第6章 6.2 柱、锥、台的体积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.2　柱、锥、台的体积 1.若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为（　　） A.3π　　　B.π　　　C.π　　　D.π 2.将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为（　　） A.8 cm B.80 cm C.40 cm D. cm 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A.π B.π C.π D.2π 5.〔多选〕如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D.下列说法正确的是（　　） A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 6.〔多选〕如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝m，A1E＝n，DQ＝s，DP＝t（m，n，s，t大于零），则四面体PEFQ的体积（　　） A.与m有关 B.与n有关 C.与s有关 D.与t有关 7.已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝　 　. 8.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为　　　　. 9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　　　　寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 10.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积. 11.斗拱是中国古典建筑中具有装饰性的构件之一，并为中国所特有，图（1）（2）是北京故宫太和殿斗拱实物图，图（3）是斗拱构件之一的“斗”的几何体，是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的高为12 cm，“斗”的密度是0.50 g/cm3.那么这个“斗”的质量是（　　） A.3 990 g　B.3 010 g　C.6 900 g　D.6 300 g 12.〔多选〕某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（　　 ） A.该圆台轴截面ABCD面积为6 cm2 B.该圆台的体积为 cm3 C.该圆台的高为3 cm D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　. 14.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和体积. 15.〔多选〕如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的.假设该沙漏每秒漏下0.02 cm3的细沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（　　） A.沙漏中的细沙体积为 cm3 B.沙漏的体积是128π cm3 C.细沙全部漏入下部后此圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm D.该沙漏的细沙从上部完全漏入下部所需时间大约是1 565秒（π≈3.14） 16.如图，甲、乙是边长为4a的正方形铁皮，现将甲裁剪焊接成一个底面为正方形、侧面为矩形的四棱柱，将乙裁剪焊接成一个底面为正方形的四棱锥，使它们的表面积都等于原正方形的面积（不计焊接缝的面积）. （1）将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中，并作简要说明； （2）试比较你制作的两个几何体体积的大小，并说明你的理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　柱、锥、台的体积 1.B　设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝·2R＝R，所以·2R·R＝，解得R＝1.所以V＝×π×12×＝π. 2.B　设正四棱柱的高为h cm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80（cm）. 3.C　设长方体过同一顶点的棱长分别为a，b，c，则长方体的体积为V1＝abc，四棱锥A1-ABCD的体积为V2＝abc，所以棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为. 4.C　由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥，该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π. 5.AD　以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，∴A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，∴C错误，D正确.故选A、D. 6.AD　连接A1D，B1C，由题图易知，△EFQ的面积为，显然与m有关.当点P变化时，其到平面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体PEFQ的体积变化.故四面体PEFQ的体积与m，t有关，与n，s无关，故选A、D. 7.　解析：由πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为. 8.　解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 9.3　解析：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为×（14＋6）＝10（寸），则盆中水的体积为π×9×（62＋102＋6×10）＝588π（立方寸），所以平地降雨量等于＝3（寸）. 10.解：如图所示，圆柱的高O1O＝PO＝×＝×＝1，圆柱的底面半径r＝AO＝.所以圆柱的体积V＝πr2·O1O＝π××1＝. 11.C　易知棱台的体积V1＝×9×（400＋900＋）＝5 700（cm3）.已知长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体，所以长方体的凹槽的体积是原长方体体积的倍，所以长方体形凹槽的体积V2＝×900×12＝8 100（cm3）.故这个“斗”的质量m＝ρ×（V1＋V2）＝0.50×（5 700＋8 100）＝6 900（g）. 12.BD　由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，可得CD＝4 cm，高O1O2＝＝ cm，故C错误；圆台轴截面ABCD面积为×（2＋4）×＝3 cm2，故A错误；圆台的体积为V＝π（1＋4＋2）×＝π cm3，故B正确； 将圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3 cm，则CP＝＝5 cm，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.故选B、D. 13.　解析：依题意知，四棱锥M-EFGH为正四棱锥，正方形EFGH的边长为＝，四棱锥M-EFGH的高为，所以四棱锥M-EFGH的体积为××＝. 14.解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 易知△AEB∽△AOC， ∴＝， 即＝，∴r＝1， ∴圆柱的上下底面积S底＝2πr2＝2π，圆柱的侧面积S侧＝2πr·h＝2π. ∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝（2＋2）π. V＝πr2h＝π. 15.AC　对于A，设细沙全部在上部时，细沙的底面半径为r，则r＝×4＝（cm），所以细沙的体积V1＝π×（ ）2×＝（cm3），故A正确；对于B，沙漏的体积V2＝2×π×42×8＝（cm3），故B错误；对于C，设细沙全部漏入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知π×42×h1＝，解得h1＝≈2.4（cm），故C正确；对于D，该沙漏的细沙从上部完全漏入下部所需的时间为÷0.02≈×50≈1 985（秒），故D错误.故选A、C. 16.解：（1）裁剪方法如图所示.将正方形甲按图甲中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个小长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的四棱柱. 将正方形乙按图乙中虚线剪开，以两个长方形焊接成的边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，侧面三角形高为3a的四棱锥. （2）由正方形甲裁剪焊接的四棱柱的体积V1＝（2a）2·a＝4a3. 由正方形乙裁剪焊接的四棱锥的高h＝＝2a， 体积V2＝·（2a）2·2a＝a3. 因为42－＝16－＝＞0，即4＞， 所以4a3＞a3，即V1＞V2. 故制作的四棱柱的体积比四棱锥的体积大. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $