课时达标检测(48)直线与平面垂直的综合应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(四十八)　直线与平面垂直的综合应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.下列四个命题中,不正确的是 (　　) A.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直 B.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线 C.若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直 D.若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直 答案　A 2. 如图,在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成的角的正切值为 (　　) A.2 B.1 C. D. 解析　连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角。在Rt△FBE中,BF=1,BE=,则tan∠FEB===。故选D。 答案　D 3.下列条件中,能使直线m⊥平面α的是 (　　) A.m⊥b,m⊥c,b⊂α,c⊂α B.m⊥b,b∥α C.m∩b=A,b⊥α D.m∥b,b⊥α 解析　由线面垂直的判定定理易知D正确。 答案　D 4.正三棱柱ABC⁃A1B1C1的底面边长为1,侧棱长为,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　 如图,取A1B1的中点E,连接C1E,AE。由正三棱柱的性质,得平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1。又C1E⊥A1B1,所以C1E⊥平面ABB1A1,所以∠C1AE为AC1与侧面ABB1A1所成的角。因为AB=1,C1C=,所以在Rt△C1EA中,C1E=,AE=,所以tan∠C1AE==,所以∠C1AE=30°,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。故选A。 答案　A 5.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 解析　因为α∩β=l,所以l⊂α,又BA⊥α,所以BA⊥l。同理BC⊥l。又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC。因为AC⊂平面ABC,所以l⊥AC。 答案　C 6. 三棱柱A1B1C1⁃ABC中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　) A.CC1与B1E是异面直线 B.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1 C.AC⊥平面ABB1A1 D.A1C1∥平面AB1E 解析　对于A,CC1,B1E都在平面BB1C1C内,两直线必相交,故错误;对于B,AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故AE与B1C1是异面直线,底面A1B1C1是正三角形,E是BC中点,所以AE⊥BC,所以AE⊥B1C1,故正确;对于C,上底面ABC是一个正三角形,不可能存在AC⊥平面ABB1A1,故错误;对于D,因为A1C1∥AC,AC∩平面AB1E=A,所以A1C1与平面AB1E不平行,故错误。 答案　B 二、多项选择题 7.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 (　　) A　　B C　　D 解析　对于A,由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE。故选BD。 答案　BD 8. 如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则 (　　) A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B.△DB'C的面积最大值为 C.当∠B'DC=60°时,点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC=90°时,点C到平面ADB'的距离为 解析　因为AD⊥DC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,所以AD⊥平面DB'C,故A正确;当DB'⊥DC时,△DB'C的面积最大,最大值为××=,故B错误;当∠B'DC=60°时,△DB'C是等边三角形,设B'C的中点为E,连接AE,DE,则AE⊥B'C,即AE为点A到B'C的距离,AE==,故C正确;当∠B'DC=90°时,CD⊥DB',CD⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平面ADB'的距离,则CD=,故D正确。 答案　ACD 三、填空题 9.如图,半径为1的圆O在平面α内,PO⊥平面α。直线l⊂α,且直线l和圆O相切,若PO=2,则点P到直线l的距离为　　　　。  解析　设直线l和圆O相切于点A,连接OA,PA,则l⊥OA,因为PO⊥平面α,直线l⊂α,