第4章 §2 2.4 积化和差与和差化积公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

2.4　积化和差与和差化积公式 基础过关练 题组一　对积化和差与和差化积公式的理解 1.下列各式中不正确的是(　　) A.sin α+sin β=2sincos B.cos α+cos β=2coscos C.sin α-sin β=2cossin D.cos α-cos β=2sinsin 2.sincos化成和差的形式为(　　) A.sin(α+β)+sin(α-β) B.cos(α+β)+sin(α-β) C.sin(α+β)+cos(α-β) D.cos(α+β)+cos(α-β) 题组二　利用公式化简、求值、证明 3.(2025江西新余第四中学段考)已知sin(α+β)=,cos(α-β)=,则sinsin=(　　) A.　　B. C.　　D. 4.(2023辽宁抚顺重点高中六校协作体期中)2sin sin -sin + cos =(　　) A.0　　B.sin 　　 C.2cos 　　D.2sin 5.(2023江西鹰潭一中期中)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2025江苏无锡第一中学期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+ β)cos β=,则cos(α+2β)的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2025湖南郴州综合性模拟)已知α+β=,sin 2α+sin 2β=,则 cos 2α+cos 2β=(　　) A.±　　B. C.-　　D. 8.(2023江苏淮安期末)若sin θ=2cos 10°·cos(20°-θ),0°<θ<180°,则θ=(　　) A.50°　　B.60°　　C.70°　　D.80° 9. (多选题)(2025河南洛阳孟津第一高级中学期末)已知cos(α+β)= -,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则下列判断正确的是(　　) A.sin 2α=　　B.cos(α-β)= C.cos αcos β=　　D.tan αtan β= 10.(2024江西萍乡期中联考)求值:=　　　　.  11.(2023江西师大附中期中)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+ cos 3x+cos 5x=b,则tan 3x=　　　　.(结果用a,b表示)  12.求下列各式的值. (1)2cos 50°cos 70°-cos 20°; (2)sin 80°cos 40°-sin 40°; (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°; (4)cos 40°-cos 80°-sin 20°. 13. 已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:sin A+sin B+sin C= 4cos cos cos . 题组三　利用公式研究函数的性质 14.(2025安徽皖豫名校联盟期中)函数f(x)=sin+sin x的最大值为(　　) A.2　　　　　　B.1　　　　　　C.　　D. 15.(2023福建师范大学附属中学月考)函数f(x)=sincos是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的非奇非偶函数 16.(多选题)函数f(x)=sin-cos的图象的对称轴方程不可能为(　　) A.x=-　　B.x=　　 C.x=　　D.x= 17.(多选题)(2024福建莆田期末)已知函数f(x)=sin 3x-sin 2x,则(　　) A.f(x)的一个周期为-2π B.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 C.f(x)的最大值为2 D.f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π 18.(2025江苏宿迁沭阳华冲高级中学期中)已知向量m=sin,,n=sin,sin 2x,设函数f(x)=m·n. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)在△ABC中,A,B,C为三个内角,若f=1,求sin B+sin C的取值范围. 答案与分层梯度式解析 2.4积化和差与和差化积公式 1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.C 8.D 9.AC 14.D 15.D 16.CD 17.ABD 1.C　 2.B　sincos=sin+α++β+sin+α--β=sin+α+β+sin(α-β)=cos(α+β)+sin(α-β). 3.A　由积化和差公式得sinsin =-cos-cos =-cos-cos(α-β) =-[-sin(α+β)-cos(α-β)]=-×=. 4. C　2sin sin -sin +cos =cos-cos-cos+cos =cos -cos -cos +cos =-cos+ cos =2cos . 5.A　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50° =[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)] =-sin 50°-+cos 40°=. 6.C　由题意及积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)]=[cos(α+2β)+cos α]=cos(α+2β)+=,解得cos(α+2β)=-=. 7.C　由和差化积公式得sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)cos(α-β)=, 由α+β=,得sin(α+β)=,cos(α+β)=-,则cos(α-β)=, 所以cos 2α+cos 2β=2cos(α+β)cos(α-β)=2××=-. 8.D　sin θ=2cos 10°·cos(20°-θ)=cos [10°-(20°-θ)]+cos[10°+(20°-θ)]=cos(θ-10°)+cos(30°-θ)=cos(θ-10°)+cos θ+sin θ, 则cos(θ-10°)=-cos θ+sin θ=cos(θ-150°), 又∵0°<θ<180°, ∴-10°<θ-10°<170°,-150°<θ-150°<30°, 显然θ-10°=θ-150°不成立, ∴θ-10°=-(θ-150°),解得θ=80°. 9.AC　因为α,β为锐角,所以α,β∈,所以α+β∈(0,π),2α∈(0,π),又因为cos(α+β)=-,cos 2α=-,所以sin(α+β)==, sin 2α==,故A正确; cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=,故B错误; cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×=,故C正确; sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=×=, 所以tan αtan β=,故D错误. 10.答案　2 解析　∵cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°= cos 10°+sin 10°,2cos 10°cos 20°=cos(20°+10°)+cos(20°-10°)= cos 30°+cos 10°=+cos 10°, ∴===2. 11.答案　 解析　易得sin 5x+sin x=2sin cos =2sin 3xcos 2x, cos 5x+cos x=2cos cos =2cos 3xcos 2x, 则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1), 且cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1), 故==tan 3x, 故tan 3x=. 12.解析　(1)2cos 50°cos 70°-cos 20° =cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20° =cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-. (2)sin 80°cos 40°-sin 40° =[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40° =(sin 120°+sin 40°)-sin 40° =sin 120°=. (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15° =-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15° =-(cos 60°-cos 15°)-cos 15° =-cos 60°=-. (4)cos 40°-cos 80°-sin 20° =-2sin sin -sin 20° =-2sin 60°sin(-20°)-sin 20° =sin 20°-sin 20°=0. 13.证明　因为A+B+C=π, 所以C=π-(A+B),=-, 所以sin A+sin B+sin C=2sin cos +sin(A+B) =2sin cos +sincos +cossin =2sin =2sin ·2cos cos =2cos ·2cos cos =4cos cos cos . 故等式成立. 14. D　解法一:f(x)=sin+sin x=2sin · cos =2sincos=sin, 可得f(x)max=. 解法二:f(x)=sin+sin x=sin x-cos x+sin x=sin x- cos x==sinx-,可得f(x)max=. 15.D　f(x)=sincos =sin+sin =sin+1=+sin, 所以f(x)的最小正周期T==π, 由函数奇偶性的定义知,f(x)为非奇非偶函数. 16.CD　f(x)=sin-cos =sin-sin =2cos sin =cos, 令x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z, 所以f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z), 结合选项知x=和x=不可能是f(x)的图象的对称轴方程. 17.ABD　对于A,f(x-2π)=sin(3x-6π)-sin(2x-4π)=sin 3x-sin 2x=f(x),故A正确; 对于B,f(2π-x)=sin(6π-3x)-sin(4π-2x)=-sin 3x+sin 2x=-(sin 3x- sin 2x)=-f(x),故B正确; 对于C,若f(x)的最大值为2,则当f(x)取得该最大值时,sin 3x=1, sin 2x=-1,由sin 3x=1知3x=2kπ+,k∈Z,即x=+,k∈Z,而此时 sin 2x≠-1,故C不正确; 对于D,f(x)=sin 3x-sin 2x=2cos sin =2cos sin , 令f(x)=0,得cos sin =0, 所以sin =0或cos =0, 又x∈(0,2π),所以∈(0,5π), 所以=或=或=或=或=, 解得x=或x=或x=π或x=或x=,即f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π,故D正确. 18.解析　(1)f(x)=sinsin+sin 2x =-cos-cos+sin 2x =cos 2x+sin 2x=sin, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)解法一:由(1)知f(x)=sin, 则f=sin=1, 在△ABC中,A∈(0,π),所以A+∈, 所以A+=,则A=. 易得sin B+sin C=2sin cos =cos , 因为B,C∈,所以B-C∈,则∈,所以< cos ≤1, 所以<sin B+sin C≤, 所以sin B+sin C的取值范围是. 解法二:同解法一得A=. 易得sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B =sin, 由B∈,可得B+∈, 所以sin∈,则sin∈, 所以sin B+sin C的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $