第二章 平面向量及其应用 单元测试（A卷）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

( 第二章 平面向量及其应用（ A 卷） ) 分值：150 分 时间：120分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中,设角的对边分别为,若,则(      ) A. B.3 C. D. 2．已知是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为(      ) A. B. C. D. 3．在中,,,,D为边上一点,且平分,则(      ) A. B. C. D. 4．已知点,,,且,则点P的坐标为(      ) A. B. C. D. 5．在中,,,BE和CD相交于点F,设,,若,则等于(      ) A. B. C. D. 6．若向量,且,则实数m的值为(      ) A. B. C.1 D.或1 7．在中，，，则(      ) A. B. C. D. 8．在平行四边形中，，，则(      ) A.3 B. C.6 D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的取值可以是(      ) A.9 B. C.6 D. 10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是(      ) A.是的充要条件 B.若，则是锐角三角形 C.若，则是直角三角形 D.若，的三角形有两解，则b的取值范围为 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，下列说法正确的是(      ) A.若，则为直角三角形 B.的中线BD的长度有最小值 C.若的平分线BD的长度为，则 D.当为锐角三角形时，b的取值范围是 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量,,若,则_____. 13．已知向量,且,则m的值为_____________. 14．平面向量a，b满足：，，，则a与b的夹角的余弦值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．（13分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且. (1)求角A； (2)若,且边上的中线的长为,求边a的值. 16．（15分）在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若. (1)求a,c的值； (2)求的面积 17．（15分）“我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群孩子在一块麦田里玩,几千万的小孩子,附近没有一个大人,我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者,如图所示,为了分割麦田,他将BD连接,设中边所对的角为,中边所对的角为C,经测量知,. (1)若,求C； (2)霍尔顿发现无论多长,为一个定值,请你验证霍尔顿的结论,并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关,记与的面积分别为和,为了更好地规划麦田,请你帮助霍尔顿求出的最大值. 18．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 19．（17分）化简：(1)； (2). 参考答案 1．答案：A 解析：, 由正弦定理可得即,故, 故选：A. 2．答案：D 解析：因为向量，共线， 所以存在实数，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 3．答案：A 解析：因为,,, 由余弦定理得, 且,则, 由三角形面积公式得, 即,解得. 4．答案：D 解析：因为点,,,则,, 可得,所以点P的坐标为. 5．答案：D 解析：由题意可知,E为中点,,, 所以, 设,则, , 又因为,即, 所以, 设,则, , 所以,解得,, 则,即, 则. 6．答案：D 解析：因为向量,且, 所以,解得或1.故A,B,C错误. 故选：D. 7．答案：D 解析：因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 8．答案：D 解析：在平行四边形中， ，， 所以 . 故选：D 9．答案：AB 解析：因为，，，设，，，则， 即为点到，，三点的距离之和， 则是等腰三角形且是锐角三角形，如图. 由费马点的性质可知， 当点M满足时，点M到三角形三个顶点的距离之和最小，所以， 则的最小值是.故选AB. 10．答案：ACD 解析：对于A，因为，所以由正弦定理可得，所以，反之也成立，所以A正确； 对于B，因为，所以，所以，所以由正弦定理可得，即，由余弦定理得，则A为锐角，但不一定为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，所以，又，所以，故C正确； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即b的取值范围为，故D正确.故选ACD. 11．答案：AC 解析：对于A，由正弦定理，得，因为，所以，故A正确； 对于B，由题知，则，没有最小值，故B错误； 对于C，由得，则，解得，故C正确；对于D，因为，所以，当为锐角三角形时，解得，则，由正弦定理，得，故D错误.故选AC. 12．答案： 解析：向量,,所以, 若,则, 解得. 13．答案： 解析：因为,所以,解得. 14．答案： 解析：由已知， 可知，即， . 故答案为： 15．答案：(1) (2)4 解析：(1)由题意, , , 则, ,,,； (2)由(1)知,又,, 设,则,, 在c中,由余弦定理得：, 即,解得,即. 16．答案：(1), (2). 解析：(1), , ,; (2)的面积. 17．答案：(1)答案见解析 (2)验证见解析,1 (3)14 解析：(1)由,,, 在中,由余弦定理得, 所以. 又,所以是等边三角形, 所以； (2)在中,由余弦定理得 在中,由余弦定理得, 所以为定值； (3), 则, 由(2)知：, 代入上式得：, 配方得：, 又, 所以当时,取到最大值14. 18．答案：(1) (2)5 解析：（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为D，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为5. 19．答案：(1) (2) 解析：(1)； (2). 数学·A卷 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $