第1章 1.1 数列的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

1.1　数列的概念 1 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研 究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的 几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目 是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①，他把这些数 叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成 正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，等等.一系列有形状的数按 顺序排列出来就称为数列. 【问题】　（1）数列的有关概念 是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　数列的概念及分类 1. 数列的概念 （1）数列：按一定 排列的一列数叫作数列； （2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的 ⁠； （3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或 简记为数列 ，其中a1是数列的第1项，也叫数列的 ；an 是数列的第n项，也叫数列的 ⁠. 次序　 项　 {an}　 首项　 通项　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 数列的分类 项数有限的数列称为 ，项数无限的数列称为 ⁠. 　　提醒：（1）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an 表示数列中的第n项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须 不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 有穷数列　 无穷数列　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 　a，b，c，d和b，c，a，d是相同的数列吗？ 提示：不是. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ⁠ ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式 就是相应函数的解析式. 　　提醒：（1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同 近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它 没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝ （－1）n可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成an＝ k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列. an ＝f（n）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}. （　×　） （2）数列1，3，5，7，…的第10项是21. （　×　） （3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列. （　√　） （4）每一个数列都有通项公式. （　×　） × × √ × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 〔多选〕数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（　　） A. an＝1＋（－1）n＋1 B. an＝1－（－1）n C. an＝1＋（－1）n D. an＝1－ cos nπ 解析： 　经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不 符合. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝ ⁠， 224是该数列的第 项. 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列 的第15项. 99　 15　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜数列概念的辨析 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　AD　） A. 数列4，7，3，4的首项是4 B. 数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C. 数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D. 数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 AD 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：　根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项， 即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.数列和数 的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷数列的概念知，D 正确，故选A、D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 数列概念理解的易错点 （1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集的 区别； （2）注意数列中的项与项的序号的区别； （3）注意有穷数列a1，a2，…，an与无穷数列a1，a2，…，an，…表示 方法的区别. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 下列说法正确的是（　　） A. 数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B. 数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C. 数列 的第k项为1＋ D. 数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} 解析： 　数列1，3，5，7，…，2n－1为有穷数列，而数列1，3，5， 7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列， 故B中说法错误；在C中，ak＝ ＝1＋ ，故C中说法正确；在D中，an ＝2n－2，故D中说法错误. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜用观察法求数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　写出下列各数列的一个通项公式： （1） ， ， ， ， ，…； 解： 这个数列前5项中，每一项的分子比分母小1，且分母依次为21， 22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）－1， ，－ ， ，－ ， ，…； 解： 这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分 母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一 个通项公式为an＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3） ，1， ， ，…. 解： 将数列变形为 ， ， ， ，…，对于分子3，5，7，9，…， 可得分子的一个通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联 想到数列1，4，9，16，…，可得分母的一个通项公式为cn＝n2＋1，所以 原数列的一个通项公式为an＝ （n∈N＋）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归 纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法求解. 具体注意以下几方面：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项 的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特 征；（5）化异为同；（6）对于符号交替出现的情况，可用（－1）k 或（－1）k＋1处理. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式是an＝（　　） A. － B. C. D. 解析： 　－ ＝（－1）× ， ＝（－1）2× ，－ ＝（－1） 3× ， ＝（－1）4× ，所以其通项公式是an＝ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 数列 ， ， ， ，…的通项公式an＝ 　 　. 解析：已知的前四项的变化规律是分子与其序号一一对应，分母是2的整 数次幂，指数与其序号一一对应，则其通项公式为an＝ . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　由图形信息，探究归纳数列的通项公式 【例3】　观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个 图中有 小圆圈. 解析：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4 ＋1，4×5＋1，…，故第n个图中小圆圈的个数为（n－1）·n＋1＝n2－n ＋1. n2－n＋1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这些变 化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出通项公式 得解. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第 n个图案中有白色地砖 块. 解析：第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，第3个 图案中有白色地砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地 砖，由累加法可得第n个图案中有4n＋2块白色地砖. 4n＋2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜求解或判断数列中的项 【例4】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 解： 根据an＝3n2－28n， 得a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得n＝7或n＝ （舍）， ∴－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝ ，均不是正整数， ∴68不是该数列的项. （2）－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 解： 令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序 号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. 2. 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整 数，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知数列{an}的通项公式为an＝ . （1）写出数列的前3项； 解： 数列的前3项：a1＝ ＝1， a2＝ ＝ ＝ ，a3＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋，故n＝－8舍去. 所以 是数列的第5项. 令 ＝ ，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝ 或n＝－ ， 注意到n∈N＋，所以 不是此数列中的项. （2） 和 是不是它的项？如果是，是第几项？ 解： 令 ＝ ，则n2＋3n－40＝0， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知数列{an}的通项公式为an＝ （n∈N＋），则该数列的前 4项依次为（　　） A. 1，0，1，0 B. 0，1，0，1 C. ，0， ，0 D. 2，0，2，0 解析： 　把n＝1，2，3，4分别代入an＝ 中，依次得到0，1， 0，1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 数列1，3，5，7，9，11，…的一个通项公式an＝（　　） A. 2n－1 B. n（n－1） C. n（n＋1） D. n2－n＋1 解析： 　数列1，3，5，7，9，11，…是由正奇数按从小到大排列构成 的，其一个通项公式为an＝2n－1，故选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，那么 是它的（　　） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 解析： 　设 是数列中的第n项，则 ＝ ，解得n＝4或n＝－5， ∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据 沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6， 10，…；正方形数1，4，9，16，….如图所示为五边形数，将五边形数按 从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为 ⁠. 解析：第一个五边形数为1，第二个五边形数为1＋4＝5，第三个五边形数 为1＋4＋7＝12，故第四个五边形数为1＋4＋7＋10＝22. 22　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知数列 ， ， ， ，…，则该数列的一个通项公式是 ⁠ ＝ （n∈N＋）　，5 是该数列的第 项. 解析：由给出的前几项可归纳出an＝ （n∈N＋）.故由 ＝ 5 ＝ ，得4n－1＝75，所以n＝19，即5 是该数列的第19项. an ＝ （n∈N＋）　 19　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知数列an＝2n2＋1，则a2＝（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 解析： 　由题意，可知a2＝2×22＋1＝9，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 数列2， ， ， ， ，…的一个通项公式an＝（　　） A. B. C. D. 解析： 数列2， ， ， ， ，…可写成 ， ， ， ， ，…，所以通项公式an＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知数列1，3，7，15，…，2n－1，…，则255是这个数列的（　　） A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 解析： 　数列1，3，7，15，…，2n－1，…，即21－1，22－1，23－1， 24－1，…，2n－1，…，故该数列的通项公式为an＝2n－1.由an＝2n－1 ＝255，解得n＝8，即255是这个数列的第8项.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组 成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去， 那么在第51个图中的火柴棒有（　　） A. 151根 B. 154根 C. 157根 D. 160根 解析： 　第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组 成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，……，第51个图中的火柴棒 有4＋50×3＝154根.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列关于数列的说法正确的是（　　） A. 按一定次序排列的一列数叫作数列 B. 若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f（n）表示数列的通 项公式 C. 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D. 同一个数列的任意两项均不可能相同 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　根据数列的定义，我们把按一定次序排列的一列数叫作数 列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f（n） 表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定 唯一，例如an＝｜2－n｜，也可写成an＝ 可得C正确； 因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如数列1，1，1，1，…，可 得D错误，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕数列{an}的通项公式为an＝ 则（　　） A. a3＝7 B. a3＝10 C. a2a3＝20 D. a2a3＝70 解析： 　由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3 ＝20.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，因意大利数学家斐波那契以兔子繁 殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的第10项为 ⁠. 解析：观察斐波那契数列，发现从第3项起，每一项均为其前2项之和，则 第9项为13＋21＝34，第10项为21＋34＝55. 55　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 数列{an}的通项公式是an＝ （n∈N＋），则a3＝ 　 　. 解析：∵an＝ （n∈N＋），∴a3＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. （2025·滨州期末）将大于2的整数中能被3除余2且被5除余2的数按由小 到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a4＝ ⁠. 解析：根据题意可知an－2既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数， 可得an－2＝15n，n∈N＋，即an＝15n＋2，所以a4＝15×4＋2＝62. 62　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. （1）20是不是{an}中的一项？ 解： 令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0， ∴（n＋9）（n－10）＝0， ∴n＝10或n＝－9（舍）. ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）当n取何值时，an＝0？ 解： 令an＝－n2＋n＋110＝0， 即n2－n－110＝0， ∴（n－11）（n＋10）＝0， ∴n＝11或n＝－10（舍）， ∴当n＝11时，an＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 观察数列 ，－ ，（　　），－ ， ，（　　），…的特点，则括 号中应填入的适当的数为（　　） A. ，－ B. － ， C. ，－ D. ，－ 解析： 由已知条件可得数列的通项公式为an＝（－1）n＋1· ， ∴a3＝ ，a6＝－ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式 为（　　） A. an＝1＋（－1）n B. an＝2 cos C. an＝2｜ sin ｜ D. an＝1－ cos （n－1）π＋（n－1）（n－2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　对于选项A，由an＝1＋（－1）n得前六项为0，2，0，2，0， 2，满足条件；对于选项B，由an＝2 cos 得前六项为0，－2，0，2，0， －2，不满足条件；对于选项C，由an＝2｜ sin ｜得前六项为0， 2，0，2，0，2，满足条件；对于选项D，由an＝1－ cos （n－1）π＋（n －1）（n－2）得前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图①是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽 的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2 ＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续做下去，记 OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式 为 ⁠. an＝ 　 解析：∵OA1＝1，OA2＝ ， OA3＝ ，…，OAn＝ ，…， ∴a1＝1，a2＝ ，a3＝ ，…， an＝ ，….∴此数列的通项公式为an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $