2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦等差数列核心知识，涵盖通项公式、公差计算及性质应用，通过基础题导入概念，逐步过渡到综合应用与拓展，构建从基础到提升的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计题目，基础达标巩固概念，能力提升训练推理，素养拓展培养创新。如第6题辨析数列是否为等差数列，发展数学思维，第15题数表问题提升数学眼光，助力学生深化理解，方便教师高效教学。

2.1　第1课时　课后达标 检测 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则(　　) A．a1＝3 B．a1＝1 C．d＝4 D．d＝－4 解析：由an＝3－4n，则a1＝3－4×1＝－1，公差d＝－4.故选D. 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 4．若数列为37，310，313，316，…，则382是这个数列的(　　) A．第24项 B．第25项 C．第26项 D．第27项 解析：设数列7，10，13，16，…，为数列{an}，则数列{an}是以7为首项，3为公差的等差数列，其通项公式为an＝7＋3(n－1)＝3n＋4，令3n＋4＝82，解得n＝26.故选C. 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 6．(多选)下列数列中，不成等差数列的是(　　) A．2，5，9，14 B．1.1，1.01，1.001，1.000 1 C．a，a，a，a D．lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 解析：对于A，因为从第2项起，后一项与前一项的差分别是3，4，5，不是同一个常数，所以此数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B，因为1.01－1.1＝－0.09，1.001－1.01＝－0.009，即1.01－1.1≠1.001－1.01，所以此数列不是等差数列，所以B符合题意； 对于C，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不符合题意； 对于D，数列lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000可表示为lg 2，1＋lg 2，2＋lg 2，3＋lg 2，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不符合题意．故选AB. 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 7．(2024·陕西咸阳期中)在等差数列{an}(n∈N＋)中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝________． 解析：由于数列{an}是等差数列， 则a3＋a9＝a1＋2d＋a1＋8d＝2(a1＋5d)＝26，即a1＋5d＝13， 所以a3＋3a7＝a1＋2d＋3(a1＋6d)＝4a1＋20d＝4(a1＋5d)＝52. 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 52 课后达标 检测 8．已知数列{an}，{bn}是公差相等的等差数列，且an＋bn＝2n＋5，若bn为正整数，设cn＝abn(n∈N＋)，则数列{cn}的通项公式为cn＝________． 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 5＋n 课后达标 检测 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 9．从1，2，3，4，5这五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为________． 解析：从1，2，3，4，5这五个数中任取3个，可组成公差为1的等差数列的三个数为(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，共3个；可组成公差为－1的等差数列的三个数为(3，2，1)，(4，3，2)，(5，4，3)，共3个；可组成公差为2的等差数列的三个数为(1，3，5)，共1个；可组成公差为 －2 的等差数列的三个数为(5，3，1)，共1个．综上，可组成不同的等差数列的个数为3＋3＋1＋1＝8. 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 8 课后达标 检测 10．(2024·安徽亳州月考)在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. (1)求a2 024的值； 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 (2)2 024是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？若不是，请说明理由． 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 11．已知数列{an}的首项为8，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 又a2n－1＝2(2n－1)＋1＝4n－1，则a2(n＋1)－1－a2n－1＝4(n＋1)－1－(4n－1)＝4， 且a2×1－1＝a1＝3，故数列{a2n－1}是以3为首项，4为公差的等差数列，故C错误； 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 120 课后达标 检测 14．(2024·江西高二期中)已知数列{an}满足a1＝3，anan－1＝2an－1－1，n≥2. (1)求a2，a3，a4； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 15．(多选)已知在如图所示的数表中，第1行是从1开始的正整数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和，则(　　) 1　 2　 3　 4　 5　 6　 … 3　 5　 7　 9　 11　 … 8　12　16　20　… … A．第2 025行第1个数为1 013×22 024 B．第2 025行的数从左到右构成公差为22 025的等差数列 C．第2 025行第2 025个数为3 037×22 024 D．数表中小于50的数有89个 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 第2 025行的数从左到右构成公差为22 024的等差数列，B错误； 第2 025行第2 025个数为1 013×22 024＋(2 025－1)×22 024＝3 037×22 024，C正确； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 第1行小于50的数有49个； 第2行的数构成的数列的通项公式为bn＝2n＋1，令bn＝2n＋1＜50，解得n＜24.5，则第2行小于50的数有24个； 第3行的数构成的数列的通项公式为cn＝4n＋4，令cn＝4n＋4＜50，解得n＜11.5，则第3行小于50的数有11个； 第4行的数构成的数列的通项公式为dn＝8n＋12，令dn＝8n＋12＜50，解得n＜4.75，则第4行小于50的数有4个； 第5行的数构成的数列的通项公式为en＝16n＋32，令en＝16n＋32＜50，解得n＜1.125，则第5行小于50的数有1个． 第6行的第1个数为(6＋1)×26－2＝112>50. 故数表中小于50的数有49＋24＋11＋4＋1＝89(个)，D正确．故选ACD. 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 16．已知数列{an}中，a1＝5，an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N＋)． (1)求a2，a3的值； 解：因为a1＝5，所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33. 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 2．在数列{an}中，a1＝1, eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋1，则an＝(　　) A．n B．n2 C．n＋2 D.eq \r(n) 解析：由eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋1得eq \r(an＋1)－eq \r(an)＝1， 令bn＝eq \r(an)，则bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝eq \r(a1)＝1为首项，1为公差的等差数列， 所以bn＝1＋(n－1)×1＝n，即eq \r(an)＝n，所以an＝n2.故选B. 3．已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．d>eq \f(8,3) B．d<3 C.eq \f(8,3)≤d<3 D.eq \f(8,3)<d≤3 解析：该等差数列{an}的通项公式为an＝－24＋(n－1)d， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10＝－24＋9d>0，,a9＝－24＋8d≤0，)) 解得eq \f(8,3)<d≤3. 5．已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝eq \f(3an,an＋3)(n∈N＋)，则a22＝(　　) A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2) 解析：由an＋1＝eq \f(3an,an＋3)得，eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋3,3an)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,3)， 又eq \f(1,a1)＝1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,3)为公差的等差数列， 所以eq \f(1,an)＝1＋eq \f(1,3)(n－1)＝eq \f(n＋2,3)， 所以an＝eq \f(3,n＋2)，n∈N＋， 所以a22＝eq \f(1,8).故选A. 解析：设数列{an}，{bn}的公差为d， 因为an＋bn＝a1＋b1＋2(n－1)d＝a1＋b1－2d＋2nd＝2n＋5， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2d＝2，,a1＋b1－2d＝5，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝1，,a1＋b1＝7，))即an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1， 所以abn＝ab1＋n－1＝a1＋(b1＋n－1)－1＝7－2＋n＝5＋n，即cn＝5＋n. 解：由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋4d＝24，,a1＋16d＝66，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝4.)) 所以数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2. 所以a2 024＝4×2 024－2＝8 094. 解：令an＝4n－2＝2 024，解得n＝eq \f(1 013,2)， 因为eq \f(1 013,2)∉N＋，所以2 024不是数列{an}中的项． 解析：设等差数列{bn}的公差为d，因为b3＝－2，b10＝12，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝－2，,b1＋9d＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝－6，,d＝2，)) 可得bn＝2n－8， 又因为bn＝an＋1－an，即an＋1－an＝2n－8， 所以a8＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝8－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝8.故选C. 12．(多选)设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列说法正确的是(　　) A．an＝2n＋1 B．d＝2 C．{a2n－1}不是等差数列 D.2,n)eq \f(1,a－1) ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))) 解析：等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，设公差为d， 由a6＋a8＝a1＋5d＋a1＋7d＝2(a1＋6d)＝30，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝5，,a1＋6d＝15，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2，)) 则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，故A，B正确； 由an＝2n＋1，得2,n)eq \f(1,a－1) ＝eq \f(1,（2n＋1）2－1)＝eq \f(1,4n（n＋1）)＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，故D正确．故选ABD. 13．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2eq \r(an＋1)＋1，则a10＝________． 解析：因为an＋1＝an＋2eq \r(an＋1)＋1，所以an＋1＋1＝(eq \r(an＋1))2＋2eq \r(an＋1)＋1，即an＋1＋1＝(eq \r(an＋1)＋1)2， 等式两边开方可得eq \r(an＋1＋1)＝eq \r(an＋1)＋1，即eq \r(an＋1＋1)－eq \r(an＋1)＝1， 所以数列{eq \r(an＋1)}是首项为eq \r(a1＋1)＝2，公差为1的等差数列， 所以eq \r(an＋1)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝n2＋2n， 所以a10＝102＋20＝120. 解：由anan－1＝2an－1－1得an＝2－eq \f(1,an－1)，n≥2， 将a1＝3代入，n依次取2，3，4，得 a2＝2－eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，a3＝2－eq \f(3,5)＝eq \f(7,5)，a4＝2－eq \f(5,7)＝eq \f(9,7). (2)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求出数列{an}的通项公式． 证明：因为eq \f(1,an－1)－eq \f(1,an－1－1) ＝eq \f(an－1－an,（an－1）（an－1－1）) ＝eq \f(an－1－an,anan－1－an－an－1＋1)(n≥2)． 把anan－1＝2an－1－1代入得 eq \f(1,an－1)－eq \f(1,an－1－1)＝1(n≥2)， 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是等差数列且公差为1. 由eq \f(1,a1－1)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,2)＋n－1＝eq \f(2n－1,2)， 变形得an－1＝eq \f(2,2n－1)，所以an＝eq \f(2n＋1,2n－1). 解析：数表中，每行是等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第n行的公差为2n－1. 设每一行的第一个数构成数列{an}，由数表可得an＋1＝an＋(an＋2n－1)，即an＋1＝2an＋2n－1， 所以eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(an,2n)＋eq \f(1,4)，eq \f(a1,2)＝eq \f(1,2)，即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,4)为公差的等差数列， 所以eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)(n－1)，即an＝(n＋1)2n－2， 所以第2 025行第1个数为a2 025＝(2 025＋1)×22 025－2＝1 013×22 024，A正确； (2)是否存在实数λ，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在实数λ，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))为等差数列， 设bn＝eq \f(an＋λ,2n)，由{bn}为等差数列， 则有b2－b1＝b3－b2，即2b2＝b1＋b3， 所以2×eq \f(a2＋λ,22)＝eq \f(a1＋λ,2)＋eq \f(a3＋λ,23)， 即eq \f(13＋λ,2)＝eq \f(5＋λ,2)＋eq \f(33＋λ,8)，解得λ＝－1， 则b1＝eq \f(a1－1,2)＝eq \f(5－1,2)＝2， 又bn＋1－bn＝eq \f(an＋1－1,2n＋1)－eq \f(an－1,2n)＝eq \f(1,2n＋1)·[(an＋1－2an)＋1]＝eq \f(1,2n＋1)[(2n＋1－1)＋1]＝1， 所以存在实数λ＝－1，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))为首项是2，公差是1的等差数列． $