章末检测（二） 平面向量及其应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末检测（二）　平面向量及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设点O是正△ABC的中心，则向量，，是（　　） A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共起点的向量 D.共线向量 2.已知向量a＝（1，2），b＝（x，－4），且a∥b，则实数x＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，点E在线段CB上，且CE＝3EB，设＝a，＝b，则＝（　　） A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝2b，则＝（　　） A.－ B. C.1 D. 5.已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos＜a，a＋b＞＝（　　） A.－ B.－ C. D. 6.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝m，＝n，＝，则＝（　　） A.m＋n B.m＋n C.m＋n D.m＋n 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝（　　） A. B.2 C.2 D.2 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1，且（a－b）sin A＝（c＋b）（sin C－sin B），则△ABC面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.设a， b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是（　　） A. a＝－2b B. a＋b＝0 C. a∥b D. a⊥b 10.下列说法中，正确的是（　　） A.（＋＋）－（－－）＝0 B.若a·b＜0，则a与b的夹角是钝角 C.向量e1＝（2，－3），e2＝能作为平面内所有向量的一组基 D.若a⊥b，则a在b上的投影向量为0 11.在△ABC中，已知（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确的结论是（　　） A.由已知条件，这个三角形被唯一确定 B.若b＋c＝8，则△ABC的面积是 C.sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3 D.△ABC一定是钝角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则＋＝　　　　. 13.如图，在△ABC中，B＝120°，AB＝，AD为角平分线，点D在边BC上，且AD＝，则∠ADB＝　　　　，AC＝　　　　. 14.正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多饰品中就出现了正六角星图案（如图①）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图②）.如图③所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，若｜｜＝2，则·＝　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝（1，0），e2＝（0，1）. （1）求a·b，｜a＋b｜； （2）求a与b的夹角的余弦值. 16.（本小题满分15分）某考古队在科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图①所示，通过测量得到数据AC＝－1，BC＝，AB＝2.（图①中破碎边缘呈锯齿形状） （1）求这个扇形玉佩的半径； （2）现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图②所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角、弧长、面积）. 17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A（2，3），B（1，4），C（3，3）. （1）求向量与 夹角的余弦值； （2）若点D满足//，⊥，求点D的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标. 18.（本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. （1）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； （2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由. 19.（本小题满分17分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形“沟通的桥梁”. （1）如图，在△ABC中，G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交AB，AC于点M，N. （ⅰ）记＝a，＝b，请用a，b表示； （ⅱ）设＝m，＝n（m，n＞0），求4m＋n的最小值； （2）已知点O是△ABC的　　　　，且＝＋，求cos∠BAC. 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答. ①外心（三条边的垂直平分线的交点）； ②垂心（三条高的交点）. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（二）　平面向量及其应用 1.B　2.D　3.C　4.A　5.D 6.B　如图所示，过点E分别作EM⊥DC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，可知四边形DMEN为矩形，不妨设DE＝a＞0，由题意可知：DE＝AF＝AE＝a，在Rt△ADE中，AD＝＝a，则sin∠ADE＝＝，cos∠ADE＝＝，在Rt△DEN中，DN＝DEcos∠ADE＝a，NE＝DM＝DEsin∠ADE＝a，即＝，＝，所以＝＋＝＋＝m＋n.故选B. 7.B　∵C＝，a＝4，S△ABC＝2，∴S△ABC＝absin＝×4×b×＝2，解得b＝.由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos＝10，c＝.由正弦定理可得＝＝＝2，故选B. 8.A　∵（a－b）sin A＝（c＋b）（sin C－sin B），∴由正弦定理可得（a－b）a＝（c＋b）（c－b），∴整理可得a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理可得cos C＝＝＝，∵C∈（0°，180°），∴C＝60°，则sin C＝.∵D为AB的中点，∴＝（＋），故＝（＋2·＋）＝（b2＋a2＋2abcos C），∴4＝b2＋a2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时取等号，∴ab≤.∴△ABC的面积S＝absin C≤. 9.AB　由题意知，是与a同向的单位向量，是与b同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以a，b方向相反.因此，使得＋＝0成立的条件为a＋b＝0和a＝－2b.故选A、B. 10.AD　（＋＋）－（－－）＝（＋）－（－）＝－＝0，A正确；当｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b反向时，a·b＝－1＜0，此时a与b的夹角为180°，B不正确；因为e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为一组基，C不正确；由投影向量的定义知D正确.故选A、D. 11.CD　由（a＋b）∶（c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，可设（t＞0），所以a＝t，b＝t，c＝t，对A，只知道各边的比值关系，并不能确定大小，所以这个三角形不能被唯一确定，故A错误；对B，若b＋c＝8，即b＋c＝4t＝8，所以t＝2，所以a＝7，b＝5，c＝3，所以cos A＝＝＝－，所以A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝×5×3×＝，故B错误；对C，sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝7∶5∶3，故C正确；对D，由cos A＝＝＝－，所以A＝为钝角，故D正确.故选C、D. 12.　解析：＝（a－2，－2），＝（－2，b－2），依题意，有（a－2）（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 13.45°　　解析：在△ABD中，由正弦定理，得sin ∠ADB＝＝＝.由题意知0°＜∠ADB＜60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－120°－45°＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以C＝30°，所以BC＝AB＝.在△ABC中，由余弦定理，得 AC＝ ＝＝. 14.－6　解析：延长CO至正六角星的一个顶点D，如图所示，由题意可知∠AOB＝，则cos∠AOB＝－，根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知＝2＋，所以＝－＝－（2＋），则·＝·（－2－）＝－2×4－2×2×（－）＝－6. 15.解：（1）因为e1＝（1，0），e2＝（0，1）， 所以a＝3e1－2e2＝（3，－2），b＝4e1＋e2＝（4，1）， 所以a·b＝（3，－2）·（4，1）＝12－2＝10，a＋b＝（7，－1）， 所以｜a＋b｜＝＝5. （2）设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 16.解：（1）如图，设扇形的圆心为O，连接CO，BO， 在△ABC中，由余弦定理可得cos∠BAC＝＝＝， 因为∠BAC∈（0，π），可得∠BAC＝， 在△AOB中，因为OA＝OB，则∠ABO＝∠BAC＝，即∠AOB＝， 可得BO＝ABsin∠BAC＝2×＝， 所以这个扇形玉佩的半径为. （2）设扇形的圆心角为α∈（0，π）， 因为cos α＝＝－，可得α＝， 所以扇形的圆心角为，弧长为×＝π，面积为×π×＝. 17.解：（1）因为A（2，3），B（1，4），C（3，3）， 所以＝（2，3），＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1）， 所以cos＜，＞＝＝＝， 故向量与夹角的余弦值为. （2）依题意可得＝（1，4），＝（3，3）， 由//，不妨设＝λ＝（λ，4λ）（λ≠0）， 所以＝＋＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3）， 因为⊥，所以·＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1， 所以＝（1，－1），即D（1，－1）， 所以·＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜｜＝＝， 所以向量在向量上的投影向量为·＝·（1，4）＝（－，－）， 故向量在向量上的投影向量的坐标为（－，－）. 18.解：（1）由2sin C＝3sin A及正弦定理，得2c＝3a. 又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，所以b＝a＋1＝5. 由余弦定理，得cos A＝＝＝， 又A∈（0，π），所以sin A＝. 所以S△ABC＝bcsin A＝×5×6×＝. （2）存在. 由题意知c＞b＞a，要使△ABC为钝角三角形，需cos C＝＝＝＜0，得0＜a＜3. 因为a为正整数，所以a＝1或a＝2. 当a＝1时，b＝2，c＝3，此时不能构成三角形； 当a＝2时，b＝3，c＝4，满足题意. 综上，存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形. 19.解：（1）（ⅰ）设D是BC的中点，连接AD（图略），则＝（a＋b），∵点G是△ABC的重心，∴＝＝（a＋b）. （ⅱ）由（ⅰ）知＝＋＝＋， ∵M，G，N三点共线，G在线段MN上， ∴＋＝1（m＞0，n＞0）， ∴4m＋n＝（4m＋n）（＋）＝×（5＋＋）≥×（5＋2）＝3，当且仅当n＝2m＝1时取等号， ∴4m＋n的最小值为3. （2）设△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.由＝＋可知点O在△ABC的内部. 若选①，如图所示，取AB的中 点M，AC的中点N，连接OM，ON，可知OM⊥AB，ON⊥AC， 从而·＝·＝c2， 即（＋）·＝c2， ∴c2＋bc·cos∠BAC＝c2，故b·cos∠BAC＝c， 同理，·＝·＝b2， 可得c·cos∠BAC＝b， 联立 得cos∠BAC＝. 若选②，由已知得＝－＝－，＝－＝－， 由 得 ∴cos∠BAC＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $