第6章 5.2 第2课时 平面与平面垂直的判定(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二课时　平面与平面垂直的判定 1.A　①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l⊂β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.∴l∥β是α⊥β的充分不必要条件.故选A. 2.A　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以∠AOC＝90°.又AO＝CO＝BD＝×4＝2，所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，所以AC＝4. 3.C　∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.故选C. 4.D　由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC. 5.BD　因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D. 6.ABC　因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF⊂平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊂平面ABC，AE⊥DF，DF⊂平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确. 7.平面ADD1A1 ，平面BCC1B1　平面ADD1A1，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD　解析：因为长方体的每一表面均为矩形，所以四边形ABCD，CDD1C1均为矩形，所以有CD⊥BC，CD⊥CC1且CC1∩BC＝C，所以CD⊥平面BCC1B1，同理CD⊥平面ADD1A1，同理可得长方体中每条棱与和它相交的平面垂直，所以与平面DCC1D1垂直的平面有：平面ADD1A1，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD. 8.①③⇒②（或②③⇒①）　解析：由α⊥β，β∥γ，可得α⊥γ，故①③⇒②，由α⊥γ，β∥γ，可得α⊥β，故②③⇒①，由α⊥β，α⊥γ，则平面β与平面γ可以平行也可以相交，故①②③. 9. DM⊥PC（答案不唯一）　解析：连接AC（图略），∵四边形ABCD四边相等，∴AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 10.证明：（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，∴O为BD中点. 又E为PB的中点，∴EO∥PD. ∵EO⊄平面PDC， PD⊂平面PDC，∴EO∥平面PDC. （2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC. ∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD. 又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. 11.C　在Rt△ABC中，BC＝，∠BAC＝，则AB＝.因为平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面α，又CP⊂平面α，所以BC⊥CP，得CP＝＝.设∠ABP＝θ（0＜θ＜π），则S△ABP＝AB·BPsin θ，即 ＝××BPsin θ，得BP＝，所以当sin θ＝1，即θ＝，AB⊥BP时，BP取到最小值1，此时CP取到最小值，为＝. 12.②④　解析： 如图，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF∥BD，在△PBD中，PB＝PD＝BD＝AB，所以△PBD为正三角形，则PB与BD的夹角为，即PB与EF的夹角为，所以PB不可能与平面AEF垂直，所以①不正确.由题意可知PA⊥BD，AC⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又EF∥BD，所以EF⊥平面PAC，所以②正确.设AC∩BD＝O，连接PO，交EF于M，连接AM，则AM⊥EF，MO⊥EF，所以∠AMO为平面AEF与平面PBD的夹角，不妨令PB＝PD＝BD＝AB＝2，则AE＝EF＝AF＝1，AO＝1，所以AM＝，MO＝PO＝×＝，在△AMO中，由余弦定理的推论得cos∠AMO＝＝＝，即平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为，所以③不正确.由题意知PD⊥AF，CD⊥平面PAD，因为AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF，又CD∩PD＝D，所以AF⊥平面PCD，又AF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PCD，所以④正确. 13.π　解析：因为DM⊂平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π. 14.解：（1）证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上， 即BO为BC'在平面ABD上的射影，∴C'O⊥AD， ∵AB⊥AD，C'O∩AB＝O，∴AD⊥平面ABC'， ∴BC'⊥AD， ∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D， ∴BC'⊥平面ADC'，又BC'⊂平面DBC'， ∴平面DBC'⊥平面ADC'. （2）由（1）知AD⊥平面C'AB， ∴AD⊥AC'，AD⊥AB， ∴二面角C'-AD-B的平面角是∠C'AB， 又在Rt△ABC'中，AB＝3，AC'＝3， ∴cos∠C'AB＝＝， ∴二面角C'-AD-B的余弦值是. 15.AC　对于A，若BF⊥平面AEF，则BF⊥AF，在Rt△AFB中，AB＝2，BF＝1，则AF＝，∠ABF＝60°，又FG⊥AB，则∠FGB＝90°，所以t＝BG＝BFcos 60°＝，A正确.对于B，若AF⊥平面BEF，则AF⊥BF，AF⊥EF，则AF＝，在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2＝AD2＋DE2，即（）2＋s2＝12＋（2－s）2，解得s＝，B错误.对于C，如图1，过点F作FH⊥BE，垂足为H，连接HG，因为平面BEF⊥平面ABED，平面BEF∩平面ABED＝BE，所以FH⊥平面ABED，所以FH⊥AB，又AB⊥FG，FG∩FH＝F，所以AB⊥平面FHG，所以AB⊥HG.因为s＝1，所以在等腰直角三角形EFB中，BH＝，又∠ABE＝45°，所以在Rt△BGH中，t＝BG＝BHcos 45°＝，C正确. 对于D，若平面AFB⊥平面ABED，因为平面AFB∩平面ABED＝AB，AB⊥FG，所以FG⊥平面ABED，所以FG⊥BE.如图2，过点F作FH⊥BE，垂足为H，连接HG，则易得BE⊥平面FGH，所以BE⊥HG.连接CH，则有C，H，G三点共线.因为∠CGB＋∠GCB＝90°，∠EBC＋∠GCB＝90°，所以∠CGB＝∠EBC，所以Rt△CBG∽Rt△ECB，故＝，又CB＝1，s＝EC＝，所以t＝BG＝，D错误. 16.解：（1）因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB， 因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC， 又因为底面ABCD为正方形， 所以BC⊥AB， 又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB， 因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE， 因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC. （2）如图，取AB的中点M，作MN⊥AF交AF于点N，连接EM，EN， 因为EM为△BPA的中位线，所以EM∥PA，又PA⊥平面ABCD，F∈线段BC， 故EM⊥平面ABF，EM⊥AF，MN⊥AF，EM∩MN＝M， 故AF⊥平面EMN，所以∠MNE即为二面角B-AF-E的平面角，即∠MNE＝60°. 设BC＝2，则BF＝2λ， 因为＝，即＝， 所以MN＝， 又tan∠MNE＝，即＝， 得λ＝. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　平面与平面垂直的判定 1.已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为（　　） A.4 B.4 C.2 D.2 3.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有（　　） A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（　　） A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 5.〔多选〕如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（　　） A.PB⊥AC B.PC⊥BC C.AC⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC 6.〔多选〕如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（　　） A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，与CD垂直的平面有　　　，与平面DCC1D1垂直的平面有　　　　. 8.已知平面α，β，γ.给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　　　　. 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　　　　时，平面MBD⊥平面PCD.（只填写一个你认为正确的条件即可） 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点. 求证：（1）EO∥平面PDC； （2）平面PAC⊥平面PBD. 11.如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一条直角边AC在平面α内，另一条直角边BC长度为，且∠BAC＝，若平面α上存在点P，使得△ABP的面积为，则线段CP长度的最小值为（　　） A.　 　B. C.　 　D. 12.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点.以下四个结论： ①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD. 其中正确的是　　　　. 13.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.则M点的轨迹的长度为　　　. 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上. （1）求证：平面DBC'⊥平面ADC'； （2）求二面角C'-AD-B的余弦值. 15.〔多选〕如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD上一动点，现将△BEC沿BE折起至△BEF，在平面FBA内作FG⊥AB，G为垂足.设CE＝s，BG＝t，则下列说法正确的是（　　） A.若BF⊥平面AEF，则t＝ B.若AF⊥平面BEF，则s＝ C.若平面BEF⊥平面ABED，且s＝1，则t＝ D.若平面AFB⊥平面ABED，且s＝，则t＝ 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）. （1）平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若＝λ，λ为何值时？二面角B-AF-E为60°. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $