课时达标检测(49)平面与平面垂直的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(四十九)　平面与平面垂直的性质 基础达标 　 一、单项选择题 1.下列命题错误的是 (　　) A.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于β B.如果α不垂直于β,那么α内不存在直线垂直于β C.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于β D.若α⊥β,则经过α内一点与β垂直的直线在α内 解析　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB1⊂平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直。故A错误。 答案　A 2. 如图所示,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　) A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 解析　由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直。 答案　D 3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABD翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B⁃AD⁃C的大小为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B⁃AD⁃C的平面角,其大小为60°。故选C。 答案　C 4. 如图所示,在三棱锥P⁃ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则(　　) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 解析　因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB。又因为平面ABC⊥平面PAB,PD⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC。故选B。 答案　B 5.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为 (　　) A.a B.a C.a D.a 解析　 设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE。则BD⊥CE,BD⊥A1E。于是∠A1EC为二面角A1⁃BD⁃C的平面角。故∠A1EC=60°。因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形。所以A1E=CE=A1C=a。 答案　C 6. 如图所示,三棱锥P⁃ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 (　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 解析　因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC。又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°。所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点。故选D。 答案　D 二、多项选择题 7.下列命题中正确的是 (　　) A.两个相交平面组成的图形叫作二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 解析　由二面角及其平面角的概念知B,D正确。 答案　BD 8.下列说法错误的是 (　　) A.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 B.如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,那么它必和另一个平面平行 C.如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在第一个平面内 D.过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直 解析　对于A,过平面外一点可作无数个平面与已知平面垂直,故A错误;对于B,如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,那么它和另一个平面平行或在另一个平面内,故B错误;对于C,如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线一定在第一个平面内,C正确;对于D,过不在平面内的一条直线可以作一个或无数个平面与已知平面垂直,故D错误。故选ABD。 答案　ABD 三、填空题 9.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　。  解析　因为α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,所以n⊥α。又m⊥α,所以m∥n。 答案　平行 10.从空间一点P向二面角α⁃l⁃β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α⁃l⁃β的平面角的大小为　　　　。  解析　若点P在二面角内部,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外部,则二面角的平面角为60°。故二面角α⁃l⁃β的平面角的大小为60°或120°。 答案　60°或120° 11. 如图,在三棱锥P⁃ABC中