第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

第一课时　等比数列的概念及其通项公式 1 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.体会等比数列与指数函数的关系（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”： “今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九 雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ （2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 ⁠ ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 ⁠ ，通常用字母 表示（q≠0）. 同一个常 数　 公 比　 q　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：理解等比数列概念应注意3点：①“从第2项起”，也就是说等 比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每 相邻两项的比”；③“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝ （n≥2）或q＝ .特别注意q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常 数列，非零的常数列都是公比为1的等比数列，当q＝－1时，等比数列正 负相间且相邻两项的和为零，等比数列的任何一项都不能为零. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝ ⁠ （a1≠0，q≠0）. 知识点三　等比数列的函数特征 1. 等比数列通项公式的函数解释 类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数有以下关系：由an ＝a1qn－1知它是指数型函数y＝a1qx中x≥2，x∈N＋的情形.其具有指数型 函数的某些特征. a1qn－1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 等比数列的增减性 根据指数函数的单调性，分析等比数列an＝a1qn－1（q＞0）的增减性： a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜ q＜1 q＝1 q＞1 0＜q ＜1 q＝1 q＞1 数列{an} 的增减性 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 递减 数列 常数 列 递增 数列 递增 数列 常数 列 递减 数列 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 如果一个数列{an}的通项公式为an＝aqn，其中a，q都是不为0的常数， 那么这个数列是等比数列吗？ 提示：这个数列是等比数列，证明如下： 取数列{an}中的任意相邻两项an与an＋1，作商得 ＝ ＝q，由于 a，q都是不为0的常数，所以数列{an}是等比数列，其公比为q，首项为 aq. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列. （　√　） （2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比 数列. （　×　） （3）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. （　×　） √ × × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　） A. 32 B. －48 C. 48 D. 96 解析： 　a5＝a1q4＝3×24＝48. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝ ⁠ ⁠. 解析：由已知得 ＝ ＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝ a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3. 3×2n －3　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜等比数列的通项公式 【例1】　在等比数列{an}中： （1）若a4＝27，q＝－3，求a7； 解： 由a4＝a1·q3，得27＝a1·（－3）3，得a1＝－1， 故a7＝a1·q6＝（－1）×（－3）6＝－729. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若a2＝18，a4＝8，求a1和q； 解：由已知得 解得 或 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3. 解： 由已知得 由 得 ＝ ，故q＝ 或q＝2， 当q＝ 时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，一般已 知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、 变形用问题.当然对于等比数列来说，可能有时计算起来方法不当，会非 常烦琐，所以方法的选取非常重要，一般来说，涉及列出方程组的问题， 大多采用两式相比，消掉首项a1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则公比q＝（　　） A. － B. －2 C. 2 D. 解析： 　∵a2＝a1q＝2①，a5＝a1q4＝ ②，∴②÷①得，q3＝ ，∴q ＝ .故选D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜等比数列项的设法 【例2】　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列， 并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这 四个数. 解：设这四个数依次为 －a， ，a，aq（a≠0，q≠0），由条件得 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得 或 当q＝2，a＝8时，所求四个数分别为0，4，8，16； 当q＝ ，a＝3时，所求四个数分别为15，9，3，1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为 ，a，aq（a≠0，q≠0）. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， ， ，a，aq，aq2，… （a≠0，q≠0）； （2）四个符号相同的数成等比数列设为 ， ，aq，aq3（a≠0， q≠0）. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…， ， ， ，aq， aq3，aq5，…（a≠0，q≠0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等 差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：设前三个数依次为 ，a，aq（q≠0），则 ·a·aq＝216，所以a3＝ 216，所以a＝6. 因此前三个数为 ，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝ .故所求 的四个数为9，6，4，2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜等比数列的函数特征 【例3】　在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为 （　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定单调性 解析： 　由8a2－a5＝0，可知 ＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数 列{an}为递增数列. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 等比数列的单调性 （1）根据指数函数的单调性，可分析当q＞0且q≠1时的单调性； （2）等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}不具有单调性，是摆动 数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是 （　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定单调性 解析： 　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调 性；等比数列{（ ）n}的公比为 ，是递减数列；等比数列{－（ ）n}的 公比为 ，是递增数列. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜等比数列的判定与证明 【例4】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，bn＝an＋1（n∈N ＋）. （1）求证：{bn}是等比数列； 解： 证明：∵an＋1＝3an＋2，bn＝an＋1， ∴bn＋1＝an＋1＋1＝3an＋3＝3（an＋1）＝3bn， 又∵b1＝a1＋1＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求{an}的通项公式. 解： 由（1）知，an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件）本例中把bn＝an＋1变为bn＝an＋1－an，其他不变，如何求解. 解：（1）证明：∵an＋1＝3an＋2， ∴an＝3an－1＋2（n≥2）， ∴bn＝an＋1－an＝3an＋2－（3an－1＋2）＝3（an－an－1）＝3bn－1 （n≥2），∴ ＝3（n≥2）， ∴{bn}是首项b1＝a2－a1＝3a1＋2－a1＝4，公比为3的等比数列. （2）由（1）知bn＝4·3n－1，即an＋1－an＝3an＋2－an＝2an＋2＝4·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列{an}满足 ＝q（n∈N＋，q为常数且不为零） 或 ＝q（n≥2，n∈N＋，q为常数且不为零），则数列{an}是等比 数列； （2）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1（a1≠0， q≠0），则数列{an}是等比数列. 提醒　（1）判定一个数列不是等比数列，只需说明其有连续三项不是等 比数列即可；（2）证明一个数列是等比数列，必须证明满足等比数列的 定义. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ （an－1）（n∈N＋）. （1）求a1，a2； 解： 由S1＝ （a1－1），得a1＝ （a1－1）， 所以a1＝－ . 又S2＝ （a2－1）， 即a1＋a2＝ （a2－1）， 得a2＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求证：数列{an}是等比数列. 解： 证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝ （an－1）－ （an－1－1）， 得 ＝－ .又a1＝－ ， 所以{an}是首项为－ ， 公比为－ 的等比数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 在数列{an}中，如果an＝32－n（n＝1，2，3，…），那么这个数列是 （　　） A. 公比为2的等比数列 B. 公差为3的等差数列 C. 首项为3的等比数列 D. 首项为3的等差数列 解析： 　因为an＝32－n（n＝1，2，3，…），所以a1＝3，a2＝1，an－1 ＝33－n（n≥2），则有 ＝ ＝ （n≥2），所以{an}为等比数列，且 公比q＝ ，首项a1＝3.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝（　　） A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 解析： 　∵{an}为等比数列，∴ ＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1. 故a7＝1·26＝64. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. 等比数列中的项不能为0 B. 等比数列的公比的取值范围是R C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1 D. 22，42，62，82，…成等比数列 解析： 　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确； 由于 ≠ ，故不是等比数列，D错. √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求证：{an－5}是等比数列. 证明：由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2（an－5）. 又a1－5＝－1≠0， 故数列{an－5}是首项为－1， 公比为2的等比数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4＝（　　） A. 108 B. 54 C. 36 D. 18 解析： 　因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝ 33a1＝54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 （　　） A. 4 B. 8 C. 6 D. 32 解析： 　设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝ 2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝（　　） A. 4× B. 4× C. 4× D. 4× 解析： 　由题意，知 ＝ ，即（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），解 得a＝5，所以 ＝ ＝ .又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比 为 的等比数列，所以an＝4× . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连 续三项，则数列{bn}的公比为（　　） A. B. 4 C. 2 D. 解析： 　因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以 ＝ ， 即 ＝a1a7，设数列{an}的公差为d，则d≠0，所以（a1＋2d）2＝a1 （a1＋6d），所以a1＝2d，所以公比q＝ ＝ ＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是（　　） A. q＞1⇒{an}为递增数列 B. {an}为递增数列⇒q＞1 C. 0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D. q＞1 {an}为递增数列且{an}为递增数列 q＞1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－ 8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－ 4，－2，…，是递增数列，则q＝ ＜1，B不正确，D正确；若a1＝－16， q＝ ∈（0，1），则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数 列，C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕（2025·保定期末）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 则下列能判断{an}为递减数列的有（　　） A. a1＝3，q＝ B. a1＝2，q＝3 C. a1＝ ，q＝ D. a1＝－ ，q＝ 解析： 　对于A，an＝3×（ ）n－1，所以由函数特性知{an}为递减数 列，A正确；对于B，an＝2×3n－1，所以{an}为递增数列，B错误；对于 C，an＝ ×（ ）n－1，所以{an}为递减数列，C正确；对于D，an＝－ ×（ ）n－1，所以{an}为递增数列，D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝ ⁠. 解析：由a4＝a1q3得q3＝2，q＝ ，∴a7＝a1q6＝2×（ ）6＝8. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为 ⁠ ⁠. 解析：∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝ ＝ ，∴an＝ ·2n－1＝2n－3，∴lg an＝（n－3）lg 2. lg an＝ （n－3）lg 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数 是 ⁠. 解析：设这三个数所成等比数列中的项依次为 ，a，aq（aq≠0），则 ＋a＋aq＝14， ·a·aq＝64，即a ＝14，a3＝64，解得a＝ 4，q＝ 或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8. 8，4，2或2，4，8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. （1）求数列{an}的通项公式an； 解： 因为 所以q2＝ ＝ . 所以q＝± ，a1＝128. 当q＝ 时，an＝a1qn－1＝128× ＝28－n； 当q＝－ 时，an＝a1qn－1＝128× . 所以an＝28－n或an＝128× . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若an＝ ，求n. 解： 当an＝ 时，28－n＝ 或128× ＝ ， 解得n＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知在单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值 范围是（　　） A. {1} B. （－∞，0） C. （1，＋∞） D. （0，1） 解析： 　因为等比数列{an}单调递减，a1＞0，所以q＞0，an＋1－an＝ a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，所以qn－1（q－1）＜0.又因为 n≥1，所以qn－1＞0，q－1＜0，所以0＜q＜1，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的 是（　　） A. a3＋a7≥2 B. a4＋a6≥2 C. a7－2a6＋1≥0 D. a3－2a4－1≥0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为等比数列{an}的公比为q（q≠0），且a5＝a3q2＝1， 所以a3＝ ，a4＝ ，a6＝q，a7＝q2.a3＋a7＝ ＋q2≥2，当且仅当q2 ＝1时取等号，故A正确；a4＋a6＝ ＋q，当q＜0时，a4＋a6＜0，故B 错误；a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝（q－1）2≥0，故C正确；a3－2a4－1 ＝ － －1＝（ －1）2－2，存在q使得a3－2a4－1＜0，故D错误.故 选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知数列a1， ， ，…， 是首项为4，公比为 的等比数列，则 a4＝ ⁠. 解析：∵数列a1， ， ，…， 是首项为4，公比为 的等比数列， ∴ ＝4× ＝23－n，∴a4＝a1× × × ＝4×2×1× ＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝ 2，S10＝11a5，b3－b2＝a2. （1）求{an}和{bn}的通项公式； 解： 设等差数列{an}的公差为d，因为S10＝11a5， 所以10×2＋ d＝11（2＋4d），解得d＝2， 则an＝2＋（n－1）×2＝2n. 设正项等比数列{bn}的公比为q（q＞0），则b3＝2q2，b2＝2q. 由2q2－2q＝4，解得q＝2或－1（舍去）， 故bn＝2×2n－1＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）证明：{ }是等比数列. 解： 证明：令cn＝ ＝ ＝ ，则 ＝ ， 故{ }是以 为首项， 为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三 行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的 数为aij（i，j∈N＋），则a53＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以a51＝ ＋（5 －1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比 都相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以a53＝ × （ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0（n＝1，2，3，…）有两实根 α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. （1）试用an表示an＋1； 解： 由根与系数的关系，得 代入题设条件6（α＋β）－2αβ＝3， 得 － ＝3. 所以an＋1＝ an＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求证： 是等比数列； 解： 证明：因为an＋1＝ an＋ ， 所以an＋1－ ＝ . 若an＝ ，则方程anx2－an＋1x＋1＝0， 可化为 x2－ x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0. 此时Δ＝（－2）2－4×2×3＜0，所以an≠ ，即an－ ≠0. 所以数列 是以 为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）当a1＝ 时，求数列{an}的通项公式. 解： 当a1＝ 时， a1－ ＝ ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. 所以an－ ＝ × ＝ ， 所以an＝ ＋ ，n＝1，2，3，…， 即数列{an}的通项公式为an＝ ＋ ，n＝1，2，3，…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $