第6章 1 基本立体图形 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确 对于D,棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面 为三角形，截后变为梯形，故D正确 3.D解析：对于A,正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面」 则A错误： 对于B,正八面体的所有面都是三角形，则B错误： 对于C,底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则 C错误； 对于D,由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同 点则D正确. 4.B解析：正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点与底面中心的连 线垂直于底面，A错误： 多面体中面数最少为三棱锥，有四个面，B正确： 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱 柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误： 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面 与截面之间的部分才是棱台，D错误 5.5解析：依题意，n棱锥的侧棱数为n,底面边数为n,则棱数k=2n,n 棱锥的侧面数为，则面数m=n+1.而3k=5m,于是6n=5(n+1),所 以n=5. 6.3解析：如图，三棱台ABC-A,B,C,可分割成三棱锥A,-ABC,三棱 锥B-A1CC1,三棱锥C1-A,B1B,共3个. (第6题) (第8题) 7.AD解析：对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为 8个，所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意： 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个，所以 两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个，所以 两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意： 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个，所以 两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意 8.B解析：如图所示，截去的立体图形有四个面，且各面均为三角形， 所以该几何体为三棱锥， 9.①8④⑤解析：①正确，因为有六个面，属于六面体②错误，因为侧棱 的延长线不能交于一点.所以不是棱台.③正确，如果把几何体正面或背 面作为底面就会发现这是一个四棱柱.④⑤都正确，如图①②所示. ① 1.3简单旋转体—球、圆柱、圆锥和圆台 白题基础过关 1.ABD解析：对于A,将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆 柱，所以A错误： 对于B,当这两个平行截面与底面平行时正确，当这两个平行截面不 与圆柱的底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是 旋转体，所以B错误； 对于C,圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，所以C正确： 对于D,通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误 2.ACD解析：对于A,根据球的特征，可知A项正确： 对于B,圆锥的轴截面为三角形，该三角形顶角的取值范围为 参考答案 (0,π)，显然面积不相等，故B项错误： 对于C,根据圆台的特征，可知C项正确： 对于D,圆锥所有的轴截面都是三角形，且腰长等于母线长，故 D项正确. 3.①②③解析：对于①，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的 集合，是正确的； 对于②，用一个平面去截一个球得到的截面是圆面，是正确的： 对于③，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几 何体是球，是正确的： 对于④，球的每一条直径所在的直线都是对称轴，有无数条，故 D错误 4.C解析：螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧 在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 5.B解析：由题意可知形成如图的几何体，该几何体是由圆台和圆锥 组合而成的简单组合体， ●0 D 6.①⑤解析：根据题意，分两种情况讨论：当垂直于圆柱底面的平面 经过圆锥的顶点时，截面图形如题图①： 当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时，截面图形如题图⑤ 综上可知，截面的图形可能是①⑤.故答案为①⑤. 7.B解析：已知圆锥的母线与底面直径的夹角的大小为45°，高为1， 因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以底面圆半 径为1，所以母线长等于√12+1产=√2 8.D解析：设圆台的母线长为1、高为h、上、下两底面圆的半径分别为 r,R,由题意可知l=5,πr2=36T,πR2=49m,解得r=6,R=7,如图可 得AC=6,BD=7,CD=5,DE=R-r=1,AB=CE=h,满足关系式CD2= CE2+DE2,即25=h2+1,求得h=26,即两底面之间的距离为26. 9.103解析：因为AB=18,BC=24,AC=30,所以AB2+BC2=AC2,所 以△ABC为直角三角形，则AC为球截面圆的直径，设球半径为R, 如图： -22 由题意可知（公）广+(9)广-（公）广+152=，解得=105 §1阶段综合 黑题 阶段强化 1.CD解析：题图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台：题图②上 下两个面不平行，所以②不是圆台：题图③是四面体：题图④上、下两 个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平 行，所以④是棱柱.故选CD. 2.D解析：根据题意得到选项A,B,C中的平面图形折起后均能构 成正方体，而D中的平面图形折起后，是缺少一个面的正方体，且多 出一个面. 3.C解析：由正棱台的定义知四边形A1B1,C,D1是正方形，010是高， 则由正棱锥的定义知O-A,B,C,D,是正四棱锥，①正确： 根据棱台的结构特征可知.在几何体C,D,D-B,A,A中，没有任何两 个平面平行，②错误； 黑白题067 将四棱台A1B,C,D1-ABCD侧棱延长交于一点P,即在几何体 A,C,D,-ACD中，侧棱延长交于点P,且上下底面平行，所以几何 体A,C1D1-ACD是三棱台，③正确， 4.B解析：据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确： 该几何体恰有14个面，B不正确：该几何体恰有24条棱.C正确：该 几何体恰有12个顶点，D正确.故选B 5.B解析：侧面展开图如图所示： .圆柱的底面周长为6cm,∴.AC=3cm.PC= 3 BC....PC=2 36 4(cm).在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2,.AP=√32+42=5(cm). 6.BCD解析：对于A,截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用 和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那 部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能 是截面； 对于B,当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通 过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B,故B可能是该几何 体的截面： 对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行 去剖开正方体时，截面位置如图②所示，截面形状就会如选项C,故C 可能是该几何体的截面： 对于D,如图③，按图中截面A,B,C,的位置去剖开正方体，截面就会 如选项D,故D可能是该几何体的截面.故选BCD E B ③ 7.C解析：如图，O为正八棱锥S-ABCDEFGH底面外接圆心，连接 0A.0B,0E,由题意，∠0AB=,∠B=a,则 AB=SMA·c0sa= 3m 8 OA·c08 8 0A cos a H 8.C解析：设两个截面圆的半径分别为r1,2,球心0到截面的距离分 别为d1,d2,球的半径为10cm.由r=36π，得r1=6cm,d1= /102-r=8cm,由mr号=64r,得r2=8cm,d2=/102-r乃=6cm. 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的 距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d,-d,=2cm.如图②所示， 当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与 两个截面圆的距离之和，即d,+d2=14cm. d.b d ① ② 9.π(R2-2)解析：题图中的几何体的轴截面如图所示， 必修第二册·BS 0 2R OA=AB=R,所以△AOB是等腰直角三角形 又CD∥OA,则CD=BC.设O1D=x,则CD=R-x.又BC=R-1,故x=l, 所以所求截面面积S=πR2-T2=π(R2-1P). 10.8解析：由S△6=2S0·AB=25S0=45,可得S0=2,故SM= 8=V4(26F=4.令∠8=29且0<0号则m0=0g 1 255,即所以上A5BT由8a)6·5G 4 血LBG=&inSC,而0<∠BsC≤行，所以∠BC=2时，截 面SBC面积有最大值，最大值为8. 11.12解析：因为凸二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个 面共用，所以棱数E=20×3× 2 =30,面数F=20,顶点数V=E- F+2=12.故答案为12. 12.解：(1)因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形 如图①所示，在梯形ACCA'中，分别过A',C'作AC的垂线A'E与 CF,则由AC=2.A=AC=CC=1可知A=PC=弓，从面AE 即斜将为号 Cr③ (2)根据0与O分别是下底面与上底面的中心，以及下底面边长和 上底面边长分别为2和1，可以算出B0=2B"0,2,3假设正三校 3 台A'B'C'-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A'B'C'得到的，则 由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO'是棱锥V-A'B'C的高，O'O 是所求棱台的高.因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形」 如图②所示，则B'O'是△VBO的中位线.因为棱台的棱长为1，所以 g182,从眉0m丽：2-(2因 此o0=，0=?因此棱台的高为，6 3 §2直观图 白题 基础过关 1.A解析：如图，四边形OABC为正方形. A 由斜二测画法可得其直观图如下： C 0 A 黑白题068§1阶 黑题阶段强化 1.*(多选)(2025·湖南长沙高一期中)如图 所示，观察下列四个几何体，其中判断正确 的是 ① ② ③ A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是四面体 D.④是棱柱 2.*(2025·山东省实验中学高一期中)下列 平面图形中，不是正方体的展开图的是 D 3.*(2025·吉林长春高一期中)如图，在四 棱台AB1C1D1-ABCD中，点O,O1分别为四 边形ABCD,AB1C,D1的对角线交点，则下列 结论正确的个数是 D ①若四棱台AB,C,D1-ABCD是正四棱台，则 棱锥O-A,B1CD1是正四棱锥； ②几何体C,D,D-B1A1A是三棱柱： ③几何体A,C,D,-ACD是三棱台. A.0 B.1 C.2 D.3 第六章 段综合 子错题本 限时：45min 4.**(2024·河南三门峡高一期中)如图①， 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图②， 每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三 棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是 ① ② A.该几何体的面是等边三角形或正方形 B.该几何体恰有12个面 C.该几何体恰有24条棱 D.该几何体恰有12个顶点 5.**（2025·安徽蚌埠高一月考)圆柱的底面 周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC= 2 6cm,点P是母线BC上一点，且PC=二BC.一 只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到 点P的最短距离是 A.(9)cm B.5 cm C.3√5cm D.7cm 6.*（多选)(2024·安徽安庆高一月考)如 图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从 任意面剖开此几何体.下列可能是该几何体的 截面的是 黑白题111 7.**(2025·山东济南高一月考)攒尖是中国 1 古代建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮 尖，清代称攒尖依其平面有圆形攒尖、三角攒 尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之 分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八角攒尖 为例（如图），它的主要部分的轮廓可近似看 作一个正八棱锥，若此正八棱锥侧面的等腰 三角形的底角大小为α，则侧棱与底面外接圆 半径的比为 cos a A. sin a 3下 B. 3π cos 8 sin 8 3π 3m cos sin 8 8 C.- D. cos a sin a 8.*半径为10cm的球被两个平行平面所截， 两个截面圆的面积分别为36πcm2,64πcm2 则这两个平行平面的距离为 ( A.2 cm B.14 cm C.2cm或14cm D.6cm或8cm 9.*(2025·河北承德高一期中)从一个底面 半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上 底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如 图所示的几何体如果用一个与圆柱下底面距 离为1，并且平行于底面的平面去截这个几何 体，则截面面积为 2R 必修第二册·BS黑 0.*(2025·浙江杭州高一月考)用一个过 圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角 形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三 角形.如图，圆锥S0底面圆的半径是2√3，轴 截面SAB的面积是43.过圆锥S0的两条母 线SB,SC作一个截面，则截面SBC面积的最 大值是 .0.B 1.数学中有很多公式都是数学家欧拉发现 的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支 之中，任意一个凸多面体的顶点数V棱数 E、面数F之间，都满足关系式V+F-E=2, 这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若 一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由 欧拉公式可得该多面体的顶点 数为 *如图所示是一个正三棱台，而且下底面 边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.0与 O'分别是下底面与上底面的中心 (1)求棱台的斜高； (2)求棱台的高. 0 白题112