课时分层评价45 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价45　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.下列几何体中为球的是(　　) 答案：C 解析：A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为球，D选项可能为棱台.故选C. 2.一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是(　　) A.球体 B.圆柱 C.圆台 D.圆锥 答案：D 解析：依题意可知，一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是圆锥.故选D. 3.用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是(　　) A.矩形 B.圆形 C.梯形 D.椭圆 答案：A 解析：用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为圆形，故B不符合题意；截面与圆台的轴平行时，得到梯形，故C不符合题意；截面与底面不平行也不相交时，得到椭圆，故D不符合题意；图形不可能是矩形，故A符合题意.故选A. 4.下列命题中正确的是(　　) ①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个； ②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线； ③圆台的两个底面平行. A.①② B.② C.③ D.①③ 答案：C 解析：对于①，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长l，设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为S＝l2sin θ，显然当θ＝时，面积S最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不是最大的，故①错误；对于②，根据圆柱的母线定义可知②错误；对于③，根据圆台定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与圆锥底面的部分称为圆台，知圆台的两个底面平行，故③正确.故选C. 5.(多选题)下列结论中正确的是(　　) A.半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B.直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 答案：BD 解析：对于A，半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，故A错误；对于B，以直角三角形的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；对于C，当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；对于D，将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确.故选BD. 6.(多选题)下列关于圆柱的说法中正确的是(　　) A.圆柱的所有母线长都相等 B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 答案：ABD 解析：对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，即都相等，故A正确；对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，故B正确；对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形或椭圆面或椭圆面的一部分，故C错误；对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，故D正确.故选ABD. 7.如图所示的立体图形可由平面图形　　　　绕轴旋转而成(填序号). 答案：③④ 解析：题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转180°而成. 8.若球O的半径为5，圆M为该球的一个小圆且面积为16π，则线段OM的长度是　　　　. 答案：3 解析：设小圆的半径为r，则πr2＝16π，解得r＝4，又球O的半径为5，故OM＝＝3. 9.底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过圆锥母线中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为　　　　. 答案：π 解析：由题意知，底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过圆锥母线中点且平行于底面的平面所截，如图所示，设截面圆的半径为r，由△SA1O1∽△SAO，可得＝＝，可得r＝×2＝1，所以截得的截面圆的面积为S＝π×12＝π. 10.(13分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2. 求：(1)圆台的高； (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)，O1，O分别是圆台上、下底面的圆心，AM⊥BC. 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm， 所以高AM＝＝3(cm). (2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO， 可得＝，解得l＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.下列命题正确的是(　　) A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 C.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 D.一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 答案：C 解析：只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，当平面不平行于圆锥底面时，得到的几何体并非圆锥和圆台，故A错误；棱柱的侧棱都相等且平行，且侧面是平行四边形，但其底面多边形各边不一定相等，则侧面并不一定全等，故B错误；圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形，故C正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，故D错误.故选C. 12.(多空题)已知ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且AB＞CD，梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是由　　　　、　　　　、　　　　构成的组合体. 答案：圆锥　圆柱　圆锥 解析：如图所示，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.△ADE绕AB所在的直线旋转一周得到圆锥；矩形EFCD绕AB所在的直线旋转一周得到圆柱；△BFC绕AB所在的直线旋转一周得到圆锥.故答案为圆锥；圆柱；圆锥. 13.若球的两个平行截面的面积分别为10π和16π，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D 解析：设球心为O，半径为R，若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图①所示，设OA＝d，由题可得AD＝4，BC＝，AB＝，OD＝OC＝R，则故球的直径为2R＝6. 若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图②所示.设OA＝d，由题可得AD＝4，BC＝，OD＝OC＝R，则解得d＝，R＝3，所以2R＝6.故选D. 14.(15分)如图，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程(结果不取近似值). 解：如图所示，根据题意可得△ABC为边长为6的正三角形， 所以BC＝6，所以圆锥底面周长＝2π×3＝6π(m). 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得6α＝6π， 故α＝π，则∠B'AC＝，所以B'P＝＝3(m)， 所以小猫所经过的最短路程是3 m. 15.(5分)(新情境)当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥(如图)，称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角θ与飞机的速度v、音速c满足关系式sin ＝.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为(　　) A.100π m2 B.300π m2 C.600π m2 D.900π m2 答案：B 解析：如图所示，该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆圆心为O，AB为马赫锥的母线，由题意sin ∠BAO＝ sin ＝＝＝，而∠BAO是锐角，所以∠BAO＝30°. 又AO＝30 m，所以BO＝AO·tan 30°＝10 m，该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为π×＝300π m2.故选B. 16.(17分)用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12. (1)求圆锥PO的母线长； (2)过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值. 解：(1)因为轴截面PAB的面积为S△PAB＝PO×AB＝PO×8＝12，解得PO＝3， 所以圆锥PO的母线长为PA＝＝5. (2)取BC的中点D，连接OC，OD，PD，则OD⊥BC，PD⊥BC，如图所示. 可得PD2＋DB2＝PB2＝25，则PD·DB≤＝， 当且仅当PD＝DB＝时，等号成立，此时BC＝5＜8， 所以截面PBC面积的最大值为2××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $