　） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第21项 解析： 　观察可知该数列的通项公式为an＝ ，令21＝2n－1，解 得n＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 2. 各项均为正数的等比数列{an}中，每一项都等于它后面的相邻两项之 和，则公比q＝（　　） A. B. C. D. 解析： 由题意知an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，即q2＋q－1＝0，解得 q＝ （负值已舍去）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 3. 在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10＝（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析： 　设等差数列{an}的公差为d，则有（a4＋a5）－（a2＋a3）＝ 4d＝2，所以d＝ .又（a9＋a10）－（a4＋a5）＝10d＝5，所以a9＋a10 ＝（a4＋a5）＋5＝11. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a4＝ ，S6＝9S3.若bn＝ log2an，则数列{bn}的前10项和是（　　） A. －35 B. －25 C. 25 D. 35 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1，则 解得 所以an＝ ×2n－1＝2n－ 3，所以bn＝n－3，所以数列{bn}的前10项和T10＝ ＝5× （－2＋7）＝25.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 5. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝ （　　） A. 3∶4 B. 2∶3 C. 1∶2 D. 1∶3 解析： 　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列， 因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝ S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 6. 已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝ ，a1＝ ，则a2 025＝（　　） A. B. C. D. 解析： 由an＋1＝ 得 ＝ ＋1，所以数列 是等差数列，首 项 ＝2，公差为1，所以 ＝2＋（2 025－1）×1＝2 026，则a2 025＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 7. 设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝ ，且S1，S2， S4成等比数列，则a10＝（　　） A. 15 B. 19 C. 21 D. 30 解析： 　由S3＝ 得3a2＝ ，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数 列可得 ＝S1·S4，又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故（2a2 －d）2＝（a2－d）（4a2＋2d），化简得3d2＝2a2d，又d≠0，∴a2＝ 3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴a10＝19. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 8. 已知数列{an}满足a1＝2，4a3＝a6， 是等差数列，则数列{（－1） nan}的前10项的和S10＝（　　） A. 220 B. 110 C. 99 D. 55 解析： 　因为 是等差数列，所以可设 ＝an＋b.所以an＝an2＋ bn.因为a1＝2，4a3＝a6，所以a＋b＝2，且4（9a＋3b）＝36a＋6b， 解得a＝2，b＝0，所以an＝2n2.所以S10＝2[（－12＋22）＋（－32＋42） ＋…＋（－92＋102）]＝2×（1＋2＋3＋…＋10）＝110. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但 不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式可能 是（　　） A. an＝3n，n∈N＋ B. an＝3n－1，n∈N＋ C. an＝（－1）n－13n，n∈N＋ D. an＝2n－1，n∈N＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝ 3n或an＝a1qn－1＝3×（－3）n－1＝（－1）n－13n.故数列的通项公式是an ＝3n（n∈N＋）或an＝（－1）n－13n，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 10. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正 确的是（　　） A. a4＝0 B. Sn的最大值为S3 C. S1＝S6 D. ｜a3｜＜｜a5｜ 解析： 　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋ 21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－4）d，所以a4＝ 0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正 负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝ 0，所以a3＝－a5，即｜a3｜＝｜a5｜，故D不正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列 的前n项和为Tn，n∈N＋，则下列说法正确的是（　　） A. 数列{an＋1}是等差数列 B. 数列{an＋1}是等比数列 C. 数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D. Tn＜1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，即an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为 an＋1＋1＝2（an＋1）.由a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的 等比数列，则an＋1＝2n，即an＝2n－1，又 ＝ ＝ － ，可得Tn＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＜1，故A错误，B、C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为 ⁠ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得 8× ＝7× .整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 13. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1， 2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝ F（n－1）＋F（n－2）（n≥3，n∈N＋）.此数列在现代物理、化学等 方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则 数列{an}的前2 023项的和为 ⁠. 解析：由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以 2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周 期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2 023＝ 674×3＋1，所以数列{an}的前2 023项的和为674×2＋1＝1 349. 1 349　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 14. 已知数列{an}，若一个新数列的前n项和为nan，则称该数列为数列 {an}的“1阶衍生数列”，记作数列{（an）1}；同样的，若再有一个新数 列的前n项和为n（an）1，则称该数列为数列{an}的“2阶衍生数列”， 记作数列{（an）2}；…；以此类推，记（am）k为数列{an}的“k阶衍生 数列”中的第m项.已知an＝2n－1，则（a3）2＝ ；设数列{（a3） n}的前n项和为Sn，则Sn＝ ⁠. 17　 2n＋3＋n－8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析：因为a1＝1，a2＝3，a3＝5，所以（a2）1＝2a2－a1＝5，（a3）1＝ 3a3－2a2＝9，所以（a3）2＝3（a3）1－2（a2）1＝17.由题意可知（a1）n ＝a1＝1，且（a2）n＋1＝2（a2）n－（a1）n，所以（a2）n＋1＝2（a2）n －1，所以[（a2）n＋1－1]＝2[（a2）n－1]，又（a2）1＝5，所以（a2）1 －1＝4，所以（a2）n－1＝2n＋1，即（a2）n＝2n＋1＋1.因为（a3）n＋1＝3 （a3）n－2（a2）n，所以（a3）n＋1＝3（a3）n－2n＋2－2，所以（a3）n ＋1－4·2n＋1－1＝3[（a3）n－4·2n－1]，又（a3）1－4×2－1＝0，所以 （a3）n－4·2n－1＝0，即（a3）n＝4·2n＋1，所以Sn＝ ＋n＝ 2n＋3＋n－8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知数列{an}满足a1＝ ，且an＋1＝ an＋ ， n∈N＋. （1）求证： 是等比数列； 解： 证明：由已知得an＋1－ ＝ an－ ＝ . 因为a1＝ ，所以a1－ ＝ ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由（1）知 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以an－ ＝ × ， 所以an＝ × ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且 满足Sn＝2n＋m（m∈R）. （1）求m的值及数列{an}的通项公式； 解： 因为Sn＝2n＋m，所以当n≥2时，Sn－1＝2n－1＋m，所以an＝ Sn－Sn－1＝2n－1（n≥2）. 又数列{an}为等比数列，所以an＝2n－1. 又a1＝S1＝21＋m＝21－1＝1，所以m＝－1. 综上，m＝－1，an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）设bn＝｜log2an－5｜，求数列{bn}的前n项和Tn. 解： 由（1）知bn＝｜n－6｜. 当1≤n≤6时，n－6≤0，此时Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（6－1）＋（6－ 2）＋…＋（6－n）＝ ×n＝ ， 当n＞6时，Tn＝T6＋ ×（n－6）＝15＋ ＝ . 所以Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且 a2，a7，a22成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 设等差数列{an}的公差为d（d≠0）. 由题意得 则 化简得 解得 所以an＝3＋2（n－1）＝2n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若bn＝ ，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜ . 解： 证明：bn＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以Tn＝ （ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＋ － ）＝ （1＋ － － ）＝ － ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）某公司一下属企业负责某种高科技产品的生产， 该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长 了50％.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第 一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； 解： 由题意得a1＝2 000×（1＋50％）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋ 50％）－d＝ a1－d＝4 500－ d，an＋1＝an（1＋50％）－d＝ an－d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确 定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 解： 由（1）得an＝ an－1－d＝ （ an－2－d）－d＝（ ）2·an－2 － d－d＝…＝（ ）n－1a1－d［1＋ ＋（ ）2＋…＋（ ）n－2］， 整理得an＝（ ）n－1（3 000－d）－2d［（ ）n－1－1］＝（ ）n－1·（3 000－3d）＋2d. 由题意知am＝4 000，所以（ ）m－1（3 000－3d）＋2d＝4 000，解得d ＝ . 故该企业每年上缴资金d的值为 万元时，经过m（m≥3） 年企业的剩余资金为4 000万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55， S20＝210. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋ d. 由已知，得 即 解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝n（n∈N＋）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）设bn＝ ，是否存在m，k（k＞m≥2，m，k∈N＋）使得b1， bm，bk成等比数列？若存在，求出符合条件的m，k的值；若不存在，请 说明理由. 解： 假设存在m，k（k＞m≥2，m，k∈N＋）使得b1，bm，bk成 等比数列，则 ＝b1bk. 因为bn＝ ＝ ， 所以b1＝ ，bm＝ ，bk＝ ， 所以 ＝ × . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 整理，得k＝ . 因为k＞0， 所以－m2＋2m＋1＞0， 解得1－ ＜m＜1＋ . 因为m≥2，m∈N＋， 所以m＝2，此时k＝8. 故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） $