第2章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学导数单元复习课件系统梳理了导数的概念、计算及应用，通过体系构建将变化率、导数几何意义、运算法则与单调性、极值等应用串联，形成从基础到综合的知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于结合高考真题设计“概念理解-例题解析-素养提升”的分层复习活动，如通过2023年全国甲卷切线方程题培养数学思维，利用函数单调性比较大小题发展逻辑推理能力，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·选择性必修第二册（BSD） 素养培优 素养培优 培优一｜导数的几何意义 【例1】　（1）（2023·全国甲卷8题）曲线y＝ 在点（1， ）处的切线 方程为（　C　） A. y＝ x B. y＝ x C. y＝ x＋ D. y＝ x＋ C 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 由题意可知y'＝ ＝ ，则曲线y＝ 在点 （1， ）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝ ，所以曲线y＝ 在点（1， ）处 的切线方程为y－ ＝ （x－1），即y＝ x＋ ，故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， ⁠ ⁠. 解析： 先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为 （x0，y0），则由y'＝ ，得切线斜率为 ，又切线的斜率为 ，所以 ＝ ，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为 ，切线方程 为y＝ x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－ x.综上可知，两条切 线方程为y＝ x，y＝－ x. y＝ x　 y ＝－ x　 数学·选择性必修第二册（BSD） 培优二｜利用导数研究函数的单调性 【例2】　（1）设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝ －1，则 （　B　） A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. c＜a＜b B 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： b－c＝ln 1.02－ ＋1，设f（x）＝ln（x＋1）－ ＋1，则b－c＝f（0.02），f'（x）＝ － ＝ ，当x≥0时，x＋1＝ ≥ ，故当x≥0 时，f'（x）＝ ≤0，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递减， 所以f（0.02）＜f（0）＝0，即b＜c. 数学·选择性必修第二册（BSD） a－c＝2ln 1.01－ ＋1，设g（x）＝2ln（x＋1）－ ＋1， 则a－c＝g（0.01），g'（x）＝ － ＝ ，当0≤x ＜2时， ≥ ＝x＋1，故当0≤x＜2时，g'（x）≥0， 所以g（x）在[0，2）上单调递增，所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜ a，从而有b＜c＜a，故选B. 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2） 上单调递增，则实数a的最小值为（　C　） A. e2 B. e C. e－1 D. e－2 C 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 法一　由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－ ≥0 在区间（1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设函数g （x）＝ ，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g（x）在区 间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝ ＝e－ 1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝ aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即 aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒成 立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g' （x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e， ∴ ≤e，即a≥ ＝e－1，故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） （3）（2023·全国乙卷16题）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax＋（1 ＋a）x在（0，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是 ⁠. ［ ，1）　 解析： 法一　由题意，得f'（x）＝axln a＋（a＋1）xln（a＋1）. 令h（x）＝axln a＋（a＋1）xln（a＋1），则h'（x）＝ax（ln a）2＋ （a＋1）x[ln（a＋1）]2.当x＞0时，h'（x）＞0，所以函数y＝f'（x） 在（0，＋∞）上单调递增.因为f'（0）＝ln a＋ln（a＋1），当x→＋∞ 时，f'（x）→＋∞，所以若f'（0）＜0，则在（0，＋∞）上存在x0使得 数学·选择性必修第二册（BSD） f'（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f（x）单调递减，与题意不符；若f' （0）≥0，则f'（x）＞0，此时f（x）在（0，＋∞）上单调递增.所以ln a＋ln（a＋1）≥0，即a2＋a－1≥0，解得a≥ 或a≤ .因为 a∈（0，1），所以a∈［ ，1）. 法二　令g（x）＝ax，r（x）＝（a＋1）x，a∈（0，1），则g'（x） ＝axln a，r'（x）＝（a＋1）xln（a＋1），g'（0）≥－r'（0），即ln a≥－ln（a＋1），解得a∈［ ，1）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 培优三｜利用导数研究函数的极值和最值 【例3】　（1）函数f（x）＝ cos x＋（x＋1） sin x＋1在区间[0，2π]的 最小值、最大值分别为（　D　） A. － ， B. － ， C. － ， ＋2 D. － ， ＋2 D 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： f（x）＝ cos x＋（x＋1） sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x） ＝－ sin x＋ sin x＋（x＋1） cos x＝（x＋1） cos x.令f'（x）＝0，解得x ＝－1（舍去），x＝ 或x＝ .因为f ＝ cos ＋ sin ＋1＝2＋ ，f ＝ cos ＋ sin ＋1＝－ ，又f（0）＝ cos 0＋（0＋ 1） sin 0＋1＝2，f（2π）＝ cos 2π＋（2π＋1） sin 2π＋1＝2，所以f （x）max＝f ＝2＋ ，f（x）min＝f ＝－ .故选D. 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）〔多选〕已知函数f（x）＝x3－x＋1，则（　AC　） A. f（x）有两个极值点 B. f（x）有三个零点 C. 点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D. 直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 AC 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 因为f（x）＝x3－x＋1，所以f'（x）＝3x2－1，令f'（x）＝ 3x2－1＝0，得x＝± .由f'（x）＝3x2－1＞0得x＞ 或x＜－ ；由f' （x）＝3x2－1＜0得－ ＜x＜ .所以f（x）＝x3－x＋1在 ， 上单调递增，在 上单调递减，所以f （x）有两个极值点，故A正确. 数学·选择性必修第二册（BSD） 因为f（x）的极小值f ＝ － ＋1＝1－ ＞0，f（－2）＝ （－2）3－（－2）＋1＝－5＜0，所以函数f（x）在R上有且只有一个零 点，故B错误.因为函数g（x）＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函 数f（x）＝x3－x＋1的图象，函数g（x）＝x3－x的图象关于原点（0， 0）中心对称且g（0）＝0，所以点（0，1）是曲线f（x）＝x3－x＋1的 对称中心，故C正确.假设直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，切点为 （x0，y0），则f'（x0）＝3 －1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标 为（1，1），但点（1，1）不在直线y＝2x上，若x0＝－1，则切点坐标为 （－1，1），但点（－1，1）不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D 错误.故选A、C. 数学·选择性必修第二册（BSD） （3）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax－ex2（a＞0且a≠1）的 极小值点和极大值点.若x1＜x2，则a的取值范围是 ⁠. 解析： 法一　由f（x）＝2ax－ex2，得f'（x）＝2axln a－2ex.令f' （x）＝0，得axln a＝ex，因为a＞0且a≠1，所以显然x≠0，所以e＝ .令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＝ .令g'（x）＝0，得x＝ .故当x＞ 时，g'（x）＞0，g （x）单调递增；当x＜ 时，g'（x）＜0，g（x）单调递减. 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 所以g（x）极小值＝g ＝ ＝ （ln a）2，也是最小值.因为f （x）有极小值点x＝x1和极大值点x＝x2，故f'（x）＝0有两个不同的根x ＝x1，x＝x2，故g（x）的图象与直线y＝e有两个交点，所以g ＜e， 即 （ln a）2＜e，又 ＝ ＝ ＝e，所以（ln a）2＜1，又x1 ＜x2，所以易知当x∈（－∞，x1），（x2，＋∞）时，f'（x）＜0；当 x∈（x1，x2）时，f'（x）＞0.若a＞1，则当x→＋∞时，f'（x）→＋∞， 不符合题意，所以0＜a＜1，则－1＜ln a＜0，所以a∈ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 法二　由题意，f'（x）＝2axln a－2ex，根据f（x） 有极小值点x＝x1和极大值点x＝x2可知，x＝x1，x ＝x2为f'（x）＝0的两个不同的根，又x1＜x2，所以易 知当x∈（－∞，x1），（x2，＋∞）时，f'（x）＜ 0；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＞0.由f'（x）＝0可 得ax·ln a＝ex.①若a＞1，则当x→＋∞时，f'（x） →＋∞，不符合题意，舍去.②若0＜a＜1，令g （x）＝axln a，h（x）＝ex，在同一平面直角坐标系中作出函数g（x）和h（x）的图象，如图所示.因为f'（x）＝0有两个不同的根，所以g（x）与h（x）的图象需要有两个交点，则过原点且与g（x）的图象相切的直线l的斜率k＜e. 数学·选择性必修第二册（BSD） 不妨设直线l与g（x）的图象的切点坐标为（x0， ln a），因为g'（x）＝ax（ln a）2，所以k＝ （ln a）2＝ ，可得x0＝ ，从而k＝ （ln a） 2＜e，即e·（ln a）2＜e，则（ln a）2＜1，又0＜a＜1， 所以－1＜ln a＜0，所以a∈ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 培优四｜利用导数证明不等式 【例4】　（2023·新高考Ⅰ卷19题）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln . 当x∈（－∞，ln ）时，f'（x）＜0；当x∈（ln ，＋∞）时，f'（x） ＞0. 所以f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0 时，f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递增. 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋ . 解： 证明：法一　由（1）知，当a＞0时，f（x）在（－∞，ln ） 上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（ln ）＝a（ ＋a）－ln ＝1＋a2＋ln a. 令g（x）＝1＋x2＋ln x－（2ln x＋ ），x＞0， 即g（x）＝x2－ln x－ ，x＞0， 则g'（x）＝2x－ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 令g'（x）＝0，得x＝ . 当x∈（0， ）时，g'（x）＜0；当x∈（ ，＋∞）时，g'（x）＞0. 所以g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（ ）＝（ ）2－ln － ＝－ln ＞0， 所以1＋x2＋ln x＞2ln x＋ 对∀x＞0恒成立， 所以当a＞0时，1＋a2＋ln a＞2ln a＋ 恒成立. 即当a＞0时，f（x）＞2ln a＋ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 法二　当a＞0时，由（1）得，f（x）min＝f（－ln a）＝1＋a2＋ln a， 故欲证f（x）＞2ln a＋ 成立， 只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋ ， 即证a2－ ＞ln a. 构造函数u（a）＝ln a－（a－1）（a＞0）， 则u'（a）＝ －1＝ ，所以当a＞1时，u'（a）＜0；当0＜a＜1时，u' （a）＞0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 故只需证a2－ ＞a－1，即证a2－a＋ ＞0， 因为a2－a＋ ＝（a－ ）2＋ ＞0恒成立， 所以当a＞0时，f（x）＞2ln a＋ . 所以函数u（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 所以u（a）≤u（1）＝0，即ln a≤a－1， 数学·选择性必修第二册（BSD） 培优五｜利用导数解决恒成立问题 【例5】　已知a＞0，函数f（x）＝ax－xex. （1）求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； 解： 因为f（0）＝0，f'（x）＝a－（x＋1）ex，所以f'（0）＝a－ 1，所以函数在（0，f（0））处的切线方程为（a－1）x－y＝0. 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）证明f（x）存在唯一极值点； 解： 证明：若证明f（x）仅有一个极 值点，即证f'（x）＝a－（x＋1）ex＝0， 只有一个解， 即证a＝（x＋1）ex只有一个解， 令g（x）＝（x＋1）ex，只需证g（x） ＝（x＋1）ex的图象与直线y＝a（a＞0）仅有一个交点，g'（x）＝（x＋2）ex， 当x＝－2时，g'（x）＝0， 当x＜－2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， 当x＞－2时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 数学·选择性必修第二册（BSD） 当x＝－2时，g（－2）＝－e－2＜0. 当x→＋∞时，g（x）→＋∞， 当x→－∞时，g（x）→0－， 画出函数g（x）＝（x＋1）ex的图象大致 如下， 因为a＞0，所以g（x）＝（x＋1）ex的 图象与直线y＝a（a＞0）仅有一个交点. 数学·选择性必修第二册（BSD） （3）若存在a，使得f（x）≤a＋b对于任意的x∈R成立，求实数b的取 值范围. 解： 由题意可得，存在a∈（0，＋∞），使得ax－xex≤a＋b对于 任意的x∈R恒成立， 即存在a∈（0，＋∞），使得－b≤xex＋a（1－x）对于任意的x∈R恒 成立， 令h（x）＝xex＋a（1－x），即存在a∈（0，＋∞），－b≤h（x） min， h'（x）＝（x＋1）ex－a，h″（x）＝（x＋2）ex. 数学·选择性必修第二册（BSD） 由（2）得x＜－2时，h″（x）＜0，h'（x）在（－∞，－2）上单调递 减，x＞－2时，h″（x）＞0，h'（x）在（－2，＋∞）上单调递增， 当x→＋∞时，h'（x）→＋∞， 当x→－∞时，h'（x）＜0， 所以存在x＝x0（x0＞－2），使得函数h'（x0）＝（x0＋1） －a＝0， 即（x0＋1） ＝a， 当x＜x0时h（x）单调递减，当x＞x0时h（x）单调递增， 当x＝x0时，h（x）min＝h（x0）＝x0 ＋a（1－x0）＝（1－ ＋x0） ，h'（x0）＝（－ －x0＋2） ＝－（x0＋2）（x0－1） ， 数学·选择性必修第二册（BSD） 当－2＜x0＜1时，h'（x0）＞0，则h（x0）单调递增，当x0＞1时，h' （x0）＜0，则h（x0）单调递减. 当x0＝1时，h（x0）max＝h（1）＝e， 因为存在a∈（0，＋∞），－b≤h（x0），即－b≤h（x0）max，即－ b≤e， 所以b的取值范围为[－e，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 培优六｜利用导数研究方程的根或函数的零点 【例6】　已知函数f（x）＝ln（1＋x）＋axe－x. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； 解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1＋x）＋x·e－x， ∴f'（x）＝ ＋e－x＋x·e－x·（－1）， ∴f'（0）＝1＋1＝2， ∵f（0）＝0， ∴所求切线方程为y－0＝2·（x－0），即y＝2x. 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若f（x）在区间（－1，0），（0，＋∞）各恰有一个零点，求a的 取值范围. 解： ∵f（x）＝ln（1＋x）＋ax·e－x＝ln（x＋1）＋ ， ∴①当a≥0时，若x＞0，则ln（x＋1）＞0， ≥0，∴f（x）＞0，∴f （x）在（0，＋∞）上无零点，不符合题意. 数学·选择性必修第二册（BSD） ②当a＜0时，f'（x）＝ . 令g（x）＝ex＋a（1－x2），则g'（x）＝ex－2ax，g'（x）在（－1， ＋∞）上单调递增， g'（－1）＝e－1＋2a， g'（0）＝1， （a）若g'（－1）≥0，则－ ≤a＜0，∴－ ≤a＜0时，g'（x）＞0在 （－1，＋∞）上恒成立， ∴g（x）在（－1，＋∞）上单调递增， ∵g（－1）＝e－1＞0，∴g（x）＞0在（－1，＋∞）上恒成立， 数学·选择性必修第二册（BSD） ∴f'（x）＞0在（－1，＋∞）上恒成立， ∴f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，∵f（0）＝0， ∴f（x）在（－1，0），（0，＋∞）上均无零点，不符合题意. （b）若g'（－1）＜0，则a＜－ ，∴a＜－ 时，存在x0∈（－1， 0），使得g'（x0）＝0. ∴g（x）在（－1，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增. g（－1）＝e－1＞0，g（0）＝1＋a，g（1）＝e＞0. （ⅰ）当g（0）≥0，即－1≤a＜－ 时，g（x）＞0在（0，＋∞）上恒 成立，∴f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立， 数学·选择性必修第二册（BSD） ∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增. ∵f（0）＝0，∴当x∈（0，＋∞）时，f（x）＞0， ∴f（x）在（0，＋∞）上无零点，不符合题意. （ⅱ）当g（0）＜0，即a＜－1时， 存在x1∈（－1，x0），x2∈（0，1），使得g（x1）＝g（x2）＝0， ∴f（x）在（－1，x1），（x2，＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调 递减. ∵f（0）＝0，∴f（x1）＞f（0）＝0，当x→－1时，f（x）＜0， ∴f（x）在（－1，x1）上存在一个零点， 即f（x）在（－1，0）上存在一个零点， 数学·选择性必修第二册（BSD） ∵f（0）＝0，当x→＋∞时，f（x）＞0， ∴f（x）在（x2，＋∞）上存在一个零点，即f（x）在（0，＋∞）上存 在一个零点. 综上，a的取值范围是（－∞，－1）. 数学·选择性必修第二册（BSD） $