第6章 6.3 球的表面积和体积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.3　球的表面积和体积 1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（　　） A.2倍 B.倍 C.2倍 D.3倍 2.用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（　　） A.π B.2π C.4π D.π 3.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是（　　） A. cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 4.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　） A.　　　 B.　　　C.1　　　D. 5.〔多选〕一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A.圆柱的表面积为6πR2 B.圆锥的表面积为3πR2 C.圆锥的表面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 6.〔多选〕已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是（　　） A. B.π C.9π D.13π 7.已知A，B，C为球O球面上的三个点，且△ABC是面积为3的等腰直角三角形，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的体积为　　　 　. 8.设A是半径为2的球O表面上一点，过点A作球O的截面，若OA与该截面的夹角为60°，则该截面的面积是　　　　. 9.已知三个球的半径分别为R1，R2，R3，且满足R1＋2R2＝3R3，则它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是　　　　　　　　，它们相应的体积V1，V2，V3满足的等量关系是　　　　. 10.在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比. 11.某同学在参加实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（　　） A.20π B.16π C.12π D.8π 12.“外圆内方”图案是我国古代建筑和其他用品中常采用的设计，例如古代铜钱的造型便是其中之一，它体现了数学图形的对称美.如图，若铜钱内孔正方形边长与外圆的半径之比为∶3，且铜钱面积为25（π的值取3），现在以铜钱内孔正方形对角线所在直线为轴，将铜钱旋转一周形成一几何体，则该几何体的体积为（　　） A.102 B.104 C.106 D.108 13.过球外一点P作球的三条切线，切点分别为A，B，C，若P，A，B，C是棱长为2的正四面体的顶点，则该球的半径为　　　　. 14.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R（结果用h，r表示）； （2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积. 15.〔多选〕已知三棱锥S-ABC的顶点均在表面积为8π的球O的球面上，SA，SB，SC两两垂直，SA＝2，SB＝，则下列结论中正确的是（　　） A.球O的半径为 B.SC＝ C.点S到平面ABC的距离为 D.点O到平面ABC的距离为 16.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求： （1）棱锥的表面积； （2）内切球的表面积与体积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　球的表面积和体积 1.C　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知＝2，所以R＝r.所以＝＝＝2.即球的体积扩大到原来的2倍.故选C. 2.C　如图OO'＝1，设截面圆半径为r＝AO'，球的半径为R.由题意得截面圆的面积πr2＝2π，解得r＝.在Rt△AO'O中， OO'2＋AO'2＝AO2，即R＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.故选C. 3.D　设球的半径为r，则一个球的体积为πr3，原来水的体积为πr2×8＝8πr2，淹没后球与水的体积为πr2×6r＝6πr3，所以8πr2＋3×πr3＝6πr3，解得r＝4（0舍去），故选D. 4.C　如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心.设△ABC的边长为a，则a2＝，解得a＝3，∴O1A＝××3＝.设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝＝1，即O到平面ABC的距离为1. 5.AD　 由题意圆柱的底面直径与高均为2R，所以圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，故选项A正确.由题意圆锥的底面直径和高均为2R.所以圆锥的表面积为πR2＋πR×R＝（1＋）πR2，故选项B不正确.球的表面积为4πR2，所以圆锥的表面积与球面面积不相等，故选项C不正确.圆柱的体积为V1＝πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为V2＝πR2×2R＝πR3，球的体积为V3＝πR3，所以V1∶V2∶V3＝3∶1∶2 ，故选项D正确.故选A、D. 6.BCD　三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴2R＝＝2，∴R＝，取BC的中点O1，则O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图，当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵OD＝＝＝2，此时截面圆的半径为r＝＝1，∴截面面积为πr2＝π；当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π]. 7.　解析：设等腰直角三角形ABC斜边长为2r，则斜边上的高为r，则·2r·r＝r2＝3，所以球的半径R＝＝2，所以球的体积为×R3＝×8＝. 8.π　解析：设AB是截面圆的直径，则∠OAB为直线OA与该截面的夹角，即∠OAB＝60°，从而△OAB为正三角形，故截面圆的面积为π·12＝π. 9.＋2＝3　＋2＝3 解析：因为S1＝4π，所以R1＝＝，同理可得R2＝，R3＝.由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3.由V1＝π，得R1＝＝.同理可得R2＝＝，R3＝＝.由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3. 10.解：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝. 在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2， 即a2＋＝R2，∴R＝a. 从而V半球＝πR3＝π ＝πa3，V正方体＝a3. 因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2. 11.A　设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2，根据截面圆的周长可得2π＝2πr，则r＝1，由题意知 R2＝r2＋22，即R2＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π. 12.C　铜钱旋转形成的几何体相当于一个球体内部挖去了两个共底的形状相同的圆锥.设外圆的半径和正方形边长分别为3a和a（a＞0），则π·（3a）2－（a）2＝25，解得a＝1.所以外圆的半径为3，正方形边长为，则两个共底的圆锥底面半径和高均为1，所以形成的几何体的体积为π×33－2××π×12×1＝106. 13.　解析：如图所示，设△ABC的中心为H，连接AH，PH，则球心在PH的延长线上，记球心为O.连接OA，OB，OC.依题意知，PA＝2，AH＝，根据勾股定理得PH＝.在Rt△OPA中，由射影定理得PA2＝PH·OP，解得OP＝.又PA是球的切线，所以在Rt△AOP中，AO＝＝，所以该球的半径为. 14.解：（1）如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝，所以球冠所在球的半径R＝. （2）因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250， 又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝，由（1）知R＝， 即65 000＝＋2502， 解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π. 15.ABD　设球O的半径为R，由4πR2＝8π，得R＝，故A正确.将三棱锥S-ABC放置在长方体中，如图所示，由2R＝2＝，得2＝，解得SC＝，故B正确.∵SA＝2，SB＝SC＝，∴AB＝AC＝，BC＝2，则△ABC的面积为×2×＝，设S到平面ABC的距离为d1，由等体积法可得××××2＝××d1，从而可得点S到平面ABC的距离d1＝，故C错误.在△ABC中，cos ∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设△ABC外接圆的半径为r，则r＝＝，又外接球的半径R＝，∴球心O到平面ABC的距离为＝，故D正确.故选A、B、D. 16.解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，则PD＝1. 连接AD并延长交BC于点E，连接PE. 因为P-ABC为正三棱锥， 所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心. 因为AB＝2，所以S△ABC＝×（2）2＝6， DE＝×AB＝，PE＝＝. S△PAB＝S△PBC＝S△PCA＝×2×＝3. 所以S表＝9＋6. （2）设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥. 因为PD＝1，所以VP-ABC＝×6×1＝2. 则由分割前后体积相等可得×（9＋6）r＝2，解得r＝－2， 所以S球面＝4π×（－2）2＝（40－16）π，V球＝（－2）3π. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $