第6章 4.2 平面与平面平行(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.2　平面与平面平行 1.B　因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α. 2.B　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB. 3.B　由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形EFGH为平行四边形. 4.A　因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，B1C＝平面BCC1B1∩平面AB1C，平面AB1C∩平面ADD1A1＝l，所以l∥B1C.对于A，因为A1D∥B1C，所以l∥A1D，故A正确；对于B，因为B1D与B1C相交，所以l与B1D不平行，故B错误；对于C，因为C1D与B1C不平行，所以l与C1D不平行，故C错误；对于D，因为DD1与B1C不平行，所以l与DD1不平行，故D错误.故选A. 5.BD　A项，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；B项，若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，由面面平行的判定可得α∥β，正确；C项，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；D项，若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理得a∥b，正确.故选B、D. 6.ABD　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选A、B、D. 7.①③④⇒②　解析：因为α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得：m∥n. 8.平行四边形　解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形.因为A1B1􀱀C1D1，所以AB􀱀CD，从而四边形ABCD为平行四边形. 9.　7　解析：因为α∩平面GBD＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，同理可证AE∥BF.因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，所以＝＝＝.同理＝，所以＝，AE＝7. 10.证明：易知BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D， 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 11.A　分别取CD，SC的中点M，N，连接MN，ME，NE（图略），因为E是BC的中点，所以EM∥BD，EN∥SB，又EM，EN⊄平面SBD，BD，SB⊂平面SBD，所以EM∥平面SBD，EN∥平面SBD.因为EM∩EN＝E，EM，EN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面SBD，所以当P在MN上移动时，PE⊂平面EMN，此时能够保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是选项A. 12.ABC　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确. 13.　解析：如图，过点E，F作棱BB1的平行线，分别交B1C1，BC，C1D1，CD于点P，Q，M，N，连接QN，MP.因为PQ⊄平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，所以PQ∥平面BB1D1D，又EF∥平面BB1D1D，EF∩PQ＝E，EF，PQ⊂平面PQNM，所以平面PQNM∥平面BB1D1D.因为平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝PM，平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D＝B1D1，因此PM∥B1D1.设C1M＝x（0≤x＜2），则PE＝C1P＝C1M＝x，MF＝MD1＝2－x，PM＝x，又四边形PQNM为矩形，所以EF＝＝＝≥，当且仅当x＝时取等号，所以EF长度的最小值为. 14.证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 15.ACD　如图所示，对于A，取线段BB1的中点G，连接A1G，EG，B1E，B1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，因为F，G分别为AA1，BB1的中点，所以A1F∥BG且A1F＝BG，所以四边形A1FBG为平行四边形，所以BF∥A1G，同理可得D1E∥A1G，故D1E∥BF，因为D1E⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，所以D1E∥平面BDF，又DB∥D1B1，所以D1B1∥平面BDF，又D1E∩D1B1＝D1，D1E，D1B1⊂平面B1D1E，所以平面B1D1E∥平面BDF，因为B1M⊂平面B1D1E，所以B1M∥平面BDF，A正确；对于B，由A选项知平面BDF∥平面 B1D1E，又A1M⊄平面B1D1E，所以A1M与平面BDF不平行，B错误；对于C，若点M位于点E处，连接CG，FG，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为F，G分别为AA1，BB1的中点，所以FG∥CD且FG＝CD，所以四边形CDFG为平行四边形，故DF∥CG，同理可证B1E∥CG，则B1E∥DF，故当点M与点E重合时，B1M∥DF，C正确；对于D，假设存在点M，使得直线A1M与直线BF共面，则A1，B，F，M四点共面，即M∈平面A1BF，事实上，点M∈/平面A1BF，假设不成立，故对任意的点M，直线A1M与直线BF异面，D正确. 16.解：当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC. 因为M是PE的中点，所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点， 连接BM，BD，如图所示， 设BD∩AC＝O，则O为BD的中点. 连接OE，则BM∥OE. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BM∥平面AEC. 因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，且FM∩BM＝M， 所以平面BFM∥平面AEC. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　平面与平面平行 1.直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（　　） A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是（　　） A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（　　） A.梯形 B.平行四边形 C.梯形或平行四边形 D.不确定 4.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则（　　） A.l∥A1D B.l∥B1D C.l∥C1D D.l∥D1D 5.〔多选〕已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（　　） A.若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β B.若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β C.若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β D.若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b 6.〔多选〕对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有（　　） A.存在平面γ，使得α，β都平行于γ B.平面α内的任意一条直线都平行于β C.α内有不共线的三点到β的距离相等 D.存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β 7.直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.其中一些关系作为条件，另一些关系作为结论，组成一个正确的推理应是　　　　　　. 8.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是　　　　. 9.如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则＝　　　　，若BF＝4，则AE＝　　　　. 10.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 11.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（　　） 12.〔多选〕如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中（　　） A.平面EFGH∥平面ABCD B.BC∥平面PAD C.AB∥平面PCD D.平面PAD∥平面PAB 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若在线段BC1和线段CD1上分别取点E，F，使得EF∥平面BB1D1D，则EF长度的最小值为　　　　. 14.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 15.〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，M是线段D1E上的动点（包括端点），下列说法正确的是（　　） A.对于任意M点，B1M与平面BDF平行 B.存在M点，使得A1M与平面BDF平行 C.存在M点，使得直线B1M与直线DF平行 D.对于任意M点，直线A1M与直线BF异面 16.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？证明你的结论. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $