第6章 5.1 第1课时 直线与平面垂直的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

第一课时　直线与平面垂直的性质 1.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若l⊥m，m⊥n，则l∥n； ②若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n； ③若m∥α，n∥β，α⊥β，则m∥n； ④若l与α，β的夹角相等，且m⊥α，n⊥β，则l与m，n的夹角相等. 其中为真命题的是（　　） A.①和②　　　　　 　 B.①和③ C.②和④ D.①和④ 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3，则点B到上底面A1B1C1D1的距离为（　　） A.4　　　 B.2　　　 C.2　　　 D.3 3.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α外，AB⊂α，AC，BC与平面α所成的角分别为45°，30°，AB＝，则点C到平面α的距离为（　　） A. B.2 C.1 D.2 4.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α的夹角分别为30°和45°，则FG到平面α的距离是（　　） A. cm B. cm C.2 cm D.2 cm 6.〔多选〕《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作，其下阕为“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄.多情却被无情恼.”假如将墙面看作一个平面，墙外的道路、墙里秋千绳和秋千板简单看作直线，道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么佳人在荡秋千的过程中（　　） A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直 C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直 7.如果两直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b的位置关系为　　　　. 8.已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，则直线AB与平面α的位置关系是　　　　. 9.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α夹角的大小是　　　　. 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3 cm，AB＝4 cm，AD＝5 cm. （1）求点A1到点C的距离； （2）求点A1到棱BC的距离； （3）求棱A1B1到平面ABCD的距离. 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D⊥平面ACD1，M为棱BB1的中点，则直线MC与平面ACD1夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biē nào），如图所示的三棱锥P-ABC为一鳖臑，且PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB，若∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝γ，则下列关系正确的是（　　） A.cos γ＝cos α·cos β B.cos α＝cos β·cos γ C.sin γ＝sin α－sin β D.sin α＝sin β－sin γ 13.如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是　　　　. 14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离. 15.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. （1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的　　　　心； （2）若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的　　　　点； （3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的　　　　心. 16.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求D1A与底面ABCD夹角的大小； （2）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的余弦值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的性质 1.C　若l⊥m，m⊥n，则l，n可能平行、相交或异面，①错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，所以m∥n，②正确；若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可能平行、相交或异面，③错误；由线面角的定义可知④正确.所以真命题的序号是②和④，故选C. 2.D　∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长即为点B到平面A1B1C1D1的距离，又∵BB1＝3，∴选D. 3.C　如图，过C作CH⊥α于H，连接AH，BH，则∠CAH＝45°，∠CBH＝30°.在Rt△CHA和Rt△CHB中，AC＝＝CH，BC＝＝2CH.在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，即2CH2＋4CH2＝6，得CH＝1，即点C到平面α的距离为1. 4.B　设正四棱锥P-ABCD的侧棱长为1，连接底面对角线AC，则AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC的中点为O ，由P-ABCD为正四棱锥知，PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B. 5.B　如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. 6.ACD　由“秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行”可大致想象秋千的放置位置，显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路的夹角在不断变化.秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直.故选A、C、D. 7.相交、平行、异面均有可能 解析：构造几何模型正方体ABCD-A1B1C1D1，其中a，b，a'，b'与平面α夹角都为45°，a∩b＝B，a'∥b，a'与b'异面. 8.AB∥α　解析：如图，作AA'⊥α，BB'⊥α，垂足分别为A'，B'，则AA'∥BB'.又AA'＝BB'，∴四边形ABB'A'为平行四边形.∴AB∥A'B'.又AB⊄平面α，A'B'⊂平面α，∴AB∥α. 9.30°　解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°. 10.解：（1）如图，连接A1C，AC， ∵AA1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AA1⊥AC，由勾股定理，得A1C＝ ＝＝5（cm）. ∴点A1到点C的距离是5 cm. （2）如图，连接A1B，∵BC⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1， ∴A1B⊥BC.∴A1B就是点A1到棱BC的距离，A1B＝＝＝5（cm）. ∴点A1到棱BC的距离是5 cm. （3）显然棱A1B1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD， ∴A1A就是棱A1B1到平面ABCD的距离， ∵A1A＝3 cm，∴棱A1B1到平面ABCD的距离是3 cm. 11.C　如图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OM，因为B1D⊥平面ACD1，且OM∥B1D，所以OM⊥平面ACD1，所以CO即为CM在平面ACD1上的射影，所以∠MCO为MC与平面ACD1的夹角.设正方体棱长为1，则MC＝＝，OM＝B1D＝，所以sin∠MCO＝＝. 12.A　因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，故PA⊥AC，而BC⊥平面PAB，PB，AB⊂平面PAB，故BC⊥PB，BC⊥AB，因为∠PCA＝α，∠ACB＝β，∠PCB＝γ，所以cos γ＝，cos α＝，cos β＝，所以cos γ＝cos α·cos β，故选A. 13.　解析：如图，PC⊥平面ABCD，则PA是最长的棱，连接AC，因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PC⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，且边长为1，所以AC＝，所以PA＝＝＝. 14.解：由题意知A1B1∥EF，且A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则A1B1到平面D1EF的距离为A1到平面D1EF的距离. 设A1到平面D1EF的距离为h. 易知EF⊥平面D1A1E， 所以EF⊥D1E. 连接A1F（图略）， 对于三棱锥A1-D1EF，有＝，所以·EF＝·h. 由题意，得A1E＝，EF＝1，D1A1＝1， 在Rt△D1A1E中，可得D1E＝， 所以＝×1×＝， ＝×1×＝， 所以××1＝×h， 可得h＝. 15.（1）外　（2）中　（3）垂　解析：（1）易证△POA≌△POB≌△POC，故OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心. （2）由∠C＝90°，得△ABC是直角三角形，因而O是AB边的中点. （3）易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC.而PO⊥平面ABC， 所以PO⊥BC.从而BC⊥平面PAO， 所以BC⊥AO. 同理AC⊥BO. 所以O为△ABC的垂心. 16.解：（1）因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角. 因为侧面A1ADD1是正方形，所以∠D1AD＝45°. 即D1A与底面ABCD的夹角为45°. （2）如图，连接BD，则BD＝a.因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1BD是D1B与底面ABCD的夹角，同时DD1⊥DB. 在Rt△D1BD中，DD1＝a，BD＝a，D1B＝a， 所以cos∠D1BD＝＝＝. 即D1B与底面ABCD夹角的余弦值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $