4.3.1 二倍角公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

4.3.1 二倍角公式 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列各式的值为1的是 (　　) A.4sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215° C.+2sin215° D.sin22 020+cos22 020 解析:选ACD　4sin 15°cos 15°=2sin 30°=1,A正确;cos215°-sin215°=cos 30°=,B错误;+2sin215°=+1-cos 30°=+1-=1,C正确;sin22 020+cos22 020=1,D正确.故选ACD. 2.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π,cos=,则sin= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　∵α∈(0,π),cos=, ∴cos α=2cos2-1=-,sin α=, sin=×-×=. 3.sin xcos x+sin2x可化为 (　　) A.sin+ B.sin- C.sin+ D.2sin+1 解析:选A　原式=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=+=sin+.故选A. 4.已知函数f(x)=1-2sin2,则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)是偶函数 B.函数f(x)的最小正周期为2π C.函数f(x)的图象关于x=-对称 D.f(1)>f(2) 解析:选C　f(x)=1-2sin2=cos=-sin 2x,f(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,A错误; 函数f(x)的最小正周期为=π,B错误;f=-sin=1为函数的最大值,C正确;f(1)=-sin 2<0,f(2)=-sin 4>0,所以f(1)<f(2),D错误.故选C. 5.已知等腰三角形底角的余弦值为,则顶角的正弦值是 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选A　令底角为α,顶角为β,则β=π-2α. ∵cos α=,0<α<π,∴sin α=. ∴sin β=sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α =2××=. 6.黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos 72°,则= (　　) A.2 B.1 C. D. 解析:选C　∵a=2cos 72°,∴a2=4cos272°.∴4-a2=4-4cos272°=4sin272°.∴=2sin 72°.∴a=2cos 72°·2sin 72°=2sin 144°=2sin 36°.∴===. 7.(5分)已知sin 2α=,则cos2=__________.  解析:cos2= =(1-sin 2α)=. 答案: 8.(5分)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=__________.  解析:原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° = ===. 答案: 9.(5分)已知tan x=2,则tan =　　　.  解析:∵tan x=2,∴tan 2x==-,tan =tan===-=. 答案: 10.(5分)设α为锐角,若cos=,则sin的值为__________.  解析:∵α为锐角且cos=>0, ∴α+∈.∴sin=. ∴sin=sin =sincos-cossin =sincos- =××-=-=. 答案: 11.(10分)已知角α在第一象限且cos α=, 求的值. 解:∵cos α=且α在第一象限,∴sin α=. ∴cos 2α=cos2α-sin2α=-, sin 2α=2sin αcos α=. ∴原式= ==. 12.(10分)在△ABC中,求证: (1)sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C;(5分) (2)sin A+sin B-sin C=4sin sincos .(5分) 证明:(1)左边=sin2A+- =sin2A+(cos 2C-cos 2B) =sin2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C) =sin(B+C)[sin(B+C)+sin(B-C)] =sin(B+C)·2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C =右边,∴原等式成立. (2)左边=sin(B+C)+2sin cos =2sincos+2sincos =2cos =4sin sincos=右边,∴原等式成立. 13.(10分)求值:. 解:∵sin 50°(1+tan 10°) =sin 50°· =sin 50°·===1, cos 80°=sin 10°=sin210°, ∴==. 14.(10分)已知f(x)=sin xcos x-3cos2x+. (1)求f(x)的周期及对称轴;(5分) (2)若x∈,求f(x)的单调区间及最值.(5分) 解:(1)f(x)=sin 2x- =sin 2x-cos 2x=sin, 则f(x)的周期T==π. 由2x-=+kπ,k∈Z,得f(x)的对称轴为x=+,k∈Z. (2)当x∈时,-≤2x-≤. 由-≤2x-≤,得0≤x≤,所以f(x)的单调递增区间为; 由≤2x-≤,得≤x≤,所以f(x)的单调递减区间为. 当2x-=,即x=时,f(x)取最大值; 当2x-=-,即x=0时,f(x)取最小值-. 学科网（北京）股份有限公司 $