第6章 5.1 第2课时 直线与平面垂直的判定(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第二课时　直线与平面垂直的判定 1.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（　　） A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D.若m⊂α，l⊥n，n⊥α，则l∥m 2.已知两平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　） A.m∥l　　　B.m∥n　　C.n⊥l　　D.m⊥n 3.已知过平面α外一点A的斜线l与平面α的夹角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是（　　） A.3π B.2π C.π D. 4.已知直线a，b，l和平面α，a⊂α，b⊂α，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　） A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 6.〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（　　） A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF 7.如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥平面☉O，C为圆周上一点，若AB＝5 cm，AC＝2 cm，则点B到平面PAC的距离为　　　　. 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是　　　　. 9.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足　　　时，空间四边形中的两条对角线互相垂直.（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情况） 10.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝. （1）求证：PA⊥平面ABC； （2）过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使是PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由. 11.〔多选〕如图，在以下正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（　　） 12.〔多选〕如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（　　） A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD的夹角等于SC与平面SBD的夹角 D.AB与SC的夹角等于DC与SA的夹角 13.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C为下底面圆周上的一个动点，点C绕着下底面圆旋转一周，则△ABC的面积的取值范围为　　　　. 14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD上的投影O恰在AB上. （1）求证：BC'⊥平面AC'D； （2）求直线AB与平面BC'D夹角的正弦值. 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1.（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 16.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C. （1）证明：B1C⊥AB； （2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　直线与平面垂直的判定 1.B　对于A，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故B正确；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，所以l∥n，故C错误；对于D，若m⊂α，l⊥n，n⊥α，则l与m相交、平行或异面，故D错误.故选B. 2.C　如图所示，可排除A，B，D；因为平面α，β交于直线l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 3.A　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α的夹角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π.故选A. 4.B　由a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，不明确a，b是否相交，所以不能推出l⊥α.若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任意一条直线，故l⊥a，l⊥b.所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件. 5.ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确. 6.BC　由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，则AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确.故选B、C. 7. cm　解析：∵C为圆周上一点，AB为直径，∴BC⊥AC，又PA⊥平面☉O，BC⊂平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，即BC为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中，BC＝＝＝（cm）. 8.线段B1C 解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1. 9.AC⊥BD（答案不唯一） 解析：在平面四边形ABCD中，设AC与BD交于点E，假设AC⊥BD，则AE⊥BD，CE⊥BD.沿BD折叠后（如图），AE与BD，CE与BD依然垂直，所以BD⊥平面AEC，所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时，空间四边形中的两条对角线互相垂直. 10.解：（1）由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB. 又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC. （2）假设在AB上存在一点E，使得PB⊥平面CEF. 因为CE⊂平面CEF，所以PB⊥CE. 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CE. 又PA∩PB＝P，所以CE⊥平面PAB. 因为AB⊂平面PAB，所以CE⊥AB. 设BE＝x，因为AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，所以△BEC∽△BCA，所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝， 故在AB上存在点E满足题意，且BE＝. 11.BD　由异面直线AB与CE的夹角为45°，知直线AB与平面CDE不垂直，A错误；易得AB⊥CE，AB⊥ED，又CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE，B正确；由异面直线AB与CE的夹角为60°，知直线AB与平面CDE不垂直，C错误；连接AC（图略），因为ED⊥AC，ED⊥BC，AC∩BC＝C，所以ED⊥平面ABC，所以ED⊥AB.连接AD（图略），因为CE⊥AD，CE⊥BD，AD∩BD＝D，所以CE⊥平面ABD，所以CE⊥AB.又ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 12.ABC　A中结论正确，因为SD⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，而BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD.所以AC⊥SB.B中结论正确，因为AB∥CD，而CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.C中结论正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，如图，则SA与平面SBD的夹角为∠ASO，SC与平面SBD的夹角为∠CSO，易知∠ASO＝∠CSO，故SA与平面SBD的夹角等于SC与平面SBD的夹角.D中结论不正确，AB与SC的夹角是∠SCD，而DC与SA的夹角是∠SAB，易知∠SCD≠∠SAB.故夹角不相等. 13.[2，]　解析：如图，过C作CD垂直上底面圆于D，则CD⊥AB，过D作DE⊥AB于E，连接CE，所以AB⊥平面CDE，所以AB⊥CE，则CE即点C到AB的距离.又DE∈[0，1]，CD＝2，所以在Rt△CDE中，CE＝∈[2，]，所以△ABC的面积S＝AB·CE∈[2，]. 14.解：（1）证明：因为点C'在平面ABD上的投影O在AB上， 所以C'O⊥平面ABD，又因为DA⊂平面ABD，所以C'O⊥DA. 又因为DA⊥AB，AB∩C'O＝O，AB，C'O⊂平面ABC'， 所以DA⊥平面ABC'，因为BC'⊂平面ABC'，所以DA⊥BC'. 又因为BC⊥CD，所以BC'⊥C'D. 因为DA∩C'D＝D，DA，C'D⊂平面AC'D， 所以BC'⊥平面AC'D. （2）如图所示，过A作AE⊥C'D，垂足为E. 因为BC'⊥平面AC'D， 所以BC'⊥AE. 又因为AE⊥C'D，BC'∩C'D＝C'， C'D，BC'⊂平面BC'D， 所以AE⊥平面BC'D. 连接BE，则BE是AB在平面BC'D上的投影， 故∠ABE就是直线AB与平面BC'D的夹角. 由（1）知DA⊥平面ABC'，所以DA⊥AC'. 在Rt△AC'B中，AC'＝＝3. 在Rt△BC'D中，C'D＝CD＝3. 在Rt△C'AD中，由面积关系，得AE＝＝＝. 所以在Rt△AEB中， sin∠ABE＝＝＝. 即直线AB与平面BC'D的夹角的正弦值为. 15.A1C1⊥B1C1（答案不唯一） 解析：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下.连接B1C（图略），∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C.∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1，又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，且CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1.∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC，B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，故AB1⊥BC1.∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1. 16.解：（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形， 所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO， 故B1C⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB. （2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC. 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝. 由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝. 又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $