第6章 5.2 第1课时 二面角及平面与平面垂直的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.2　平面与平面垂直 第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质 1.A　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME⊂平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故选A. 2.D　如图所示，过P作PO⊥β，垂足为O，则PO＝m.作PH⊥l，垂足为H，则PH＝2m.连接HO.因为PO⊥β，所以PO⊥l.又PH∩PO＝P，PH，PO⊂平面OPH，所以l⊥平面OPH，所以OH⊥l，所以二面角α-l-β的平面角为∠PHO或其补角.在Rt△PHO中，sin∠PHO＝＝＝，所以∠PHO＝30°.所以二面角α-l-β的大小为30°或150°. 3.C　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C. 4.C　当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾.所以a与b不可能垂直. 5.BCD　对于A，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，不能推出；对于B，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，能推出；对于D，AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；故选B、C、D. 6.BC　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，由面面垂直的性质定理知，C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确；故选B、C. 7.　解析：如图所示，由于BC⊥A1B，BC⊥AB，所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角，根据正方体的性质可知∠A1BA＝. 8.1　解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝ ＝1. 9.2　解析：由题意得PA＝PB＝2.如图，取AC的中点H，连接PH，PO，OH，则∠APO＝∠BPO＝，故OP＝1，AO＝OB＝.连接OC，因为PA＝PC，OA＝OC，所以PH⊥AC，OH⊥AC，故∠PHO即为二面角P-AC-B的平面角，即∠PHO＝，故OH＝OP＝1，PH＝OP＝.在△AOC中，AH＝HC＝＝＝，则AC＝2，所以△PAC的面积为AC×PH＝×2×＝2. 10.证明：如题图①，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，过C作CE⊥AB，E为垂足（图略）， ∴四边形AECD为正方形， ∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 如题图②，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 11.A　连接AB'，A'B（图略），由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝.设AB＝2a，则BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos ＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2∶1. 12.ABC　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB的夹角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误，故选A、B、C. 13.45°　解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°. 14.证明：（1）因为平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，PD⊥BC， 所以PD⊥平面ABC. （2）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC， AB⊂平面ABC，AB⊥BC， 所以AB⊥平面PBC， 因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB. 又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB， 所以CP⊥平面PAB. 又PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA. 15.ABC　如图所示，对于A，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，折叠后△ABD，△BCD是等腰直角三角形，BD⊥AE，BD⊥CE，又AE∩CE＝E，所以BD⊥平面AEC，又AC⊂平面AEC，所以AC⊥BD，故A项正确；对于B，设折叠前正方形的边长为a，则BD＝a，所以AE＝EC＝a，因为E是BD的中点，△ABD是等腰直角三角形，所以BD⊥AE，又平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，又CE⊂平面BCD，所以AE⊥CE，所以AC＝＝＝a，所以△ACD是等边三角形，故B项正确；对于C，设折叠前正方形的边长为a，则取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，所以EF􀱀CD＝a，FG􀱀AB＝a，所以∠GFE是直线AB与CD的夹角（或补角），在Rt△AEC中，EG＝AC＝a，所以△EFG是等边三角形，所以∠GFE＝60°，所以AB与CD的夹角为60°，故C项正确；对于D，由B选项知，AE⊥平面BCD，BE是直线AB在平面BCD内的射影，所以∠ABE是直线AB与平面BCD的夹角，因为E是BD的中点，Rt△ABD是等腰直角三角形，所以AE＝BE＝BD，AE⊥BE，所以△ABE是等腰直角三角形，即∠ABE＝45°，所以AB与平面BCD的夹角为∠ABE＝45°，故D项错误.故选A、B、C. 16.证明：（1）如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA. 作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. ∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面ABC. （2）如图，连接BE并延长交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE. ∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 由（1）知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　二面角及平面与平面垂直的性质 1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（　　） A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 2.已知二面角α-l-β，P∈α，点P到β的距离为m，点P到l的距离为2m，则二面角α-l-β的大小为（　　） A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　） A.30°　　　B.45° C.60°　　　D.90° 4.设α-l-β是直二面角，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b与直线l都不垂直，那么（　　） A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直，也可能平行 C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行 5.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，能推出AP⊥BC的条件是（　　 ） A.AP⊥PB，BC⊥PB B.AP⊥PB，AP⊥PC C.平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 6.〔多选〕已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（　　） A.若α∥β，l∥β，则l∥α B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β C.若α⊥β，α∩β＝a，m⊂β且m⊥a，则m⊥α D.若α⊥β，l∥β，则l⊥α 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的大小是　　　　　. 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝　　　　. 9.如图，已知圆锥的母线长为2，轴截面为△PAB，且∠APB＝，O为底面圆的圆心，若C为底面圆周上异于A，B的一点，且二面角P-AC-B的大小为，则△PAC的面积为　　　　. 10.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC.求证：BC⊥平面ACD. 11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'＝（　　） A.2∶1　 　B.3∶1 C.3∶2　 　D.4∶3 12.〔多选〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（　　） A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB的夹角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 13.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是　　　　. 14.如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC. （1）若PD⊥BC，求证：PD⊥平面ABC； （2）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA. 15.〔多选〕如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则下列四个结论中正确的是（　　） A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.AB与CD的夹角为60° D.AB与平面BCD的夹角为60° 16.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足. （1）求证：PA⊥平面ABC； （2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $