第4章 2.4 积化和差与和差化积公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

2.4　积化和差与和差化积公式 1.sin 37.5°cos 7.5°＝（　　） A. B. C. D. 2.有下列关系式： ①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③cos 5θ＋cos 3θ＝2cos 4θcos θ， 其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 3.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin（x＋y）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 4.cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝（　　） A.－ B. C. D. 5.函数f（x）＝2sinsin（－）的最大值是（　　） A.－ B. C. D.－ 6.〔多选〕在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值可以是（　　） A.－1 B.－ C.－ D. 7.〔多选〕已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则（　　） A.sin 2α＝ B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝ 8.cos 37.5°cos 22.5°＝　　　　　　. 9.＝　　　　　　. 10.化简：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β]. 11.在△ABC中，若sin Asin B＝（1＋cos C），则△ABC是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 12.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α）且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝（　　） A.－ B.－ C. D. 13.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是　　　　. 14.求证：·tan 25°＝. 15.已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，＋＝－，则cos ＝　　　　. 16.已知向量a＝（sin B，1－cos B）与向量b＝（2，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角. （1）求B的大小； （2）求sin A＋sin C的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　积化和差与和差化积公式 1.C　原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）]＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝. 2.B　sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故①错误；cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin（－θ）＝2sin 4θsin θ，故②错误，③正确. 3.A　因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝.因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以sin（x＋y）＝. 4.B　原式＝（cos 20°＋cos 140°）＋cos 100°＋cos 60°＝2cos 80°cos 60°＋cos 100°＋cos 60°＝cos 80°－cos 80°＋cos 60°＝. 5.C　f（x）＝2sin sin（－）＝2×（－）·［cos（＋－）－cos（－＋）］＝－cos ＋cos（x－）＝－＋cos（x－）≤－＋1＝，即f（x）的最大值为. 6.CD　cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝－sin（A－C）.∵－1≤sin（A－C）≤1，∴cos Asin C∈［－，］. 7.AC　因为cos 2α＝－，其中α为锐角，所以sin 2α＝＝，A正确；因为cos（α＋β）＝－，且α，β为锐角，所以sin（α＋β）＝＝，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos 2αcos（α＋β）＋sin 2αsin（α＋β）＝（－）×（－）＋×＝，B错误；cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]＝（－＋）＝，C正确；sin αsin β＝[cos（α－β）－cos（α＋β）]＝［－（－）］＝，所以tan αtan β＝，D错误. 8.　解析：cos 37.5°cos 22.5°＝（cos 60°＋cos 15°）＝＋cos 15°＝. 9.　解析： ＝ ＝ ＝ ＝＝＝. 10.解：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β]＝[sin（α＋β＋α）＋sin（α＋β－α）]－[sin（2α＋β）－sin β]＝sin（2α＋β）＋sin β－sin（2α＋β）＋sin β＝sin β. 11.B　由已知得sin Asin B＝－[cos（A＋B）－cos（A－B）]＝（1＋cos C）.又A＋B＝π－C，所以cos（A－B）－cos（π－C）＝1＋cos C，所以cos（A－B）＝1.又－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形. 12.D　∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，cos β＞cos α.又在（0，π）上，y＝cos x单调递减，∴β＜α，∴0＜α－β＜π.由题意可知，2sin ·cos ＝（－2sin ·sin ），∴tan ＝，∴＝，∴α－β＝. 13.（0，］　解析：由已知可得A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos（A－B）＋cos（A＋B）]＝cos（A－B）.又因为A－B∈（－，），所以cos（A－B）∈（0，］. 14.证明：左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝＝右边. 所以原等式成立. 15.　解析：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，所以＋＝＝－2，即cos A＋cos C＝－2cos Acos C，则2cos cos ＝－[cos（A＋C）＋cos（A－C）]，将cos ＝cos 60°＝，cos（A＋C）＝cos 120°＝－代入上式，得cos ＝－cos（A－C），因为cos（A－C）＝cos（＋）＝cos cos －sin sin ＝cos2－sin2＝cos2－（1－cos2）＝2cos2－1，代入上式并整理得4·cos2＋2cos －3＝0，即（2cos －）（2cos ＋3）＝0.因为2·cos ＋3≠0，所以2cos －＝0. 所以cos ＝. 16.解：（1）由题意，得 ｜a｜＝ ＝，｜b｜＝2，a·b＝2sin B. 由夹角公式，得cos ＝， 整理得2sin2B＋cos B－1＝0， 即2cos2B－cos B－1＝0. 所以cos B＝1（舍去）或cos B＝－. 又因为0＜B＜π，所以B＝. （2）因为A＋B＋C＝π，B＝， 所以A＋C＝. 所以－＜A－C＜. 所以－＜＜. 所以sin A＋sin C＝2sin cos ＝2sin cos ＝cos . 所以sin A＋sin C的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $