第6章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积计算，系统梳理直棱柱、正棱锥、正棱台等多面体及圆柱、圆锥、圆台等旋转体的侧面积与表面积公式，通过侧面展开图建立公式推导逻辑，构建从多面体到旋转体的知识支架，明确公式间内在联系。 以钻石晶体表面积问题引入，培养数学眼光观察现实世界，通过“想一想”环节引导学生发现公式逻辑关系发展数学思维，结合题型分类与通性通法总结，助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 课标要求 1.掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石. 【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　柱、锥、台的侧面积 侧面展开图 面积公式 多面体（三种特例） 直棱柱 S侧＝　　（c为底面周长，h为棱柱的高）； S表＝S侧＋2S底 正棱锥 S侧＝　　　（c为底面周长，h'为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高）； S表＝S侧＋S底 正棱台 S侧＝　　　（c1，c2分别为上、下底面周长，h'为斜高，即侧面等腰梯形的高）； S表＝S侧＋S上底＋S下底 侧面展开图 面积公式 旋转体 圆 柱 S底＝πr2；S侧＝　　　；S表＝2πr（r＋l）（r为底面半径，l为母线长） 圆 锥 S底＝πr2；S侧＝　　；S表＝πr（r＋l）（r为底面半径，l为母线长） 圆 台 S上底＝π，S下底＝π；S侧＝　　　；S表＝π（＋＋r1l＋r2l）（r1，r2分别为上、下底面半径，l为母线长） 【想一想】 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 2.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有什么关系？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.（　　） （2）圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.（　　） （3）三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.（　　） （4）几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.（　　） 2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 3.已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面积是　　　　cm2. 题型一｜简单旋转体的侧面积与表面积 【例1】　 （1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（　　） A.2π∶（1＋2π） B.π∶（1＋π） C.2π∶（1＋π） D.π∶（1＋2π） （2）圆锥的表面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　） A.120°　　B.135° C.150°　　D.180° （3）某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍，则其母线与底面的夹角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 尝试解答 通性通法 简单旋转体侧面积和表面积的求解策略 （1）简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式，灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长（弧长）与原几何体有关量的关系； （2）求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积，关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长，其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. 【跟踪训练】 1.若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为（　　） A.9π B.12π C. D. 2.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则母线与底面所成的角为（　　） A.30°　　　 　　 B.45° C.60° D.75° 3.已知圆台的上、下底面中心分别为O1，O2，过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4，且高为的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（　　） A.3π B.3π C.6π D.6π 题型二｜简单多面体的侧面积与表面积 【例2】　正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）. （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线的夹角为45°，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 尝试解答 通性通法 求多面体的侧面积或表面积的技巧 （1）对于直棱柱、正棱锥、正棱台，求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量，如底面边长、高、斜高等，然后套用公式计算； （2）对于一般的棱柱、棱锥、棱台，求其侧面积时，一般是将其每一个侧面的面积分别求出来，然后相加； （3）注意合理运用多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁，也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁. 【跟踪训练】 已知棱长均为5，四边形ABCD为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. 题型三｜简单组合体的表面积 【例3】　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积. 尝试解答 通性通法 1.求组合体的表面积的基本步骤 （1）弄清楚它是由哪些简单几何体构成的，组成形式是什么； （2）根据组合体的组成形式设计计算思路； （3）根据公式计算求值. 2.求组合体的表面积的注意点 （1）对于由简单几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响； （2）对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化. 【跟踪训练】 1.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为　　　　. 2.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为　　　　. 1.若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形，则该圆锥的表面积是（　　） A.π　　B.π　　C.9π　　D.π 2.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为（　　） A.16 B.48 C.64 D. 3.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是　　　　. 4.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥S-ABCD为阳马，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA＝BC＝AB＝2，则该阳马的表面积为　　　　. 5.如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积. 提示：完成课后作业　第六章　§6　6.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 【基础落实】 知识点 ch　ch'　（c1＋c2）h'　2πrl　πrl　πl（r1＋r2） 想一想 1.提示：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面缩为一个点时，得到圆锥. 由此可得：S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl. 2.提示：当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥. 由此可得：S正棱柱侧＝chS正棱台侧＝（c＋c'）h'S正棱锥侧＝ch'. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××＝a2. 3.2π　解析：根据圆锥的侧面积公式可得S侧＝π×2×＝2π（cm2）. 【典例研析】 【例1】　（1）A　（2）A　（3）C　解析：（1）设圆柱底面半径为r，高为h，则2πr＝h，＝＝＝＝.故选A. （2）设扇形的母线长为l，底面半径为r，则πrl＋πr2＝4πr2，解得l＝3r，所以扇形的圆心角为＝.故选A. （3）设圆台上、下底面圆的半径分别为r，R（R＞r），母线长为l，由题意知，2π（R2－r2）＝πl（R＋r）， 即2（R－r）＝l， 所以圆台的母线与底面的夹角的余弦值为cos θ＝＝，解得θ＝60°.故选C. 跟踪训练 1.A　设圆柱的底面半径为r，则该圆柱的母线长为2r，由于该圆柱的轴截面面积为（2r）2＝4r2＝9，因此，该圆柱的侧面积为2πr·2r＝4πr2＝9π.故选A. 2.B　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，母线与底面所成的角为θ，因为圆锥的侧面积是底面积的倍，则πrl＝πr2，可得l＝r，所以cos θ＝＝，则θ＝45°，因此，母线与底面所成的角为45°.故选B. 3.C　设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，由题意，r1＝1，r2＝2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线，则母线长l＝＝＝2，则该圆台的侧面积S侧＝π（r1＋r2）l＝6π.故选C. 【例2】　解：（1）如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高. 由题意知∠C1CO＝45°， CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝（b－a）. 在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝（b－a）， 又EF＝CE·sin 45°＝（b－a）， ∴C1F＝ ＝ ＝（b－a）. ∴S侧＝（4a＋4b）×（b－a）＝（b2－a2）. （2）∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2， ∴4·（a＋b）·h斜＝a2＋b2， ∴h斜＝. 又EF＝，∴h＝＝. 跟踪训练 　解：∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE（图略）， 则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25， S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25（＋1）. 【例3】　解：如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的.在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝（2a－a）tan 60°＝a， DC＝＝2a， 又DD'＝DC＝2a， 则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底 ＝2π·2a·a＋2π·（2a）2＋π·a·2a－π·a2 ＝（9＋4）πa2. 跟踪训练 1.24＋1.5π　解析：由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，故其表面积S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 2.36　解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，所以S表＝2×22＋4×[22＋（）2＋12]＝36.所以该几何体的表面积为36. 随堂检测 1.D　由已知得该圆锥的底面半径是，母线长为3，因此其底面面积S1＝π·＝π，侧面积S2＝π××3＝π，故其表面积为S＝S1＋S2＝π，故选D. 2.A　如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE为等边三角形PBC边BC上的高，所以PE＝2，则S侧＝4××4×2＝16. 3.8　解析：易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积是4×2＝8. 4.8＋4　解析：由题意知几何体的表面积为：S四棱锥＝2S△SAB＋2S△SBC＋S正方形ABCD＝2×·SA·AB＋2×·BC·SB＋AB·BC＝2××2×2＋2××2×2＋2×2＝8＋4. 5.解：∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4，16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为＝，∴一个侧面等腰梯形的面积为×（2＋4）×＝3，∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $