1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

3.2 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和公式 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式；理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等比数列的前n项和公式 na1 na1 |微|点|助|解| 　　一般地，使用等比数列求和公式时需注意： ①一定不要忽略q=1的情况. ②知道首项a1、公比q和项数n，可以用； 知道首尾两项a1，an和q，可以用. ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个. 2.等比数列前n项和的性质 （1）数列{an}为公比不为-1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn， S2n-Sn，S3n-S2n，…仍构成等比数列. （2）若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N+）. （3）若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，=q； ②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1 ==（q≠-1）.S奇=a1+qS偶. （4）若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A（A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N+），则数列{an}为等比数列，即Sn=Aqn-A（A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N+）⇔数列{an}为等比数列. |微|点|助|解| 　　当q=-1且n为偶数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不是等比数列；当q=-1，且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…是等比数列. 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. （　　） （2）若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. （　　） （3）若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N+），则此数列一定是等比数列. （　　） 基础落实训练 × √ √ 2.等比数列{an}中，公比q=-2，S5=44，则a1的值为 （　　） A.4 B.-4 C.2 D.-2 √ 解析：由S5==44，得a1=4. 3.数列{2n-1}的前99项和为 （　　） A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299 √ 解析：数列{2n-1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99==299-1. 4.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为 （　　） A.8 B.-2 C.4 D.2 √ 解析：设公比为q，由题意知S偶=qS奇，即2 024=1 012q，∴q=2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　等比数列前n项和的基本运算 [例1]　求下列等比数列前n项和： （1），，，…，求S8； 解：因为a1=，q=， 所以S8==. （2）a1+a3=10，a4+a6=，求S5. 解：法一　由题意知 解得从而S5==. 法二　由（a1+a3）q3=a4+a6，得q3=，从而q=.又a1+a3=a1（1+q2）=10， 所以a1=8，从而S5==. 　　|思|维|建|模| 　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.（注意：q=1和q≠1的讨论） 针对训练 1.在等比数列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n. 解：法一　∵an=96，q=2，∴a1·2n=192.① 又∵Sn==189，即a1-a1·2n=-189， ∴a1=a1·2n-189=192-189=3.代入①式得n=6. 法二　由公式Sn=及已知，得189=， 解得a1=3. 又由an=a1qn-1，得96=3·2n-1， 解得n=6. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn. 解：设{an}的公比为q，由题设得 解得或 当a1=3，q=2时，an=3×2n-1，Sn=3×（2n-1）； 当a1=2，q=3时，an=2×3n-1，Sn=3n-1. 题型（二）　等比数列前n项和的性质及应用 [例2]　（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=48，S2n=60，则S3n= （　　） A.60 B.61 C.62 D.63 √ 解析：法一　∵S2n≠2Sn，∴公比q≠1，由已知得 ②÷①得1+qn=，即qn=，③ ③代入①得=64，∴S3n==64=63. 法二　∵{an}为等比数列，显然公比q≠-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴（S2n-Sn）2=Sn（S3n-S2n）， 即（60-48）2=48（S3n-60），∴S3n=63. 法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn， 即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. （2）一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________.  2 8 解析：设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列，又a1=1，a2=q，q≠1， 所以 ②÷①，得q=2，所以=85，4n=256，故得n=4，故项数为8. 　　[变式拓展] 　在例2（1）中，若把条件换为“Sn=2，S2n=6”，求S4n. 解：设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n， …成等比数列，Sn=2，S2n-Sn=4，故qn=2.所以Sn==2， 得-=2，即=-2，S4n===-2×（1-16）=30. 　　|思|维|建|模| 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 （1）若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. （2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 针对训练 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于 （　　） A. B.- C. D. √ 解析：由已知得S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，且S3=8，S6-S3=7-8=-1，∴S9-S6=（-1）×=，∴S9=S6+=7+=.故选C. 4.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n= （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：法一　因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q（q+q3+q5+…+q2n-1） =85，偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2，所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3.故选B. 法二　由S奇=a1+qS偶，得85=1+42q， 所以q=2，所以前2n+1项的和为=85+42=127， 解得n=3. 题型（三）　等比数列前n项和的综合应用 [例3]　已知等差数列{an}满足a3=7，a2+a6=20. （1）求{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d， 则a3=a1+2d=7，a2+a6=2a1+6d=20， 解得a1=1，d=3，所以an=1+3（n-1）=3n-2. （2）若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1=a1，=a6，bn+1>bn，求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值. 解：设等比数列{bn}的公比为q.由（1）知b1=a1=1，=a6=3×6-2=16. 因为=（b1q2）2，所以q=2或q=-2，又bn+1>bn，所以q=2， 所以Sn==2n-1.令2n-1≤2 024，得2n≤2 025， 又210<2 025<211，所以满足题意的正整数n的最大值为10. 　　|思|维|建|模| 解决等比数列前n项和有关问题时应注意 （1）首先将题目问题转化为等比数列问题. （2）当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 针对训练 5.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列. （1）求{an}的通项公式； 解：依题意，得2Sn=an+1-a1.于是，当n≥2时，有 两式相减，得an+1=3an（n≥2）.又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0， 所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an=a1·3n-1（n∈N+）. （2）设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 解：存在.因为Sn==a1·3n-a1， 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.要使{bn}为等比数列， 则1+a1=0，故a1=-2. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.等比数列{an}中，首项a1=12，公比q=，那么它的前4项和S4的值为（　　） A. B. C. D. √ 解析：由等比数列的前n项和公式，得 S4===18×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=2，S6-S3=4，则S9-S6= （　　） A.8 B.4 C.2 D.1 √ 解析：由题意得，（S6-S3）2=S3（S9-S6），∴S9-S6=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知数列{an}的通项公式是an=2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于 （　　） A.10 B.210 C.210-2 D.211-2 √ 解析：∵==2，∴数列{an}是公比为2的等比数列，且a1=2，∴S10==211-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在等比数列{an}中，a1+an=82，a3an-2=81，且前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于 （　　） A.3 B.4 C.5 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设等比数列{an}的公比为q，依题意，a1+an=82，a3an-2=a1an=81，所以或若则Sn===121，解得q=3，所以an=1×3n-1=81=34，n=5.若则Sn===121，解得q=，所以an=81×=34×31-n=35-n=1，n=5.综上所述，n的值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.（2025·新课标Ⅱ卷）[多选]记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则 （　　） A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，由题意得结合q>0，解得，故A正确；对于B，a5=a1q4=4×=，故B错误；对于C，S5===，故C错误；对于D，an=4×= 23-n，Sn==8-2-n+3，则an+Sn=23-n+8-23-n=8，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知等比数列{an}中，an=2×3n-1，则由此数列的奇数项按原来的顺序所组成的新数列的前n项和为 （　　） A.3n-1 B.3（3n-1） C.（9n-1） D.4（9n-1） √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由an=2×3n-1，得a2k-1=2×32k-2=2×9k-1，k∈N+，a1=2，则==9，因此由等比数列{an}的奇数项按原来的顺序所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，所以新数列的前n项和为=（9n-1）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12，a6-a4=24，则=（　　） A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 √ 解析：法一　设等比数列{an}的公比为q，则q===2. 由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1，Sn==2n-1，所以==2-21-n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　设等比数列{an}的公比为q，则　 得=q=2.将q=2代入①，解得a3=4， 所以a1==1，下同法一. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]已知正项等比数列{an}中a1=2，a5-2a3=a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则 （　　） A.q=2 B.an=2n C.S10=2 047 D.an+an+1<an+2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为a5-2a3=a4，所以a1q4-2a1q2=a1q3，即q2-q-2=0，解得q=2 或q=-1，又q>0，所以q=2，所以A正确；数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n，所以B正确；S10==211-2=2 046，所以C 不正确；由an=2n，得an+an+1=2n+2n+1=3·2n，an+2=2n+2=4·2n， 所以an+an+1<an+2，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）一个等比数列，它的前4项和为前2项和的2倍，则此数列的公比为________.  -1或1 解析：当q=1时，S4=2S2满足题意； 当q≠1时，=， ∴1+q2=2，∴q=1（舍去）或q=-1.综上q=-1或q=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）（2025·新课标Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________.  2 解析：法一　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4=4，S8=68.设{an}的公比为q（q>0），当q=1时，S4=4a1=4，即a1=1，则S8=8a1=8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，S4==4，S8==68，两式相除得=，即=17，则1+q4=17，所以q=2.所以该等比数列的公比为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　设该等比数列为{an}，公比为q（q>0），Sn是其前n项和， 则S4=4，S8=68，所以S4=a1+a2+a3+a4=4，S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=（a1+a2+a3+a4）（1+q4）=68，所以4（1+q4）=68，则1+q4=17， 所以q=2. 所以该等比数列的公比为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法三　设该等比数列为，公比为q（q>0）， Sn是其前n项和，则S4=4，S8=68， 因为S8-S4=a5+a6+a7+a8=（a1+a2+a3+a4）q4=68-4=64， 又S4=a1+a2+a3+a4=4，所以=q4==16， 所以q=2.所以该等比数列的公比为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，则数列的公比q=__________.  - 解析：当q=1时，Sn=na1，S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9，∴不成立；当q≠1时，+=2×，得2-q3-q6=2-2q9，∴2q9-q6-q3=0，解得q3=-或q3=1（舍去）或q3=0（舍去），∴q=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a. （1）求实数a的值；（5分） 解：由Sn=2n+a，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+a-（2n-1+a）=2n-1， 又a1=S1=2+a，因为数列{an}是等比数列， 所以a1满足an=2n-1， ∴2+a=1，即a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）若Sm=127，求m.（5分） 解：由（1），Sn=2n-1， ∴Sm=2m-1， ∴127=2m-1，解得m=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N+），b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1（n∈N+）. （1）求an与bn；（5分） 解：由a1=2，an+1=2an，得an=2n（n∈N+）. 由题意知当n=1时，b1=b2-1，故b2=2. 当n≥2时，bn=bn+1-bn，整理得=， 所以bn=n（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.（5分） 解：由（1）知anbn=n·2n，因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n， 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1， 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故Tn=（n-1）2n+1+2（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2026年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则： （1）该市在2032年应该投入电力型公交车多少辆？（5分） 解：每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1=128，q=.∴2032年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458（辆）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？（5分） 解：设{an}的前n项和为Sn，则Sn==256×，由Sn>（10 000+Sn）×，即Sn>5 000，解得n≥8. ∴到2033年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $