第6章 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 1.下列说法正确的是（　　） A.一个多面体可以有三个面 B.一个旋转体的轴一定在旋转体内 C.多面体与旋转体都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点 D.旋转体的表面可以含有平面多边形 2.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（　　） 3.已知圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（　　） A.10 cm　　　　　　B.20 cm C.20 cm D.10 cm 4.一平面α截球O得到半径为 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则球的半径是（　　 ） A.9 cm B.3 cm C.1 cm D.2 cm 5.〔多选〕用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（　　 ） A.矩形 B.圆形 C.梯形 D.三角形 6.〔多选〕下列关于圆柱的说法中正确的是（　　 ） A.圆柱的所有母线长都相等 B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 7.用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：　　　（填序号）. ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球. 8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是　　　　. 9.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中轴截面的面积为　　　　cm2. 10.已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长. 11. 碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比约为（木桩的直径忽略不计）（　　） A.1∶2　　B.1∶3　　C.1∶4　　D.2∶3 12.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的最大的截面的面积之比为（　　） A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3 13.如图所示，圆台的上底面半径为2 cm，下底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则轴截面相对顶点A，C在圆台侧面上的最短距离为　　　　. 14.某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12 cm，高为8 cm.该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的半径. 15.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个平行于底面且与圆柱下底面距离等于l的平面去截此几何体，则所得截面的面积S＝　　　 （用已知量R，l表示）. 16.用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥SO底面圆的半径是2，轴截面SAB的面积是4. （1）求圆锥SO的母线长； （2）过圆锥SO的两条母线SB，SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 1.C　 一个多面体至少有四个面，故A不正确；救生圈可看成是圆沿圆外一条直线旋转形成的旋转体，此时该直线在旋转体外，故B不正确；C显然正确；旋转体的表面是曲面，也可含有平面图形（如圆面），但不能是平面多边形，故D不正确. 2.D　图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成. 3.A　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设为h cm.这个等腰三角形的腰长为20 cm，顶角的一半为30°.故h＝20cos 30°＝10（cm）. 4.B　作出对应的截面图，∵截面圆的半径为，即BC＝，∵球心O到平面α的距离为2，∴OC＝2，设球的半径为R，在Rt△OCB中，OB2＝OC2＋BC2＝4＋（）2＝9.即R2＝9，解得R＝3.故选B. 5.AD　根据圆台的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆台轴所在直线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故选A、D. 6.ABD　圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，都相等，所以A正确.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分或矩形，所以C错误.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选A、B、D. 7.①②③⑤　解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥. 8.3　解析：如图所示，设上、下两个平行截面半径分别为r1，r2，球的半径为R.因为两个平行截面的面积分别为5π，8π，所以两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.因为球心到两个截面的距离分别为d1＝，d2＝，所以d1－d2＝－＝1，所以R2＝9，所以R＝3. 9.24　解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底面半径为4 cm，其轴截面的面积为3×8＝24 cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm，其轴截面的面积为4×6＝24 cm2. 10.解：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A'O'＝1 cm，SA＝12 cm. 由＝，得SA'＝·SA＝×12＝6（cm）. 所以AA'＝SA－SA'＝12－6＝6（cm）. 所以圆台的母线长为6 cm. 11.B　设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆盘的半径为h，则3×2πr＝2πh，∴h＝3r，∴碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3，故选B. 12.C　设该球与截面圆的半径分别为R，r，则R2＝（）2＋r2，得＝. 13.6 cm　解析：如图所示，沿母线AD剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段AC的长.设圆台的上底面、下底面半径分别为r1 cm，r2 cm，侧面展开图圆心角为θ，因为OC＝＝（cm），OB＝＝（cm），所以BC＝OB－OC＝－＝＝6，所以θ＝.又B，C分别为所在弧的中点，所以在等腰△AOB中，∠AOB＝，所以△AOB是等边三角形.因为在扇形OCD中，OC＝＝6（cm），而BC＝6 cm，所以C为OB的中点，所以AC＝6 cm，即A，C两点在圆台侧面上的最短距离为6 cm. 14.解：根据题意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC， 所以CE＝BC＝6 cm，所以AB＝AC＝＝＝10 cm. 设内切球的半径为R，根据等面积法得×12×8＝×（10＋10＋12）×R，解得R＝3，故此球的半径为3 cm. 15.π（R2－l2） 解析：该几何体的轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径为O1D.∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形.又CD∥OA，∴CD＝BC＝R－l.∴O1D＝R－CD＝l.故所求截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）. 16.解：（1）因为轴截面SAB的面积为×4×SO＝4，所以SO＝2， 所以圆锥SO的母线长l＝＝4. （2）在轴截面SAB中，SO＝2，SA＝4，SO⊥OA， 所以∠SAB＝，所以∠ASB＝. 故0＜∠BSC≤. 由三角形的面积公式，得S△SBC＝×SC×SBsin∠BSC＝l2sin∠BSC＝8sin∠BSC， 所以当∠BSC＝时，截面SBC的面积取得最大值，最大值为8. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $