第1章 2.2 第2课时 等差数列的前n项和的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

第二课时　等差数列的前n项和的性质及应用 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　等差数列{an}的通项公式an＝dn＋（a1－d）（a1，d为常数）.当 d≠0时，an是关于n的一次函数，所以具有一次函数的特性（如单调性）. 【问题】　（1）等差数列{an}的前n项和Sn是否也具备二次函数的特性？ （2）Sn还具备哪些重要的性质？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　等差数列前n项和的函数特征 等差数列的前n项 和公式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋ d，整理得Sn＝ n2＋（ a1－ ） n，所以Sn可以看成y＝ x2＋（ a1－ ）x当x＝n （n∈N＋）时的函数值 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 等差数列的前n项 和公式与二次函 数的关系 令A＝ ，B＝a1－ ，则Sn＝An2＋Bn. ①当A＝0，B＝0（即d＝0，a1＝0）时，Sn＝0是关 于n的常函数，{an}是各项为0的常数列； ②当A＝0，B≠0（即d＝0，a1≠0）时，Sn＝Bn是 关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列； ③当A≠0（即d≠0）时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二 次函数（常数项为0） 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数），当Sn ＝An2＋Bn＋C且C≠0时，数列{an}不是等差数列，但除去第一项，从第 二项起后面的各项组成等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　等差数列前n项和的性质 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{ }也是等差数列，且公 差为 ； （2）设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm， S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d； （3）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ ； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （4）若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n（an＋an＋1），S偶－S奇＝ nd， ＝ ； （5）若等差数列{an}的项数为2n－1，则S偶＝（n－1）an，S奇＝nan，S 奇－S偶＝an， ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点三　等差数列的衍生结论 （1）等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n（m≠n，m，n∈N＋），则 Sm＋n＝－（m＋n）； （2）等差数列{an}中，若Sm＝Sn（m≠n，m，n∈N＋），则Sm＋n＝0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数. （　×　） （2）若等差数列{an}的公差d＞0，则{an}的前n项和一定有最小值. （　√　） （3）若等差数列的项数为偶数，则偶数项的和等于奇数项的和. （　×　） （4）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ . （　×　） × √ × × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项 的和为150，则n＝（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析： 　由性质知， ＝ ＝ ，解得n＝10. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ， 则实数λ的值是 ⁠. 解析：Sn＝（n＋1）2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ，∵{an}为等差数列，∴1＋λ＝ 0，即λ＝－1. 4. 在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝ ⁠. 解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴4＋（S6－9）＝2×5，解得 S6＝15. －1　 15　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜等差数列前n项和的性质及应用 【例1】　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝4，则 S12＝ ⁠； 解析： 因为S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，即8，－4，S12－4成 等差数列，所以S12－4＝－16，所以S12＝－12. －12　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数 项之和为120，则n＝ ⁠； 解析： 因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝ ，即 132－120＝ ，解得n＝10. 10　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且 ＝ ，则 ＝ 　 　. 解析：由等差数列的性质，知 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本 解法，有时运算量大些； （2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达 到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果； （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项 的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ⁠. 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－ a1＝（2m－1）d＝－28①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝ －16＝md②，由①②得d＝－4. －4　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和. 解：法一　S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差 数列. 设其公差为d，前10项和为10S10＋ d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴S110－S100＝S10＋（11－1）d＝100＋10×（－22）＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　依题意{ }是等差数列，设其公差为d， 则d＝ ＝ ＝－0.11， ∴ ＝ ＋（110－100）d＝0.1－1.1＝－1， ∴S110＝－110. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜等差数列前n项和的最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 解：法一　因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋ d＝18×25＋ d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋ ×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由 得 又因为n∈N＋，所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法三　因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0.所以a13＞0，a14＜0. 所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得 a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2， 所以S13＝13×25＋ ×（－2）＝169， 所以Sn的最大值为169. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法四　设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25，所以二次函数图象的对称轴为n＝ ＝13，且开 口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值. 由题意得 解得 所以Sn＝－n2＋26n， 所以S13＝169，即Sn的最大值为169. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 等差数列前n项和Sn最大（小）值的情形 （1）若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和； （2）若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. 2. 求等差数列前n项和Sn最值的方法 （1）寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或 来寻找； （2）运用二次函数求最值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， 所以 解得a1＝－9，d＝3， 所以an＝3n－12，n∈N＋. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 解： 因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12， 所以Sn＝ ＝ （3n2－21n）＝ － ， 所以当n＝3或4时， 前n项的和Sn取得最小值S3＝S4＝－18. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】　已知数列{an}的前n项和Sn＝－ n2＋ n，求数列{｜an｜}的 前n项和Tn. 解：a1＝S1＝－ ×12＋ ×1＝101， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104. ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104（n∈N＋）. 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34 . 即当n≤34时，an＞0；当n≥35时，an＜0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）当n≤34时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn＝－ n2＋ n. （2）当n≥35时， Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a34｜＋｜a35｜＋…＋｜an｜ ＝（a1＋a2＋…＋a34）－（a35＋a36＋…＋an） ＝2（a1＋a2＋…＋a34）－（a1＋a2＋…＋an） ＝2S34－Sn ＝2×（ － ×342＋ ×34）－（ － n2＋ n） ＝ n2－ n＋3 502. 故Tn＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件）在本例中，若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an＝3n －23”，求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：因为an＝3n－23，令3n－23≥0，得n≥ ，所以当n≤7时，an＜ 0；当n≥8时，an＞0. 因此当n≤7时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋an） ＝－［－20n＋ ］＝－ n2＋ n； 当n≥8时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋a7）＋a8＋…＋an＝－2（a1＋a2＋… ＋a7）＋（a1＋a2＋…＋a7）＋a8＋…＋an＝ n2－ n＋154. 所以Tn＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 等差数列前n项的绝对值之和的求法 （1）求出等差数列的通项公式； （2）利用通项公式判断数列的项的符号变化，找到变号的临界值； （3）根据项的符号去掉绝对值号； （4）利用等差数列的前n项和公式求解. 提醒　（1）求等差数列前n项的绝对值之和时，要特别注意对n的分类讨 论；（2）求等差数列前n项的绝对值之和时，最后结果要写成分段函数的 形式. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 由题意得 ⇒ ∴an＝3＋（n－1）×1＝n＋2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）设bn＝－2an＋25，求数列{｜bn｜}的前n项和. 解： bn＝－2（n＋2）＋25＝－2n＋21，∴数列{bn}也为等差数列. 设数列{｜bn｜}的前n项和为Sn. 当n≤10时，bn＞0，此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝－n2＋ 20n； 当n≥11时，bn＜0，此时Sn＝b1＋b2＋…＋b10－（b11＋b12＋…＋bn） ＝－（b1＋b2＋…＋bn）＋2（b1＋b2＋…＋b10） ＝－ ＋2× ＝n2－20n＋200. 综上所述，Sn＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜等差数列模型的构建与应用 【例4】　从5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，5月1日该款服 装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出 的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每天销售的 件数分别递减10件. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an； 解： 依题意，数列a1，a2，…，a13是首项为10，公差为15的等差 数列. ∴an＝15n－5（1≤n≤13）， a14，a15，a16，…，a31是首项为a14＝a13－10＝180， 公差为－10的等差数列. ∴an＝180＋（n－14）（－10）＝－10n＋320（14≤n≤31）， ∴an＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求五月份的总销售量； 解： 五月份的总销售量为 ＋18×180＋ ＝ 3 010（件）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）按规律，当该商场销售此服装超过1 300件时，社会上就流行，而日 销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失，问：该款服装 在社会上流行是否超过10天？说明理由. 解： 5月1日至5月13日销售总数为 ＝ ＝ 1 300≤1 300. ∴5月14日前还没有流行，由－10n＋320＜100得n＞22， ∴第22天后流行结束，即从5月14日开始到5月22日共流行9天，故该服装 在社会流行没有超过10天. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系（即等差 数列模型），然后确定公差、首项、项数是什么，分清an与Sn，然后选用 适当的方法求解，最后回归实际. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者 有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月 11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每 天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者 人数； 解： 由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项 a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400. 从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所 以9月11日的新感染者人数为400－10＝390. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）该地区9月份流感病毒的新感染者共有多少人？ 解： 9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝ ＝2 200， 9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等 差数列{bn}， 又b20＝390－10×19＝200， 所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 T20＝ ＝5 900， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其 公差为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 　由题知S偶－S奇＝5d，所以d＝ ＝3. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为 （　　） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 解析： 　由 解得 ≤n≤ ，故n＝4. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜ a6｜＝（　　） A. 9 B. 15 C. 18 D. 30 解析： 　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝ －5，所以an＝2n－7，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜ ＋｜a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则 下列命题中正确的是（　　） A. 若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B. 若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C. 若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn＞0 D. 若对任意n∈N＋，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： ∵Sn＝ n2＋（ a1－ ）n，∴当d＜0时，Sn必有最大值，即 {Sn}有最大项.∵当a1＜0，d＝0时，Sn有最大值为S1，∴{Sn}有最大项 时d＜0不正确，故A正确，B不正确.当an＝2n－3时，Sn＝n2－2n，此时 {Sn}是递增数列，但S1＝a1＝－1＜0，故C不正确.由Sn＞0⇒a1＞0且 d≥0⇒Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1＋nd＞0⇒{Sn}是递增数列，故D正确. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两 棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学 从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 ⁠ 米. 解析：假设20个树坑按1号到20号依次排列，要使每位同学从各自树坑出 发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10号或第11号 树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等 差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋ ×20＋10×20＋ ×20＝2 000（米）. 2 000　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若 － ＝2，则S10＝ （　　） A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 解析： 　因为{an}是等差数列，a1＝1，所以{ }也是等差数列且首项为 ＝1.又 － ＝2，所以数列{ }的公差是1，所以 ＝1＋（10－1） ×1＝10，所以S10＝100.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若等差数列{an}的公差d＝ ，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝ （　　） A. 52.5 B. 72.5 C. 60 D. 85 解析： 　设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝ S100＝145，y－x＝50d＝25，解得x＝60，y＝85.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S4＝2，S8＝6，则S12＝（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析： 　由等差数列前n项和的性质可得S12－S8，S8－S4，S4成等差数 列，∴2（S8－S4）＝S4＋S12－S8，即2（6－2）＝2＋S12－6，得S12＝12. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知等差数列{an}，a1＝1，d＝1，则数列{ }的前100项和为 （　　） A. B. C. D. 解析： 　因为{an}为等差数列且a1＝1，d＝1，故an＝n，故 ＝ ＝ － ，故数列{ }的前100项和为（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝1－ ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6， 则下列四个选项中正确的是（　　） A. a7＝0 B. S13＝0 C. S7最小 D. S5＝S8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2 ＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋ d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正 确；对于B，S13＝ ＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝ ＝7a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正确；对于 D，S5－S8＝ － ＝－3a1－18d＝－3a7＝0， 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知Sn是等差数列的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中 正确的是（　　） A. d＜0 B. S11＞0 C. S12＜0 D. 数列{Sn}中的最大项为S11 解析： 　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d ＜0，A正确；又S11＝ （a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝ （a1＋ a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.故选 A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9 －S6＝ ⁠. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6 ＝7，∴S9－S6＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 等差数列{an}中，a1＝－10，d＝2，则数列{｜an｜}的前3项的和S3 ＝ ，前8项的和S8＝ ⁠. 解析：a1＝－10，d＝2，所以an＝－10＋2（n－1）＝2n－12.a6＝0，故 S3＝｜－10｜＋｜－8｜＋｜－6｜＝24，S8＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜ ＋…＋｜a6｜＋｜a7｜＋｜a8｜＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＝36. 24　 36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 在首项为正数的等差数列{an}中， ＝ ，则当其前n项和Sn取最大值 时，n的值为 ⁠. 解析：法一　设数列{an}的公差为d，∵ ＝ ，∴5（a1＋2d）＝7（a1 ＋3d），∴2a1＋11d＝0，∴d＝－ a1，∴Sn＝－ a1n2＋ a1n＝－ （n－6）2＋ a1，又a1＞0，∴当n＝6时，Sn最大. 6　 法二　设数列{an}的公差为d，∵ ＝ ，∴5（a1＋2d）＝7（a1＋ 3d），∴2a1＋11d＝0，∴a6＋a7＝0，∵a1＞0，d＜0，∴a6＞0，a7＜ 0，∴S6最大，∴满足题意的n的值是6. 法三　∵ ＝ ，∴5a3＝7a4，∴S5＝S7，∴S6最大，∴n的值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝ －2. （1）求Sn，并画出{Sn}（1≤n≤13）的图象； 解： Sn＝na1＋ d＝12n＋ × （－2）＝－n2＋13n.图象如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大 （或最小）的项； 解： Sn＝－n2＋13n＝－ ＋ ，n∈N＋， ∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增，当n≥7时， {Sn}单调递减. {Sn}有最大项，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42. （3）{Sn}有多少项大于零？ 解： 由图象得{Sn}中有12项大于零. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中 “如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑 堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为 “官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每 天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该 问题中前5天共分发大米（　　） A. 1 170升 B. 1 440升 C. 1 512升 D. 1 772升 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列{an}，设公差为 d，则d＝7×3＝21，记第一天共分发大米为a1＝64×3＝192（升），则前 5天共分发大米5a1＋ ×d＝5a1＋10d＝5×192＋10×21＝1 170 （升）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2 023＞0，S2 024＜0， 对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则下列判断正确的是（　　） A. a1 012＞0 B. a1 013＞0 C. ｜a1 012｜＞｜a1 013｜ D. k的值为1 012 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由等差数列{an}，可得S2 023＝ ＞0，S2 024 ＝ ＜0，即a1＋a2 023＞0，a1＋a2 024＜0，可得2a1 012＞ 0，a1 012＋a1 013＜0，∴a1 012＞0，a1 013＜0，∴A正确，B错误.又等差数列 {an}为递减数列，且a1 012＋a1 013＜0，∴｜a1 012｜＜｜a1 013｜，∴C错误. 而对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则k的值为1 012.故D正确.故 选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这 个数列的中间项是 ，项数是 ⁠. 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1（n∈N＋），S奇＝a1＋a3＋…＋ a2n＋1＝ ＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n ＝ ＝nan＋1，所以 ＝ ＝ ，解得n＝3，所以项数2n＋ 1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项. 11　 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2， 所以 解得a1＝8，d＝－2， 所以an＝8＋（n－1）×（－2）＝10－2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜，求Tn. 解： 由an＝10－2n≥0，得n≤5，a5＝0，a6＝－2＜0， 因为Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜， 所以当n≤5时，Tn＝8n＋ ×（－2）＝9n－n2. 当n＞5时，Tn＝－ ＋2×（9×5－52）＝n2－9n ＋40. 所以Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕如果一个实数数列{an}满足条件： －an＝d（d为常 数，n∈N＋），则这一数列称为“伪等差数列”，d称为“伪公差”.给出 下列关于某个伪等差数列{an}的结论，其中正确的结论是（　　） A. 对于任意的首项a1，若d＜0，则这一数列必为有穷数列 B. 当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列 C. 这一数列可以是周期数列 D. 若这一数列的首项为1，伪公差为3，－ 可以是这一数列中的一项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　A项，当a1＝ ，d＝－ ，an＞0时，依题意，an＝ ，故错 误；B项，当d＞0，a1＞0时，∵an＋1＝± ，∴这一数列不是单调 递增数列，故错误；C项，易知当伪公差d＝0，an＝1时，这一数列是周 期数列，故正确；D项，∵a1＝1，d＝3，∴a2＝± ＝±2，∴当 a2＝2时，a3＝± ＝± ，故正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，给出以下三个条件：①an＋2－ an＝2；②{an}是等差数列；③an＋2＋an＝2n＋2. （1）从三个条件中选取两个，证明另外一个成立； 证明： 将①②作为条件，③作为结论，证明如下： 设等差数列{an}的公差为d， 则由an＋2－an＝2，得2d＝2，解得d＝1， 又a1＝1，所以等差数列{an}的通项公式为an＝n， 所以an＋2＝n＋2， 所以an＋2＋an＝2n＋2，即③成立. 将①③作为条件，②作为结论.证明如下： 由 得an＝n，所以an＋1＝n＋1， 所以an＋1－an＝n＋1－n＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即②成立. 将②③作为条件，①作为结论.证明如下： 设等差数列{an}的公差为d，则an＝1＋（n－1）d，an＋2＝1＋（n＋ 1）d， 又an＋2＋an＝2n＋2，所以2＋2nd＝2n＋2，解得d＝1， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝n， 所以an＋2＝n＋2， 所以an＋2－an＝n＋2－n＝2，即①成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）利用（1）中的条件，求证：数列{ }的前n项和Tn＜ . 证明： 由（1）知，an＝n，所以an＋2＝n＋2， 所以 ＝ ＝ ×（ － ）. 所以Tn＝ （ 1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＋ － ＋ － ） ＝ ×（ 1＋ － － ）＝ ×（ － － ）＝ － （ ＋ ）＜ ， 即数列{ }的前n项和Tn＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $