1.1 数列的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及通项公式，通过古埃及阶梯数字、“一尺之棰”等生活实例导入，引导学生观察数列的有序性及项数、项的变化差异，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接后续函数特性的学习。 其亮点在于以生活实例和图形信息为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过归纳通项公式（如将0.9,0.99…转化为1-1/10ⁿ）发展数学思维，用符号语言精准表达数列关系。采用“实例-探究-归纳-应用”的教学方法，课堂小结明确易错点，帮助学生系统掌握知识，也为教师提供清晰的教学流程和巩固素材。

第一章　数　列　　 §1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 思考1　你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 新知学习 探究 返回导航 思考2　对于①③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 新知学习 探究 返回导航 一定次序 每一个数 新知学习 探究 返回导航 {an} 首项 通项 新知学习 探究 返回导航 有限 无限 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．数列4，7，3，4与数列4，3，7，4是同一数列 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D．数列中的各项只能是数 √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由数列的定义知，尽管组成数列4，7，3，4与数列4，3，7，4的数相同，但由于排列顺序不同，则表示不同的数列，故A说法错误； 同一个数在一个数列中可以重复出现，故B说法错误； 由无穷数列的定义可知C说法正确； 由数列的定义可知，D说法正确． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由数列的定义知，A说法错误，C说法正确； 数列{an}只给出前4项，第5项不确定，故B说法错误； 由无穷数列的定义可知，D说法错误．故选C. 新知学习 探究 返回导航 3．下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①{0，1，2，3，4}；②0，1，2，3；③0，1，2，3，4，…；④1，－1，1，－1，1，－1，…；⑤6，6，6，6，6. 解：①是集合，不是数列；②③④⑤是数列，其中③④是无穷数列，②⑤是有穷数列． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 an n 函数关系 an＝f(n) 解析式 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (3)0.9，0.99，0.999，0.999 9，0.999 99，…； 新知学习 探究 返回导航 (4)0，－1，0，1，0，－1，0，1，…. 新知学习 探究 返回导航 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负项交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　 新知学习 探究 返回导航 角度2　由图形信息归纳数列的通项公式 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n≥3)个图形中共有________个顶点． n2＋n 新知学习 探究 返回导航 【解析】　观察规律：第一个图形有32＋3＝(1＋2)2＋(1＋2)个顶点， 第二个图形有(2＋2)2＋(2＋2)＝42＋4个顶点， 第三个图形有(3＋2)2＋(3＋2)＝52＋5个顶点， ……，第n－2个图形有(n－2＋2)2＋(n－2＋2)＝n2＋n个顶点． 新知学习 探究 返回导航 根据图形探究数列通项公式的步骤 首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出通项公式得解．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)(2024·河南焦作高二期中)根据下面的图形及相应的点数，则下列点数构成数列的第5项为(　　)   A．32 B．35 C．36 D．42 √ 解析：由题意，a1＝1，a2＝5，a3＝12，a4＝22， 所以a2－a1＝4，a3－a2＝7，a4－a3＝10，根据规律，a5－a4＝13，所以a5＝13＋22＝35.故选B. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 ③7，77，777，7 777，…. 新知学习 探究 返回导航 【解】　a4＝3×42－28×4＝－64. a6＝3×62－28×6＝－60. 新知学习 探究 返回导航 (2)－49与68是否是该数列中的项？如果是，分别是哪一项；如果不是，请说明理由． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)在本例中，数列{an}中有多少个负数项？ 新知学习 探究 返回导航 通项公式应用的常见题型及其解法 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列中的项的方法 先假设它是数列{an}中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则它是该数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则它不是该数列中的项．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (3)这个数列中有多少项是整数？ 新知学习 探究 返回导航 (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)(2024·河南南阳月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下列是该数列中的项的是(　　) A．18 B．12 C．25 D．30 解析：因为an＝n2＋n，所以n越大，an越大． 当n＝3时，a3＝32＋3＝12；当n＝4时，a4＝42＋4＝20；当n＝5时，a5＝52＋5＝30；当n＝6时，a6＝62＋6＝42.故选BD. √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材P7习题1－1A组T1改编)如图所示是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则按图中结构排列的第n个图的化学键和原子的个数之和为__________．(用含n的代数式表示) 9n＋3 课堂巩固 自测 返回导航 解析：由题图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有6＋5(n－1)＝5n＋1个化学键和6＋4(n－1)＝4n＋2个原子，所以总数为9n＋3. 课堂巩固 自测 返回导航 4．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数． (1)求{an}的通项公式； 课堂巩固 自测 返回导航 (2)判断88是不是数列{an}中的项？ 解：令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N＋， 所以88不是数列{an}中的项． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：数列及其有关的概念、数列的分类、数列的通项公式及应用． 2．须贯通：由数列的前几项或图形的信息写出数列的通项公式、通项公式的应用． 3．应注意：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面； (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.利用生活中的具体实例感受数列的概念，通过比较数列与集合之间的区别，切实把握数列的概念及其表示方法．　2.掌握数列通项公式的概念及其应用． 观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个学生参加高考的时间：2 025，2 025，…，2 025； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)， －eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…. 提示：对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 对于③，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于⑤，an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n)，n∈N＋. eq \a\vs4\al(一　数列的概念及分类) 1．数列的概念及表示方式 (1)数列与数列的项 数列：按eq \o(□,\s\up1(1))______________排列的一列数叫作数列． 数列的项：数列中的eq \o(□,\s\up1(2))______________叫作这个数列的项． (2)数列的表示方式 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列eq \o(□,\s\up1(3))________，其中a1是数列的第1项，也叫数列的eq \o(□,\s\up1(4))________；an是数列的第n项，也叫数列的eq \o(□,\s\up1(5))________． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数eq \o(□,\s\up1(6))________ 无穷数列 项数eq \o(□,\s\up1(7))________ 2．下列说法正确的是(　　) A．－4，5，2，eq \f(1,2)，eq \r(3)不是数列 B．数列{an}的前4项为1，2，3，4，则第5项一定是5 C．－1，1，3，5，…是数列 D．数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别，同一个数在数列中可以重复出现，而集合中任意两个元素均不相同． (2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列． (3)无穷数列由于无法写出末项，结尾要用“…”表示．　 eq \a\vs4\al(二　数列的通项公式) 如果数列{an}的第n项eq \o(□,\s\up1(1))____________与eq \o(□,\s\up1(2))____________之间的eq \o(□,\s\up1(3))______________可以用一个式子表示成eq \o(□,\s\up1(4))________________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的eq \o(□,\s\up1(5))____________． 角度1　由数列的前几项写数列的通项公式 　(对接教材例2)写出下面各数列的一个通项公式． (1)eq \r(3)，3，eq \r(15)，eq \r(21)，3eq \r(3)，…； 【解】　数列可化为eq \r(3)，eq \r(9)，eq \r(15)，eq \r(21)，eq \r(27)，…， 即eq \r(3×1)， eq \r(3×3)， eq \r(3×5)， eq \r(3×7)， eq \r(3×9)，…. 每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq \r(3（2n－1）)＝eq \r(6n－3)，n∈N＋. (2)2，－eq \f(4,5)，eq \f(1,2)，－eq \f(4,11)，eq \f(2,7)，…； 【解】　使各项分子都为4，即eq \f(4,2)，－eq \f(4,5)，eq \f(4,8)，－eq \f(4,11)，eq \f(4,14)，…，再给分母分别加1，又变为eq \f(4,3)，－eq \f(4,6)，eq \f(4,9)，－eq \f(4,12)，eq \f(4,15)，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·eq \f(4,3n－1)，n∈N＋. 【解】　原数列可变形为1－eq \f(1,10)，1－eq \f(1,102)，1－eq \f(1,103)，1－eq \f(1,104)，1－eq \f(1,105)，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－eq \f(1,10n)，n∈N＋. 【解】　由题意知，该数列为周期数列，且周期为4，因为cos eq \f(π,2)＝0，cos eq \f(2π,2)＝－1，cos eq \f(3π,2)＝0，cos eq \f(4π,2)＝1，cos eq \f(5π,2)＝cos eq \f(π,2)＝0，…，所以数列的一个通项公式为an＝cos eq \f(nπ,2)，n∈N＋. (2)写出下面各数列的一个通项公式． ①－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…； 解：这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(（－1）n,n（n＋1）)，n∈N＋. ②eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)，…； 解：这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(（n＋1）2－1,n＋1)，n∈N＋. 解：这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999， 即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，eq \f(7,9)×(10 000－1)， 即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，eq \f(7,9)×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)(10n－1)，n∈N＋. eq \a\vs4\al(三　数列通项公式的简单应用) 　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n(n∈N＋)． (1)写出此数列的第4项和第6项； 【解】　由3n2－28n＝－49(n∈N＋)， 得n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍去)， 所以－49是该数列中的项，是第7项． 由3n2－28n＝68(n∈N＋)， 得n＝－2或n＝eq \f(34,3)，均不符合题意， 所以68不是该数列中的项． 解：an＝3n2－28n＝n(3n－28)， 令an<0，则0<n<eq \f(28,3). 又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， 即数列{an}中有9个负数项． [跟踪训练2] 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n＋6,n)，n∈N＋. (1)求a10； 解： a10＝eq \f(10＋6,10)＝eq \f(8,5). (2)eq \f(53,50)是不是这个数列中的项？ 解：令eq \f(n＋6,n)＝eq \f(53,50)，得n＝100，故eq \f(53,50)是这个数列中的项． 解：易知an＝1＋eq \f(6,n)，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中有4项是整数． 解：令eq \f(n＋6,n)＝n，得n2－n－6＝0， 解得n＝3或n＝－2(舍去)． 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 1．(教材P5T4改编)数列1，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，eq \f(1,9)，…的一个通项公式是(　　) A.eq \f(1,2n＋1) B.eq \f(1,2n－1) C.eq \f(1,n＋1) D.eq \f(1,n) 解析：数列1，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，eq \f(1,9)，…的分子都是1，分母依次为1，3，5，7，9，…，则第n项的分母为2n－1，所以数列1，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，eq \f(1,9)，…的一个通项公式是eq \f(1,2n－1).故选B. 解：设an＝kn＋b(k≠0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝k＋b＝2，,a17＝17k＋b＝66，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝－2.)) 所以an＝4n－2，n∈N＋. $