第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

3.2　等比数列的前n项和 1 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系（数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算） 课标要求 第一课时　等比数列的前n项和公式 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传 递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传 谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道其中的缘由吗？ 　　如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不 同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同 的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中 都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比 数列：1，3，9，27，81，…. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【问题】　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人 数共有多少？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ ⁠ ⁠ Sn＝ ⁠ ⁠ 　　提醒：（1）等比数列前n项和公式的推导方法是“错位相减法”； （2）若q是否等于1不能确定时，需按q＝1和q≠1分类讨论. （q≠1，且q≠0）　 （q≠1， 且q≠0）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N ＋），则此数列一定是等比数列吗？ 提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝ （q≠0且q≠1）变 形为：Sn＝ － ·qn（q≠0且q≠1），若令a＝ ，则公式可变形 为Sn＝a－aqn. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　等比数列前n项和的性质 （1）当q＝1时， ＝ ；当q≠±1时， ＝ ； （2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； （3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和； 若项数为2n，则 ＝q；若项数为2n＋1，则 ＝q； （4）当q≠－1时，连续m项的和（如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…）仍 组成等比数列（公比为qm，m≥2）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点三　等比数列前n项和公式的函数特征 （1）若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B （A≠0，B≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋），则必有A＋B＝0；反之，若 某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A（A≠0，q≠0，q≠1，n∈N ＋），则该数列必为等比数列； （2）如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 构成等比数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等比数列前n项和Sn不可能为0. （　×　） （2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于 na. （　√　） （3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝ . （　×　） （4）数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b（a≠0，a≠1），则数列{an}一 定是等比数列. （　×　） × √ × × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝ ，则该数列的前10项和S10＝ （　　） A. 2－ B. 2－ C. 2－ D. 2－ 解析： 　易知公比q＝ ，则S10＝ ＝2－ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝ ⁠. 解析：由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6（a1 ＋a2＋a3），则q6＝1，q＝±1. ±1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜等比数列前n项和公式的基本运算 【例1】　（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 022＋a2 023＝0，则S101＝（　A　） A. 3 B. 303 C. －3 D. －303 解析： 设数列{an}的公比为q，由a2 022＋a2 023＝0可得q＝－1，故 S101＝a101＝a1＝3. A 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）〔多选〕已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2， a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（　AD　） A. q＝ B. a7＝2 C. a8＝8 D. S6＝126 AD 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 因为a1≠a2，所以q≠1.因为a3－a2＝2（a4－a3），所以a3 －a2＝2q（a3－a2），所以q＝ ，故A正确.又a3a4＝2a1，所以 q5＝ 2a1，所以a1＝64，所以a7＝a1q6＝1，a8＝a1q7＝ ，故B、C错误.S6＝ ＝ ＝126，故D正确.选A、D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝ 126，则n＝ ⁠. 解析： 因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首 项为2，公比为2的等比数列.因为Sn＝126，所以 ＝126，即2n＋1＝ 128，解得n＝6. 6　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 等比数列前n项和基本运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an， n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程 组来解答； （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两 式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn， 都可看作一 个整体； （3）在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判 断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在等比数列{an}中： （1）若a1＝ ，an＝16 ，Sn＝11 ，求n和q； 解： 由Sn＝ 得，11 ＝ ， ∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1得，16 ＝ （－2）n－1，∴n＝5. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知S4＝1，S8＝17，求an. 解： 若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1， ∴S4＝ ＝1，S8＝ ＝17， 两式相除得 ＝1＋q4＝17， ∴q＝2或q＝－2，∴a1＝ 或a1＝－ ， ∴an＝ ·2n－1或－ ·（－2）n－1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜等比数列前n项和的性质 【例2】　（1）在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，则S30 ＝ ⁠； 解析： 设等比数列{an}的公比为q，∵S20≠2S10， ∴q≠1.∵S10≠S20，∴q≠－1. 70　 法一　由等比数列的前n项和公式，得 ②÷①得 1＋q10＝3，故q10＝2.S30＝ ＝ ×（1＋q10＋q20） ＝10×（1＋2＋22）＝70. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　由性质（4）得S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，则（S20－ S10）2＝S10（S30－S20），即（30－10）2＝10（S30－30），得S30＝70. 法四　运用性质（1）得 ＝ ，即 ＝ ，∴q10＝2.又 ＝ ，∴S30＝70. 法三　由性质（2）得S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，∴q10＝2， ∴S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且（a1＋a3＋…＋a2n－ 1）－（a2＋a4＋…＋a2n）＝80，则公比q＝ ⁠； 2　 解析： 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝ ＝2. （3）若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k ＝ ⁠. 　 解析： ∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即 k＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元； （2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋ a12＝（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析： S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.即1，2，a9＋a10＋a11＋a12成 等比数列.∴a9＋a10＋a11＋a12＝4. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍， 前3项之积为64，求数列的通项公式. 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S 偶，即S奇＝3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝ ＝ . 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以 ·q3＝64， 即a1＝12，故所求通项公式为an＝12× ，n∈N＋. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜等比数列前n项和公式的实际应用 【例3】　某市2023年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2024年 投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50％.则： （1）该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？ 解： 每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝ 128，q＝ . ∴2030年应投入的数量为a7＝a1q6＝128× ＝1 458（辆）. ∴该市在2030年应该投入1 458辆电力型公交车. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 ？ 解： 设{an}的前n项和为Sn. 则Sn＝ ＝256· ， 由Sn＞（10 000＋Sn）× ，即Sn＞5 000，n∈N＋， 解得n＞7. ∴该市在2031年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解数列应用题的思路和方法 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿 区计划从2024年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减 少10％. （1）以2024年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； 解： 由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝ 1－10％＝0.9，∴an＝a·0.9n－1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨？ （0.910≈0.35，保留一位小数） 解： 10年的出口总量S10＝ ＝10a（1－0.910）. ∵S10≤80，∴10a（1－0.910）≤80，即a≤ ≈12.3， ∴a≤12.3.故2024年最多出口12.3吨. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　） A. （510－1） B. （510－1） C. （59－1） D. （511－1） 解析： 　S10＝ ＝ （510－1）. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 解析： 　由S5＝ ＝44，得a1＝4. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 √ 解析： 　法一（通解）　因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以 由等比数列的前n项和公式，得 两式相除，得q2＝ ，所以 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 或 所以S6＝ ＝7.故选A. 法二（优解）　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项的性 质得S2（S6－S4）＝（S4－S2）2，即4（S6－6）＝22，所以S6＝7.故选A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日 减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天 行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后 一天行走的里程数为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设第七天走的路程为x，则第六天的行程为2x，第五天的行程 为22x，依次计算，那么七天总共走的路程为x＋2x＋…＋26x＝ ＝700⇒x＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝ 64，则S5＝ ⁠. 解析：在等比数列{an}中，由a2a6＝64，得a3a5＝a2a6＝64.又因为a3＋a5 ＝20，an＞0，q＞1，所以a3＜a5，解得a3＝4，a5＝16，从而公比q＝ ＝2，a1＝ ＝1，所以S5＝ ＝31. 31　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100＝（　　） A. 4－2100 B. 4＋2100 C. 4－2－98 D. 4－2－100 解析： 　q＝ ＝ .S100＝ ＝ ＝4（1－2－100）＝4 －2－98. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝ （　　） A. B. － C. D. 解析： 易知q≠－1，因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－ S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8（S9－S6）＝1， 即S9－S6＝ ，所以a7＋a8＋a9＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之 一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从 第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共 有1 016个，则第5层浮雕像的个数为（　　） A. 64 B. 128 C. 224 D. 512 解析： 　设最下层的浮雕像的数量为a1，依题意有公比q＝2，n＝7，S7 ＝ ＝1 016，解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2（1≤n≤7， n∈N＋），所以a5＝27＝128. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－ 1，则 ＋ ＋…＋ ＝（　　） A. （3n－1）2 B. （27n－1） C. （3n－1） D. 27n－1 解析： 　设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则当n≥2时，Sn－1＝3n－1 －1，故an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，又a1＝2，所以an＝2×3n－1，所以 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则 （　　） A. 数列{an}的公比为2 B. 数列{an}的公比为8 C. ＝8 D. ＝9 解析： 　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以 ＝q3＝8，解得q＝2，所以 ＝ ＝1＋q3＝9，故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项 和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是（　　） A. q＝2 B. 数列{Sn＋2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lg an}是公差为2的等差数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： ∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1（1＋q3）＝18，a1（q＋ q2）＝12，又公比q为整数，故a1＝q＝2，故A正确.易得an＝2n，Sn＝ ＝2n＋1－2，∴Sn＋2＝2n＋1，∴数列{Sn＋2}是首项为4，公比为 2的等比数列，故B正确.S8＝29－2＝510，故C正确.lg an＝lg 2n＝nlg 2， 数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 若等比数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋r，则r＝ ⁠. 解析：Sn＝2·3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2. －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则 项数n＝ ，a1＝ ⁠. 解析：由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 得 解得 5　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式 为 　an＝4× 　，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N＋）＝ 　 ⁠. an＝4× 　 × 　 解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1， an＝4× ，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为 的等比数 列的前n项和.故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋ ＋…＋8× ＝ ＝ × . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知公比大于1的等比数列{an}满足a1＋a2＝6，a3＋a4＝24. （1）求{an}的通项公式； 解： 设等比数列{an}的公比为q（q＞1）， 则 解得 所以an＝2·2n－1＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求－a1a2＋a2a3－…＋（－1）nanan＋1. 解： 令bn＝（－1）nanan＋1， 则 ＝ ＝－4， 又b1＝－a1a2＝－8，所以数列{bn}是首项为－8，公比为－4的等比数列， 所以－a1a2＋a2a3－…＋（－1）nanan＋1＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2，2a5，3a8成等差数 列，则 ＝（　　） A. 或 B. 或3 C. D. 或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由条件得a2＋3a8＝4a5，即a2＋3a2q6＝4a2q3，即3q6－4q3＋1 ＝0，解得q3＝1或q3＝ .当q3＝1时，q＝1，S6＝2S3，则 ＝ ；当q3 ＝ 时， ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝ 为数列a1，a2， a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 024，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为（　　） A. 1 673 B. 1 675 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 024，所以 ＝2 024，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 024，所以数列 2，a1，a2，…，a5的“理想数”为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q＞1，若a2＝2，S3＝7.则 数列{an}的通项公式an＝ ， ＋ ＋…＋ ＝ ⁠. 解析：∵a2＝2，S3＝7，由S3＝ ＋2＋2q＝7，解得q＝2或q＝ ， 又∵q＞1，∴q＝2， 故a1＝1，∴an＝2n－1，∴ ＝4n－1， ∴ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ . 2n－1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. （1）设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn（n∈N＋），且x1＋x2＋… ＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20； 解： ∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2（2xn）， ∴xn＋1＝2xn，且xn＞0， ∴{xn}为等比数列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首 项，2为公比的等比数列，求 ＋ ＋ ＋…＋ . 解： 设数列{bn}的公比为q，则q＝2， ∵ ＝ ＝ ＝2， ∴{ }是首项为b2＝2，公比为2的等比数列. ∴ ＋ ＋…＋ ＝ ＝126. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都 有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a1＝ ，an＝f（n）（n∈N＋），则 数列{an}的前n项和Sn＝ ⁠. 解析：令x＝n，y＝1，则f（n）·f（1）＝f（n＋1），又an＝f （n），∴ ＝ ＝f（1）＝a1＝ ，∴数列{an}是以 为首 项， 为公比的等比数列，∴Sn＝ ＝1－ . 1－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点（Sn，an＋1）在直线y＝3x ＋1上. （1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 解： 因为点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3（Sn－Sn－1）⇒an＋1－an＝ 3an⇒an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）在（1）的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的 前n项和，求Tn. 解： 由（1），可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n）＝ （40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n）＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $