第4章 3.1 二倍角公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.1　二倍角公式 1.函数f（x）＝sin xcos x的最小值是（　　） A.－1　　　　　　　　　B.－ C. D.1 2.已知x∈，cos x＝，则tan 2x＝（　　） A. B.－ C. D.－ 3.已知sin 2α＝，则cos2＝（　　） A. B. C. D. 4.函数f（x）＝2sin x－sin 2x在[0，2π]内的零点个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 5.〔多选〕下列各式中，值为的是（　　） A.sin 30°cos 30° B.cos230°－sin230° C. D. 6.〔多选〕函数f（x）＝sin 2x＋sin2x，x∈R，下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为2π B.f（0）＝0 C.f（x）的值域为 D.f（x）的值域为 7.2sin222.5°－1＝　　　　. 8.若tan α＝3，则＝　　　　. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝　　　　. 10.求下列各式的值： （1）2tan 15°＋tan215°； （2）sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 11.已知cos（－α）＝2cos（α＋），则sin（2α＋）＝（　　） A. B. C.－ D.－ 12.〔多选〕已知sin 2α＝cos（π＋α），则α的值可能是（　　） A.2π B.π C.π D.－π 13.已知α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan＝，则tan α＝　　　；β＝　　　. 14.已知sin α＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈. （1）求sin 2α和tan 2α的值； （2）求cos（α＋2β）的值. 15.〔多选〕已知ω＞0，函数f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－的最小正周期为π，则下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 B.函数f（x）在区间上单调递增 C.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得函数g（x）＝cos 2x的图象 D.当x∈时，函数f（x）的最大值为1，最小值为－ 16.某市政府决定将一扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角∠AOB＝. （1）如图①，将扇形的内切圆E区域作为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草改造为景观绿地，求内切圆的半径r； （2）如图②，扇形内有一矩形MNOP（边OP在半径OA上，点M在上）区域为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草改造为景观绿地，设∠MOA＝θ.求市民健身活动场所矩形MNOP面积的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　二倍角的三角函数公式 3.1　二倍角公式 1.B　f（x）＝sin 2x∈. 2.D　由cos x＝，x∈，得sin x＝－，所以tan x＝－，所以tan 2x＝＝＝－，故选D. 3.A　cos2＝＝＝＝＝，故选A. 4.B　f（x）＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·（1－cos x），令f（x）＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B. 5.CD　因为sin 30°cos 30°＝sin 60°＝×＝，所以A不正确；因为cos230°－sin230°＝cos 60°＝，所以B不正确；因为＝×＝tan 60°＝，所以C正确；因为＝＝，所以D正确.故选C、D. 6.BC　f（x）＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin（ 2x－）＋，所以T＝＝π，所以A不正确；f（0）＝×＋＝0，所以B正确；因为－1≤sin≤1，所以f（x）＝sin 2x＋sin2x的值域为，所以C正确，D不正确. 7.－　解析：原式＝－cos 45°＝－. 8.2　解析：因为tan α＝3，所以＝ ＝＝＝＝2. 9.　解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝ ＝＝＝. 10.解：（1）原式＝tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝×（1－tan215°）＋tan215°＝1. （2）法一　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70° ＝cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝＝ ＝·＝. 法二　令x＝sin 10°sin 50°sin 70°， y＝cos 10°cos 50°cos 70°. 则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°·cos 70° ＝sin 20°·sin 100°·sin 140° ＝sin 20°sin 80°sin 40° ＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y. 因为y≠0，所以x＝. 从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝. 11.B　因为（－α）＋（α＋）＝，所以cos （－α）＝sin（α＋），则sin（α＋）＝2cos（α＋），即tan（α＋）＝2，所以sin（2α＋）＝2sin（α＋）cos（α＋） ＝ ＝＝. 12.ABD　由sin 2α＝cos（π＋α），得2sin αcos α＝sin α，解得sin α＝0或cos α＝，又sin 2π＝0，cosπ＝，cosπ＝－，cos（－π）＝，故选A、B、D. 13.　　解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－（1－2sin2α）＝sin αcos α，即2sin2α＝sin α·cos α.因为α为锐角，所以sin α≠0，所以2sin α＝cos α，即tan α＝. 法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.因为β为锐角，所以β＝. 法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.因为β为锐角，所以β＝. 14.解：（1）由题意得（sin α＋cos α）2＝，即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，又易知2α∈， 所以cos 2α＝＝， 所以tan 2α＝＝. （2）因为β∈，β－∈，sin＝， 所以cos＝， 所以sin ＝2sincos＝. 又sin＝－cos 2β， 所以cos 2β＝－. 又易知2β∈，所以sin 2β＝. 又cos2α＝＝，所以cos α＝，所以sin α＝，所以cos（α＋2β）＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－. 15.AD　因为f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，所以T＝＝π，所以ω＝1，所以f（x）＝sin.由2x＋＝，得x＝，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称，所以A正确；当x∈［，］时，2x＋∈，所以函数f（x）在区间上单调递减，故B不正确；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为y＝f（x－）＝sin＝sin 2x，所以C不正确；当x∈时，2x＋∈，所以f（x）∈，故D正确. 16.解：（1）连接OE并延长交于点C，设圆E与OA相切于点D，连接ED，如图. 由题意设EC＝ED＝r，则OE＝200－r，∠EOD＝， 所以在Rt△EOD中，ED＝OEsin ，即r＝（200－r）， 解得r＝400－600（m）. （2）在Rt△OPM中，OP＝OMcos θ＝200cos θ，MP＝OMsin θ＝200sin θ， 所以矩形MNOP的面积为OP·MP＝40 000sin θ·cos θ＝20 000sin 2θ， 所以当2θ＝，即θ＝时，矩形MNOP的面积有最大值为20 000 m2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $