第6章 6 培优课 与球相关的“切”与“接”(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

培优课　与球相关的“切”与“接” 1.若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（　　） A.8　　　　　　　　　　B.8 C.8 D.4 2.已知底面半径为的圆锥的侧面积为6π，则该圆锥的外接球的体积为（　　） A. B.4π C.12π D.16π 3.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A.π B. C. D. 4.三棱锥B-ACD的顶点都在同一球面上，其中BA，BC，BD两两垂直，且BA＝3，BC＝4，BD＝5，则该球的表面积为（　　） A.100π B.64π C.50π D.36π 5.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（　　） A.4π B. C.6π D. 6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A.3π B.4π C.9π D.12π 7.底面为矩形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝2，AD＝2，它的最大体积为，则球O的表面积为（　　） A.10π B.15π C.20π D.25π 8.如图，有一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放入的小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放入的正方体的最大棱长为a，则＝（　　） A. B. C.2－ D.（－1） 9.〔多选〕如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（　　） A.体积之比为 B.体积之比为 C.表面积之比为 D.表面积之比为 10.〔多选〕正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（　　） A. B. C.2 D. 11.〔多选〕已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M，N，若线段MN的最小值为2，则（　　） A.正四面体的外接球的表面积为96π B.正四面体的内切球的体积为8π C.正四面体的棱长为12 D.线段MN的最大值为3 12.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为　　　　. 13.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A-EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为　　　　. 14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求此正四棱锥的底面边长与内切球半径比. 15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. （1）求AB的长度； （2）求该长方体外接球的表面积. 16.一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　与球相关的“切”与“接” 1.A　∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2，不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝，∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8. 2.A　如图所示，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，外接球的半径为R.则πrl＝πl＝6π，解得l＝2，∴h＝＝3，又R2＝（h－R）2＋r2，即R2＝（3－R）2＋3，解得R＝2.∴该圆锥的外接球的体积V＝πR3＝. 3.B　绘制圆柱的轴截面，如图，则A为球的球心，AC为半径.由题意可得AC＝1，AB＝，结合勾股定理，可知底面半径r＝＝.由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积V＝πr2h＝π×（）2×1＝π.故选B. 4.C　在三棱锥B-ACD中，由BA，BC，BD两两垂直，可将该三棱锥补成长方体BCED-AFGH，如图，则长方体的外接球即为所求三棱锥的外接球.连接BG，则长方体BCED-AFGH的体对角线长为BG＝＝5，所以三棱锥B-ACD的外接球的半径R＝＝，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝50π.故选C. 5.B　∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有（6＋8＋10）×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.∴在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝×π×＝. 6.B　设球的半径为R，则有πR3＝π，解得R＝2.设两个圆锥的高分别为h，3h，由题意可知h＋3h＝2R＝4，解得h＝1，即两个圆锥的高分别为1，3，则球心到圆锥的底面的距离d＝R－h＝1.设这两个圆锥的底面半径为r，根据球的截面性质得R2＝d2＋r2，即4＝1＋r2，解得r＝，故两个圆锥的体积之和为πr2（h＋3h）＝π×3×4＝4π，故选B. 7.D　如图所示，矩形ABCD的对角线的交点为O1，当点P在O1O的延长线上，并在球面上时，四棱锥P-ABCD的体积最大，则有×2×2×PO1＝，所以PO1＝4，连接OA，设球O的半径为R，则PO＝OA＝R，OO1＝4－R，O1A＝＝2，在Rt△AO1O中，O＋O1A2＝OA2，即（4－R）2＋22＝R2，所以R＝.则S球＝4πR2＝4π×＝25π. 8.D　根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图①，由可放入的小球的最大半径为r，得（＋1）r＝R，即r＝＝（－1）R. 若可放入的正方体的最大棱长为a，如图②，则有（a）2＋（）2＝R2，得a＝R，则＝＝（－1）.故选D. 9.AC　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2. 10.AB　因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O（图略）.①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝. 11.BC　设这个四面体的棱长为a，四面体可看作由棱长为a的正方体截得的，故四面体的外接球即正方体的外接球，外接球直径为正方体体对角线长，设R外，r内分别为正四面体的外接球、内切球半径，2R外＝a×＝a，∴R外＝a.四面体的高h＝a，设正四面体底面面积为S，根据等体积法得S·h＝4×S·r内，解得r内＝a，依题意得R外－r内＝a－a＝2，∴a＝12，故C正确；正四面体的外接球的半径为×12＝3，则正四面体外接球的表面积为4π×54＝216π，故A错误；正四面体的内切球的半径为×12＝，则内切球的体积V＝π×6＝8π，故B正确；线段MN的最大值为R外＋r内＝3＋＝4，故D错误.故选B、C. 12.9π　解析：因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a，则·a＝1，a＝2，所以圆锥的底面圆半径为，从而圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝π··2＋π·（）2＝9π. 13.　解析：由题意，折叠后的四面体A-EFG如图所示，设正方形边长为a，四面体A-EFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝，易知在折叠后的四面体A-EFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体A-EFG的外接球半径r＝＝a，由4πr2＝，解得r＝，所以a＝r＝×＝. 14.解：上层轮廓近似的正四棱锥如图所示， O'为底面中心，O为内切球球心，OF⊥平面PCD且E为CD中点， 令内切球半径为r，AB＝BC＝CD＝DA＝2a， ∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍， ∴4S△PCD＝2SABCD，即4××PE×CD＝2AD×CD， 故PE＝2a， 则PO'＝a， 又∵＝，即＝， ∴r＝. ∴正四棱锥的底面边长与内切球半径比为2. 15.解：（1）设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能， 如图①的最短路程为AC1＝. 如图②的最短路程为 AC1＝＝， ∵x＞1， ∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为. 由题意得＝2， 解得x＝2. 即AB的长度为2. （2）设长方体外接球的半径为R， 则（2R）2＝12＋12＋22＝6， ∴R2＝， ∴S＝4πR2＝6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 16.解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB外接圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， ∴R3＝729，R＝9， ∴SE＝2R＝18. ∵SD＝16， ∴ED＝2. ∵SE是直径， ∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，AD2＝SD×DE＝16×2＝32， ∴SA＝12，AD＝4， ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. （2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r. ∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32， ∴r×32＝×8×16， 解得r＝4， ∴圆锥内切球的体积 V球＝πr3＝π. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $