第1章 1.2 数列的函数特性-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

1.2　数列的函数特性 1 了解数列的函数特性及表示方法（数学抽象、数学建模、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　数列的递推公式 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍 学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.”如果对“春起之 苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度按日期排在一 起，可组成一个数列.同样，对“磨刀之石”用精密仪器 度量，则每日的质量按日期排在一起，也可组成一个数列. 【问题】　（1）你能定义这两个数列吗？ （2）“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之石”的质量组成的数列 有何特征呢？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种： 、 、 ⁠. 　　提醒：对用列表法和图象法表示数列的两点说明：①列表法可以清楚 地反映出数列的许多具体的项，也能发现项的变化规律，但由于受函数定 义域的影响，有时不能完整地反映一个数列；②图象法可以形象直观地反 映数列的项及项的变化规律，但要注意数列的图象与一般函数图象的区别 在于数列的图象是一系列孤立的点. 列表法　 图象法　 解析法　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 用图象法表示数列时，其图象有什么特点？ 提示：其图象是一些离散的点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　数列的函数特性 分类 定义 表达式 递增数列 从第2项起，每一项都 ⁠它的前一项 an＋1＞an 递减数列 从第2项起，每一项都 ⁠它的前一项 an＋1＜an 常数列 各项 ⁠ an＋1＝an 大于　 小于　 都相等　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数 列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法； （2）要注意数列的特殊性（离散性）.由于数列的定义域是N＋（或它的有 限子集{1，2，…，n}），所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集 合；（3）有的数列不是常数列也不具有单调性，即存在某一项比它的前 一项大，也存在某一项比它的前一项小，这样的数列称为摆动数列，因此 数列按其单调性可分为“递增数列、递减数列、常数列和摆动数列”. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列的图象可以分布在坐标系内的任意象限. （　×　） （2）递增数列没有最大项. （　×　） （3）递减数列的最大项一定是当n＝1时取得. （　√　） （4）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列. （　×　） × × √ × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 数列{an}满足an＋1＝an＋1，则数列{an}是（　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 解析： 　因为an＋1－an＝1＞0，所以{an}为递增数列. √ 3. 数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是 ⁠. 解析：∵an＝n2－6n＝（n－3）2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9. －9　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜数列的表示方法 【例1】　（1）根据数列的通项公式填表： n 1 2 … 5 … … n an … … 153 … 3（3＋4n） 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： 由第n项可知此数列的通项公式为：an＝3（4n＋3）， 所以a1＝3×（4×1＋3）＝21，a2＝3×（4×2＋3）＝33，a5＝3×（4×5 ＋3）＝69. 令3（4n＋3）＝153， 解得n＝12. 故填充完整的表格为： n 1 2 … 5 … 12 … n an 21 33 … 69 … 153 … 3（3＋4n） 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）画出数列{an}的图象，其中an＝3n－1. 解： an＝3n－1，列表： n 1 2 3 4 … an 1 3 9 27 … 在直角坐标系中图象如图： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它 只能表示有限个元素之间的对应关系. 2. 数列an＝3n－1的图象是函数y＝3x－1（x＞0）图象上的无穷多个孤立 的点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N＋，n≤5）该练习本，记an为 买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}. 解：通项公式法：an＝5n（n∈N＋，n≤5）. 列表法： n 1 2 3 4 5 an 5 10 15 20 25 图象法： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜数列单调性的判断 角度1　图象法 【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝ ，画出它的图象，并判断 增减性. 解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递 减的，在{5，6，…}上也是递减的.但它在N＋上不 具有增减性. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用数列的图象判断数列的增减性 　　数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增 减性. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　作差（商）法 【例3】　（1）已知数列{an}的通项公式为an＝ （n∈N＋），则数列 {an}为（　B　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定数列的增减性 B 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意，数列{an}的通项公式为an＝ （n∈N＋），可得an －an－1＝2＋ －2－ ＝ － ＜0（n∈N＋且n≥2），所以an＜an－ 1，即数列{an}为递减数列.故选B. （2）已知数列{an}满足an＝ ，证明：数列{an}是递减数列. 证明：因为 ＝ · ＝ ＝ ＜1恒成立，且an＞0，所 以数列{an}是递减数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用数列单调性的定义判断数列的增减性 （1）作差法：将 －an与0进行比较； （2）作商法：将 与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是 an＞ 0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 作出下列数列的图象，并根据图象判断数列的增减性： （1）数列{an}的通项公式是an＝2n＋3； 解： 作图如下：　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）数列{bn}的通项公式是bn＝ ； 解： 作图如下： 由图知数列{an}是递增数列.　由图知数列{bn}是递减数列. （3）数列{cn}的通项公式是cn＝（n－1.2）2＋1； 解： 作图如下： 由图知数列{an}是递增数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （4）数列{dn}的通项公式是dn＝（n－1.8）2＋1. 解： 作图如下： 由图可知a2＜a1＜a3，数列{an}不具有增减性，是摆动数 列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知数列{an}的通项公式an＝ （n∈N＋），试判断该数列的增 减性. 解：对任意n∈N＋，由通项公式an＝ 得an＋1－an＝ － ＝［1－ ］－（ 1－ ）＝ － ＝ ＞0， 即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜数列单调性的应用 角度1　求变量的取值范围 【例4】　已知函数f（x）＝ 若数列{an}满足 an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围可以是 （　　） A. （1，3） B. （1，2] C. （2，3） D. ［ ，3） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 由题意知an＝ 因为数列{an}是递增 数列，所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；当n＞10时，a＞1.又a10＜ a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9，即a2＋10a－24＞0，即（a＋12） （a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2.综上可得，a的取值范围为（2， 3）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　利用数列{an}的增减性解决问题时，既要结合函数单调性的知识，又 要注意数列本身的特性，如本例中函数f（x）递增只要满足（3－a） ×10－6≤a10－9即可，而数列{an}递增要满足（3－a）×10－6＜a11－9. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求最值 【例5】　已知数列{an}的通项公式是an＝（n＋2）×（ ）n（n∈N ＋），试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明 理由. 解：法一（作差法）　an＋1－an＝（n＋3）×（ ）n＋1－（n＋2）× （ ）n＝（ ）n× . 当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…， 所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二（作商法）　 ＝ ＝ . 易知an＞0， 令 ＞1，解得n＜5；令 ＝1，解得n＝5； 令 ＜1，解得n＞5. 故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…， 所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法三　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得 即5≤n≤6. 故数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求数列{an}的最大（小）项的方法 （1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项.当数列不单调时，还需 解不等式an＋1－an＞0（ 或 ＞1，此时要关注an的符号）来确定数列的 单调“区间”，进而求其最大（小）项； （2）通过解不等式组来确定，即设第k（k∈N＋，k＞1）项是数列的最 大（小）项，则 （ ），求出k的正整数值后代 入通项公式即得最大（小）项. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知数列{an}满足an＝n＋ ，则数列{an}的最小值为（　　） A. B. C. 8 D. 12 解析： 　∵f（x）＝x＋ 在（0，4 ）上单调递减，在（4 ，＋ ∞）上单调递增，∴当x＝n（n∈N＋）时，f（n）min＝min{f（5），f （6）}，又f（5）＝5＋ ＝ ，f（6）＝6＋ ＝ ，∴f（n）min＝ ，即an＝n＋ 的最小值为 .故选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn（λ∈R），且为严格单调递增 数列，则实数λ的取值范围是 ⁠. 解析：由数列{an}是严格单调递增数列，所以an＋1－an＞0，即（n＋1）2 －λ（n＋1）－n2＋λn＝2n＋1－λ＞0，即λ＜2n＋1（n∈N＋）恒成立， 又数列{2n＋1}是单调递增数列，所以当n＝1时，2n＋1取得最小值3，所 以λ＜3. （－∞，3）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 数列{an}中，an＝－2n，则{an}是（　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是 解析： 　an＋1－an＝－2（n＋1）－（－2n）＝－2＜0，则{an}是递减 数列. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是（　　） A. B. 30 C. 31 D. 32 解析： 　an＝－n2＋11n＝－ ＋ ，∵n∈N＋，∴当n＝5或6 时，an取最大值30，故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕下面四个结论中正确的是（　　） A. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2， 3，…，n}）上的函数 B. 数列若用图象表示，从图象上看都是一系列孤立的点 C. 数列的项数是无限的 D. 数列通项的表达式是唯一的 解析： 　A、B正确.数列的项数可以是有限的，也可以是无限的.数列 通项的表达式可以不唯一.例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，… 的通项可以是an＝ sin ，也可以是an＝ cos .C、D不正确. √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列，则a的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：∵数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列， ∴ 解得－2＜a＜1. （－ 2，1）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 写出下列数列的前5项，并作出它们的图象： （1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； 解： 前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图①所示. （2）an＝－n＋1. 解： 前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图②所示. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 拓视野　数列的递推公式 目 录 　　如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫作数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种重要方 法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式. 类型一｜由递推公式求数列的某指定项 【例1】　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，n∈N＋，求a2 025. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：由题意得，a2＝ ＝ ＝－3， a3＝ ＝ ＝－ ，a4＝ ＝ ＝ ， a5＝ ＝ ＝2＝a1，∴{an}是周期为4的数列， ∴a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 　　递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.对于通项公式，已 知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前几项），才 可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律（如本例 的周期性）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－ ，能使an＝3的n可以 为（　　） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 解析： 　由a1＝3，an＋1＝－ ，得a2＝－ ，a3＝－ ，a4＝3.所以 数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3. √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 类型二｜由数列的递推公式求通项公式 【例2】　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（ 1＋ ），则数列{an}的 通项公式为an＝（　　） A. 2＋ln n B. 2＋（n－1）ln n C. 2＋nln n D. 1＋n＋ln n √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　法一（归纳法）　数列的前5项分别为a1＝2，a2＝2＋ln（ 1＋ ）＝2＋ln 2，a3＝2＋ln 2＋ln（ 1＋ ）＝2＋ln 3，a4＝2＋ln 3＋ln（ 1 ＋ ）＝2＋ln 4，a5＝2＋ln 4＋ln（ 1＋ ）＝2＋ln 5，由此可得数列的一 个通项公式为an＝2＋ln n. 法二（迭代法）　a2＝a1＋ln（ 1＋ ），a3＝a2＋ln（ 1＋ ），…，an ＝an－1＋ln（ 1＋ ）（n≥2），则an＝a1＋ln（ × × ×…× ） ＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法三（累加法）　an＋1－an＝ln（ 1＋ ）＝ln ＝ln（1＋n）－ln n，a1 ＝2，a2－a1＝ln 2，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－an －1＝ln n－ln（n－1）（n≥2），以上各式相加得an＝2＋ln 2＋（ln 3－ln 2）＋…＋[ln n－ln（n－1）]，所以an＝2＋ln n（n≥2）.因为a1＝2也适 合上式，所以an＝2＋ln n. 法四（排除法）　由题意知，a2＝a1＋ln 2＝2＋ln 2，将n＝2代入各选 项，可排除C、D，又a3＝2＋ln 3，所以排除B，选A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 由递推关系求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通 项公式，在解答题中还需给出严格的证明； （2）迭代法、累加法或累乘法： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使 用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积 的），使用累乘法或迭代法. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知数列{an}中，a1＝1，an＝n（an＋1－an）（n∈N＋）.求数列{an}的 通项公式. 解：法一（累乘法）　∵an＝n（an＋1－an），an≠0，即 ＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，…， ＝ （n≥2）. 以上各式两边分别相乘，得 ＝ × × ×…× ＝n. 又a1＝1，∴an＝n（n≥2）. ∵a1＝1也适合上式， ∴an＝n. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二（迭代法）　由题意易得an＋1＝an· ， 则a2＝a1× ，a3＝a2× ，a4＝a3× ，…，an＝an－1× （n≥2）， ∴an＝a1× × × ×…× × ＝n（n≥2）. 又a1＝1也适合上式， ∴an＝n. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 类型三｜斐波那契数列 【例3】　〔多选〕已知斐波那契数列{Fn}满足F1＝1，F2＝1，Fn＋2＝Fn ＋1＋Fn，则以下选项正确的有（　　） A. F2＋F4＋…＋F2n＝F2n＋1 B. F1＋F3＋…＋F2n－1＝F2n C. F3n为偶数 D. F4n为3的倍数 √ √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为F2n＋1＝F2n＋F2n－1，所以F2n＝F2n＋1－F2n－1，从而F2 ＋F4＋…＋F2n＝F2n＋1－F1＝F2n＋1－1，所以选项A错误；因为F2n＝F2n －1＋F2n－2（n≥2），所以F2n－1＝F2n－F2n－2，当n≥2时，F1＋F3＋… ＋F2n－1＝F1＋（F4－F2）＋…＋（F2n－F2n－2）＝F2n成立，所以选项B 正确；因为F3n＋3＝F3n＋2＋F3n＋1＝2F3n＋1＋F3n，且F3＝2为偶数，所以 F3n均为偶数，所以选项C正确；同理可得F4n为3的倍数，所以选项D正确. 综上可知，选B、C、D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方法总结 　　斐波那契数列有着许多有趣的性质，除了本题选项中的几条性质，还 有其他一些性质，再列举部分性质如下. （1）斐波那契数列的第n＋2项同时也代表了集合{1，2，…，n}中所有 不包含相邻正整数的子集个数； （2）第3，6，9等项的数字能被2整除；第4，8，12等项的数字能被3整 除；第5，10，15等项的数字能被5整除；其余以此类推； （3）Fn－1Fn＋2－FnFn＋1＝（－1）n（n≥2）； （4）前n项和 Fk＝Fn＋2－1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，an＋ 2＝an＋1＋an（n∈N＋），则1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a101是斐波那契数 列{an}中的（　　） A. 第99项 B. 第100项 C. 第101项 D. 第102项 解析： 　因为a1＝a2＝1，所以1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a101＝a2＋a3＋ a5＋a7＋a9＋…＋a101＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a101＝a6＋a7＋a9＋…＋ a101＝…＝a100＋a101＝a102.故选D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则下列关于此数列的图象叙述 正确的是（　　） A. 此数列不能用图象表示 B. 此数列的图象仅在第一象限 C. 此数列的图象为直线y＝2x－7 D. 此数列的图象为直线y＝2x－7上满足x∈N＋的一系列孤立的点 解析： 　数列{an}的图象为直线y＝2x－7上满足x∈N＋的一系列孤立 的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 递减数列{an}中，an＝kn（k为常数），则实数k的取值范围是 （　　） A. R B. （0，＋∞） C. （－∞，0） D. （－∞，0] 解析： 　an＋1－an＝k（n＋1）－kn＝k＜0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知数列{an}的通项公式是an＝ ，则数列{an}的最小项的值为 （　　） A. 1 B. －1 C. ＋1 D. － ＋1 解析： 　因为an＝ ＝ ＋ ，显然数列{an}为递增数列， 所以当n＝1时，取得最小值 ＋1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 … 数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N＋，点（xn，xn＋1）都在函数y＝ f（x）的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 024＝（　　） A. 7 576 B. 7 575 C. 7 590 D. 7 584 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 由题意，数列{xn}满足x1＝1，且点（xn，xn＋1）都在函数y＝f （x）的图象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝ 5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，所以数列 {xn}满足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，x4k＝6，k∈N＋，则x1＋x2＋… ＋x2 024＝506×（1＋3＋5＋6）＝7 590.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 对任意的an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列满足an＋1 ＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由an＋1＝f（an）且an＋1＞an，即f（an）＞an，即函数f（x） 图象上任意一点（x，y）都满足y＞x，结合选项可知函数y＝f（x）的 图象不可能是B、C、D，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an ＝f（n）（n∈N＋），则此数列（　　） A. 图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B. 是递减数列 C. 从第3项往后各项均为负数 D. 有两项为1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　∵函数f（x）＝－x2＋2x＋1，数列{an}的通项公式为an＝f （n）（n∈N＋），∴an＝－n2＋2n＋1，对于选项A，数列{an}的图象 是当n取正整数时f（n）＝－n2＋2n＋1的图象上的对应点的坐标，∴此 数列图象不是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象，故A错误；对于选项B， an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，∴此数列是递减数列，故B正确；对 于选项C，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－ 2，此数列是递减数列，∴从第3项往后各项均为负数，故C正确；对于选 项D，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，且 此数列是递减数列，此数列只有一项为1，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an＞0成立的最大正整 数n的值为 ⁠. 解析：∵数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n， ∴由an＞0得2 024－3n＞0，解得n＜674＋ ， ∵n是正整数，∴n的最大值为674. 674　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知数列{an}的通项an＝（2－a）n＋a（n∈N＋），若数列{an}是递 增数列，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：因为数列{an}是递增数列，所以2－a＞0，解得a＜2，故实数a的 取值范围为（－∞，2）. （－∞，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知数列{an}的通项公式为an＝an2＋n（n∈N＋），若满足a1＜a2＜ a3＜a4＜a5＜a6，且an＞an＋1，对任意n≥10恒成立，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：由题意可得 解得－ ＜a＜－ ，∴实数a的 取值范围是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）－1，1，3，5，…； 解： 因为a1＝2×1－3＝－1，a2＝2×2－3＝1，a3＝2×3－3＝3，a4 ＝2×4－3＝5， 故an＝2×n－3＝2n－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）－ ， ，－ ， ，…； 解： 因为a1＝（－1）1× ＝－ ，a2＝（－1）2× ＝ ，a3＝ （－1）3× ＝－ ，a4＝（－1）4× ＝ ，故an＝（－1）n× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）0.8，0.88，0.888，0.888 8，…. 解： 所给数列可写成 ×（ 1－ ）， ×（ 1－ ）， ×（ 1－ ）， ×（ 1－ ），…， 所以原数列的一个通项公式为an＝ （ 1－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－11n＋ ，a5是数列{an}的最小 项，则实数a的取值范围是（　　） A. [－40，－25] B. [－40，0] C. [－25，25] D. [－25，0] 解析： 由条件可知，对任意的n∈N＋，都有an≥a5恒成立，即n2－ 11n＋ ≥ －30，整理得（n－5）（n－6）≥ .当n≤4时，不 等式化简为a≥5n（n－6）恒成立，当n＝1时，5n（n－6）取得最大值 －25，所以a≥－25，当n≥6时，不等式化简为a≤5n（n－6）恒成立， 所以a≤0；综上，实数a的取值范围是[－25，0].故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕数列{an}的通项公式为an＝n＋ ，则下列说法正确的是 （　　） A. 当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B. 当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C. 当0＜a＜4时，a是数列{an}中的项 D. 当a＜2时，{an}为递增数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　当a＝2时，an＝n＋ ，由f（x）＝x＋ （x＞0）的单调 性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－ ，数列{an}显 然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋ ＝a，得n2－na＋a＝0，当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，故方程无解，所 以a不是数列{an}中的项，C不正确；若{an}是递增数列，则an＋1＞an， 即n＋1＋ ＞n＋ ，得a＜n2＋n，又n∈N＋，n2＋n≥2，所以a＜ 2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ ，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其 中n∈N＋. （1）求a2的值； 解： 由题意得an＝ ＝2－ ， 所以a2＝2－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求证：1≤an＜2； 解： 证明：由题意得an＝2－ ， 因为n为正整数，所以n≥1，0＜ ≤1， 所以1≤2－ ＜2，所以1≤an＜2. （3）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 解： 由题得{an}是递增数列， 证明：an＝ ＝2－ ，an＋1－an＝ － ＝ ＞0， 所以{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $